第1章 直线与方程全章高频重点题型突破（专项训练）数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与方程全章高频重难点，以题型分类为框架，构建从基础概念到综合应用的递进式训练体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|9题型/28题|覆盖倾斜角与斜率、直线方程、位置关系等基础概念应用|从概念生成（倾斜角与斜率）到原理推导（距离公式），再到简单应用（三点共线、过定点问题）| |核心提升|6题型/18题|包含线段最值、对称问题、将军饮马等综合题型|以基础方法为依托，拓展至几何变换（对称）、动态问题（含参数双直线），体现知识迁移与综合应用|

第1章 直线与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 题型二：三点共线问题 题型三：直线与线段相交问题 题型四：求直线的方程 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 题型六：夹角问题 题型七：过定点问题 题型八：位置关系的判定 题型九：距离公式的简单应用问题 核心提升：重难题型归纳 题型一：线段和差最值问题 题型二：含参数双直线问题 题型三：点关于线对称 题型四：线关于点对称 题型五：线关于线对称 题型六：将军饮马问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型一：倾斜角与斜率的计算问题 1．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 3．（2026·高一·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. ◆题型二：三点共线问题 4．已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【解析】由题可得，即，解得． 故选：B 5．（2026·高二·黑龙江伊春·期末）若三点，，共线，则实数的值是（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【解析】因为三点，，共线， 所以， 可得：， 即，解得； 故选：C 6．（2026·高二·青海西宁·期中）已知三点，，共线，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】三点，，共线，可得，解出即可得出.三点，，共线， ， ，解得. 故选：C. ◆题型三：直线与线段相交问题 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 8．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又点，由题意如图所示： 则， 因为直线与线段有公共点，由图象可得直线斜率的取值范围为， 故选：A. 9．（2026·高二·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D ◆题型四：求直线的方程 10．（2026·高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 【答案】 【解析】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 11．（2026·高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 12．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【解析】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. ◆题型五：与坐标轴围成的三角形问题 13．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】令，得， 令，得， 所以三角形的面积为：， 又因为，即， 又时，直线过原点，由此与坐标轴不构成三角形，故， 所以实数k的取值范围是：， 故答案为：. 14．（2026·高二·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【解析】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 15．（2026·高二·山东临沂·阶段检测）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． 【答案】 【解析】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. ◆题型六：夹角问题 16．（2026·高二·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 【答案】 【解析】直线的斜率，倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以这两条直线的夹角为，所以夹角的余弦值为. 17．（2026·高二·上海·阶段检测）直线与直线的夹角的大小为_____ 【答案】 【解析】设直线与直线的夹角为， 方法一：根据两直线夹角的余弦公式，可得. 所以直线与直线的夹角为. 方法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，. 由，得，所以直线的斜率为，即； 由，得，所以直线的斜率为，即. . 直线与直线的夹角为. 18．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】/ 【解析】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. ◆题型七：过定点问题 19．（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【解析】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 20．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【解析】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 21．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. 【答案】 【解析】， 令，解得， 故直线恒过定点. 故答案为： ◆题型八：位置关系的判定 22．（2026·高二·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 【答案】0 【解析】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 23．（2026·高二·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【解析】因为与垂直，则，解得. 24．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，得. ◆题型九：距离公式的简单应用问题 25．（2026·高二·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【解析】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 26．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）点，到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【解析】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 27．（2026·高一·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【解析】点到直线的距离是. 28．（2026·高二·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【解析】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 ◆题型一：线段和差最值问题 29．已知函数，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 30．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【答案】 【解析】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 31．（2026·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是________. 【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：. ◆题型二：含参数双直线问题 32．（2026·高二·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 【答案】/0.36 【解析】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 33．（2026·高二·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 【答案】 【解析】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： 34．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． 【答案】4 【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 ◆题型三：点关于线对称 35．（2026·高二·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 36．（2026·高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 37．