26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质-教案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数y=ax²的图象和性质，通过回顾二次函数概念及一次函数“列表-描点-连线”的研究方法，引导学生迁移探究思路，为新知识学习搭建支架。 以学生动手实践为核心，通过小组合作画图、对比观察y=x²等图象，培养几何直观与推理意识。分层练习与作业设计兼顾基础与拓展，帮助学生从图象归纳性质，提升数形结合能力，也为教师提供清晰教学路径，助力高效课堂。

分课时教学设计 第二课时《26.2.1 二次函数的图象和性质》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课是在学生掌握二次函数概念之后，研究最简单二次函数的图象与性质．教材延续一次函数“列表‑描点‑连线‑归纳性质”的研究方法，从入手，通过描点画图得到抛物线，给出抛物线、对称轴、顶点的概念．再通过例1对比与，探究参数对开口方向、开口宽窄的影响．是后续研究各类顶点式二次函数的基础，本节课渗透数形结合核心思想，让学生建立“解析式‑图象‑性质”的函数研究范式．学好本课，学生能够看懂抛物线图象，会从图象读取函数信息，为后续平移变换、一般式的学习做好铺垫，在整章知识链条中起到奠基的作用，也是中考函数题的基础考点． 学习者分析 学生已经掌握二次函数概念，学习过一次函数，熟悉描点法画直线图象．但学生第一次绘制抛物线这种曲线图形，容易用折线代替平滑曲线．学生可以机械记忆顶点、对称轴结论，但很难自主从图象观察概括增减性、最值．对于参数如何改变开口大小，容易记反与开口宽窄的关系．学生数形转化能力偏弱，习惯死记硬背性质，缺少看图说理的训练．教学要让学生亲手画图，借助小组合作观察对比图象，引导学生从图形出发归纳性质，降低抽象理解难度． 教学目标 1．会用描点法画的函数图象，认识抛物线． 2．通过观察图象，掌握的开口方向、对称轴、顶点等图象特征． 3．理解参数对抛物线开口方向、开口大小的影响． 教学重点 会用描点法画出图象，掌握的图象与性质． 教学难点 从抛物线图象归纳函数增减性，理解对抛物线开口大小的影响． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。 环节二：新知导入 教师活动2： 问题1：说一说二次函数的概念？ 预设：一般地，形如是常数，的函数，叫作二次函数． 问题2：研究一次函数我们采用什么样的过程？ 预设：列表、描点、连线 设问：二次函数也是函数，我们沿用这套方法，先来研究最简单的二次函数，猜一猜它的图象会是什么样子？板书课题． 学生活动2： 回忆二次函数的概念及一次函数的研究步骤，大胆猜想图象形状，带着猜想进入新课学习． 活动意图说明： 通过回顾二次函数的概念，迁移一次函数研究方法，让学生明确研究新函数的基本套路，引发猜想，为本课画图探究做好方法铺垫． 环节三：新知讲解 教师活动3： 问题：仿照一次函数图象的画法，画出二次函数y＝x2的图象． 解：列表 ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... ... 9 4 1 0 1 4 9 ... 根据表中的值在平面直角坐标系中描点， 再用平滑曲线顺次连接各点，就得到的图象. 追问1：观察所画图象，你能说一下它的形状特征吗？ 指出：可以看出，二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 归纳：实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下.我们把二次函数的图象叫作抛物线 追问2：所画出的抛物线y＝x2上分别取点（2，4），（3，9），并找到它们关于y轴的对称点，你发现了什么？ 预设：轴是抛物线的对称轴 指出：在抛物线上任取一点，因为该点关于轴的对称点也在抛物线上，所以抛物线关于轴对称. 讲解：抛物线与其对称轴的交点叫作抛物线的顶点，它是抛物线的最低点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点． 从二次函数y＝x2的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 例：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象. 解：分别列表，再画出它们的图象. ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ... 思考：（1）函数，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象（图中的虚线图形）相比，有什么相同点和不同点？ 预设： 相同点： 1.抛物线的开口向上； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最低点； 4.当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小． 不同点：开口大小不同. 思考：（2）利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，函数的图象也发生了改变.随着的变化，二次函数的图象有什么变化? 预设：a越大，抛物线的开口越小． 归纳：一般地，当时，抛物线的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数的图象可以看出：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 探究：回顾上面研究二次函数的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数的图象和性质吗? 