（2026·高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. ◆题型四：线关于点对称 38．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 39．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 40．（2026·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. ◆题型五：线关于线对称 41．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 42．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 43．已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C ◆题型六：将军饮马问题 44．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【解析】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 45．（2026·高二·上海·阶段检测）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 46．（2026·高二·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 一、单选题 1．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于直线与垂直， 得 ，解得. 4．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点到直线的距离为. 5．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 6．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 7．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 8．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A 二、多选题 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 【答案】AC 【解析】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10．(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】依题意，直线的斜率分别为：，， ，，， 由得，故A正确； 由得，由得，故B，D正确； 而得与不平行，即C不正确. 11．如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 三、填空题 12．已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 【答案】 1 【解析】点，是线段的中点， 所以；. 13．在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为，则点纵坐标的取值范围是________． 【答案】 【解析】∵ 点位于直线的上方， ∴ ，点到直线的距离为. 又点到点的距离为，根据题意得. 整理得，两边同时平方得， 移项得. ∵ ， ∴ ，即. ∵ ，两边同乘不等号方向不变，得： ， ∴ ，即，解得. 结合，可得的取值范围是. 14．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 【答案】/ 【解析】已知，且为中点， 因为菱形对角线，，它们互相垂直平分， 所以菱形的边长：， 由于是中点，所以， 因此，四边形的周长， 要使周长最小，只需使的值最小， 建立平面直角坐标系：以对角线交点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则各点坐标为：，，，， 点是的中点，所以， 因为在上，且，设点的坐标为，则点的坐标为， 故， ， 所以，， 这个式子的几何意义是：在轴上求一点， 使它到点和点的距离之和最小， 作点关于轴的对称点， 根据对称性，到的距离等于到的距离， 因此，， 当三点共线时，距离之和最小，即为线段的长度： ， 此时求得，在线段范围内，符合题意， 所以的最小值为， 四边形周长的最小值为： . 四、解答题 15．（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 【解析】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 16．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【解析】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 17．已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 【解析】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 18．一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 【解析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 19．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 【解析】点E为直线与直线的交点． 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 并与直线的方程：一致. 同理，点F为直线与直线的交点， 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 所以直线的方程为. 20．已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 【解析】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程全章高频重点题型突破参考答案 ◆题型一：倾斜角与斜率的计算问题 1．【答案】C 【解析】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2．【答案】D 【解析】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 3．【答案】A 【解析】直线经过，两点，直线斜率为， 设直线的倾斜角为，则，得， 即直线的倾斜角为. ◆题型二：三点共线问题 4．【答案】B 【解析】由题可得，即，解得． 故选：B 5．【答案】C 【解析】因为三点，，共线， 所以， 可得：， 即，解得； 故选：C 6．【答案】C 【解析】三点，，共线，可得，解出即可得出.三点，，共线， ， ，解得. 故选：C. ◆题型三：直线与线段相交问题 7．【答案】C 【解析】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 8．【答案】A 【解析】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又点，由题意如图所示： 则， 因为直线与线段有公共点，由图象可得直线斜率的取值范围为， 故选：A. 9．【答案】D 【解析】记点为， 由题意可得，，， 当直线由转到与轴重合时，直线l的斜率k满足； 当直线由轴转到与直线重合时，直线l的斜率k满足， 若要保证直线与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 故选：D ◆题型四：求直线的方程 10．【答案】 【解析】因为直线的斜率为，又点在直线l上的投影是, 则直线l的斜率，故直线l的方程为，即． 11．【答案】 【解析】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 12．【答案】 【解析】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. ◆题型五：与坐标轴围成的三角形问题 13．【答案】 【解析】令，得， 令，得， 所以三角形的面积为：， 又因为，即， 又时，直线过原点，由此与坐标轴不构成三角形，故， 所以实数k的取值范围是：， 故答案为：. 14．【答案】 或． 4 【解析】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 15．【答案】 【解析】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. ◆题型六：夹角问题 16．【答案】 【解析】直线的斜率，倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以这两条直线的夹角为，所以夹角的余弦值为. 17．【答案】 【解析】设直线与直线的夹角为， 方法一：根据两直线夹角的余弦公式，可得. 所以直线与直线的夹角为. 方法二：设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，. 由，得，所以直线的斜率为，即； 由，得，所以直线的斜率为，即. . 直线与直线的夹角为. 18．【答案】/ 【解析】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. ◆题型七：过定点问题 19．【答案】 【解析】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 20．【答案】 【解析】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 21．【答案】 【解析】， 令，解得， 故直线恒过定点. 故答案为： ◆题型八：位置关系的判定 22．