分析：类似于对函数的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，观察这些抛物线有什么共同点和不同点.也可以利用信息技术工具画二次函数的图象，改变的值，观察随着的变化，二次函数的图象的变化. 预设：相同点： 1.抛物线的开口向下； 2.对称轴是y轴； 3.顶点是原点，顶点是抛物线的最高点； 4.当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大． 不同点：开口大小不同. a越小，抛物线的开口越小． 归纳：一般地，当时，抛物线的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，越小，抛物线的开口越小.当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 总结：一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点.越大，抛物线的开口越小. 从二次函数的图象可以看出：如果，那么当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；如果，那么当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小. 学生活动3： 学生独立完成列表、描点；开展小组合作探究，组内互相检查描点是否准确，用平滑曲线连线画出抛物线；小组内观察图象，交流什么是抛物线、对称轴、顶点；合作讨论例1图象与思考问题，对比三条抛物线的异同；小组代表汇报探究结果，全班一起梳理、对应的开口、对称轴、顶点、增减变化，整理笔记． 活动意图说明： 落实教材画图探究活动，借助小组合作互助纠错，学生亲历描点画图，从图象直观归纳性质，渗透数形结合思想，避免死记硬背性质结论． 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。 板书设计 课题：26.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 一、二次函数的图象是一条抛物线 二、二次函数y=ax2的图象和性质 1．开口方向 2．顶点坐标 3．对称轴 4．增减性 5．最值 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 答案：C 2．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 答案： 3．在下面给定的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，并回答下列问题： （1）当x取何值时，y有最小值？最小值是多少？ （2）当时，y随x的增大怎样变化？当时呢？ 解：作函数的图象如图所示． （1）根据图象可知，当时，有最小值，最小值是． （2）根据图象可判断，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选做题： 4．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 答案：D 【综合拓展类练习】 5．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围． (1)函数有最小值； (2)函数，当时，随着的增大而增大； (3)与的函数图象形状相同； (4)函数的图象是开口向下的抛物线． 解：（1）函数有最小值， ， ； （2）当时，函数的函数值随着的增大而增大， ， ； （3）与的函数图象形状相同， ， 或； （4）函数的图象是开口向下的抛物线， 且， 或， ， ． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 答案：C 2．已知抛物线经过第二象限，那么这条抛物线的开口方向是____________． 答案：向上 3．已知函数是关于的二次函数. (1)求满足条件的值； (2)当为何值时，此抛物线有最低点？这时，当取何值时，随的增大而减小； (3)当为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当取何值时，随的增大而增大. 解：（1）∵函数是关于的二次函数， ∴， 解得：或， ∴满足条件的值为． （2）当时，函数为，开口向上，此时抛物线有最低点，当时，随的增大而减小． （3）当时，函数为，开口向下，此时抛物线有最高点，最高点坐标为，当时，随的增大而增大． 选做题： 4．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． (1)求的值； (2)若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 解：（1）把代入抛物线得： ， 解得：； （2）由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 教学反思 本节课学生动手画图，小组合作观察图象，多数学生能够记住抛物线基础特征．部分学生画图习惯不好，使用折线连接点；不少学生不会自主观察图象概括增减性，依赖死记硬背．部分学生混淆大小与开口宽窄．后续教学多提供画图实操机会，强化“看图说性质”训练，坚持数形结合，引导学生依托图象理解记忆，减少机械背诵． 学科网（北京）股份有限公司 $