【答案】0 【解析】因为与平行， 所以，即， 解得或， 当时，两直线方程分别为与，符合条件； 当时，两直线方程分别为与，两直线重合，不符合条件； 所以. 23．【答案】 【解析】因为与垂直，则，解得. 24．【答案】 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，得. ◆题型九：距离公式的简单应用问题 25．【答案】8或． 【解析】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 26．【答案】或 【解析】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 27．【答案】 【解析】点到直线的距离是. 28．【答案】6或 【解析】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 ◆题型一：线段和差最值问题 29．【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 30．【答案】 【解析】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 31．【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：. ◆题型二：含参数双直线问题 32．【答案】/0.36 【解析】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以； ②当时，直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 综上，故的最小值为. 33．【答案】 【解析】易知点， ，令，则，所以， 当时，，，两直线垂直； 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. ①当P点与A点或B点重合时，； ②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则， 所以（当且仅当时取等号）， 此时点P在线段AB的垂直平分线上， ，点， 所以，解得或. 所以当或时，取得最大值. 故答案为： 34．【答案】4 【解析】直线可整理为，故恒过定点，即为A的坐标； 直线整理为，故恒过定点，即为B的坐标； 又两条直线垂直，故可得， 即 整理得, 即，解得，当且仅当时取得最大值. 故答案为：4 ◆题型三：点关于线对称 35．【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：A 36．【答案】C 【解析】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 37．【答案】A 【解析】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. ◆题型四：线关于点对称 38．【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 39．【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 40．【答案】D 【解析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，以代换原直线方程中的得，即. 故选：D. ◆题型五：线关于线对称 41．【答案】A 【解析】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 42．【答案】C 【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 43．【答案】C 【解析】求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C ◆题型六：将军饮马问题 44．【答案】D 【解析】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 所以“将军饮马”的总路程最短为． 故选：D． 45．【答案】C 【解析】不妨设两点均在x轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：C. 46．【答案】B 【解析】设关于直线的对称点，如图所示， 则且，解得，即， 则， 在直线上取点P，由对称性可得， 所以， 当且仅当B、P、C三点共线时，等号成立， 所以，“将军饮马”的最短总路程为． 故选：B． 一、单选题 1．【答案】C 【解析】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 2．【答案】C 【解析】 如图所示，，，过原点作的对称点为，连接， 则的长度即为“将军饮马”的最短总路程，因为， 所以“将军饮马”的最短总路程为5. 3．【答案】D 【解析】由于直线与垂直， 得 ，解得. 4．【答案】B 【解析】点到直线的距离为. 5．【答案】C 【解析】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 6．【答案】C 【解析】当横、纵截距均为0时，直线过原点，满足条件，此时方程为. 当横、纵截距不为0时，直线的截距式方程为，由题意知. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 当时，方程为，代入，得，解得，故方程为. 故满足条件的直线共有3条. 7．【答案】B 【解析】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 8．【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，所求直线倾斜角为α， 又为锐角，其中，所以，则， 即，故直线方程为． 故选：A 二、多选题 9．【答案】AC 【解析】直线：可化为. 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知，直线经过第一、二、三象限，故C正确； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 10．【答案】ABD 【解析】依题意，直线的斜率分别为：，， ，，， 由得，故A正确； 由得，由得，故B，D正确； 而得与不平行，即C不正确. 11．【答案】ABD 【解析】如图，以为原点建立直角坐标系， 则，又，，， 所以，，，又 点，分别是和边的中点，所以 ，，则直线的方程为 ，直线的方程为， 联立解得，即, 又直线的方程为， 联立解得，即， 选项A．则， ， 所以，A正确. 选项B.，B正确. 选项C.，C错误. 选项D．因为到直线：的距离为 ，所以 ，D正确. 三、填空题 12．【答案】 1 【解析】点，是线段的中点， 所以；. 13．【答案】 【解析】∵ 点位于直线的上方， ∴ ，点到直线的距离为. 又点到点的距离为，根据题意得. 整理得，两边同时平方得， 移项得. ∵ ， ∴ ，即. ∵ ，两边同乘不等号方向不变，得： ， ∴ ，即，解得. 结合，可得的取值范围是. 14．【答案】/ 【解析】已知，且为中点， 因为菱形对角线，，它们互相垂直平分， 所以菱形的边长：， 由于是中点，所以， 因此，四边形的周长， 要使周长最小，只需使的值最小， 建立平面直角坐标系：以对角线交点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 则各点坐标为：，，，， 点是的中点，所以， 因为在上，且，设点的坐标为，则点的坐标为， 故， ， 所以，， 这个式子的几何意义是：在轴上求一点， 使它到点和点的距离之和最小， 作点关于轴的对称点， 根据对称性，到的距离等于到的距离， 因此，， 当三点共线时，距离之和最小，即为线段的长度： ， 此时求得，在线段范围内，符合题意， 所以的最小值为， 四边形周长的最小值为： . 四、解答题 15．【解析】（1）依题意，在直线上，设点的坐标为， 点到直线的距离为，，， 所以或，解得或，所以点的坐标为或. （2）因为两条平行直线和之间的距离等于2， 所以有或， 即或. 16．【解析】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 17．【解析】（1）因，，，设中点为，则得，即， 则直线的方程为，即； （2）依题意，当截距为时，直线井过原点和点，则其方程为，即； 当截距不为时，依题意，可设直线，代入点，解得， 则得，即， 综上，的方程为或； （3）的中点，斜率为，则其垂直平分线的斜率为， 故有，即. 设关于的对称点，则中点在上且， 则，解得，，故. 18．【解析】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则，且，， 从而所求直线方程为，即． （2）设直线方程为，，， 代入，得，得， 当且仅当即时等号成立，从而， 此时直线方程为，即． 19．【解析】点E为直线与直线的交点． 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 并与直线的方程：一致. 同理，点F为直线与直线的交点， 两方程相减可得点的坐标满足，且该直线过原点， 所以直线的方程为. 20．【解析】（1）联立方程，解得，所以交点为， 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即. （2） ①因为、，所以直线的斜率为1，与直线平行， 所以A，B两点到的距离相等. 、的中点为，直线的方程， A，B两点到的距离相等.   所以过点，且与，两点距离相等的直线方程或. ②设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则，故的最小值为. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 直线与方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型一：倾斜角与斜率的计算问题 题型二：三点共线问题 题型三：直线与线段相交问题 题型四：求直线的方程 题型五：与坐标轴围成的三角形问题 题型六：夹角问题 题型七：过定点问题 题型八：位置关系的判定 题型九：距离公式的简单应用问题 核心提升：重难题型归纳 题型一：线段和差最值问题 题型二：含参数双直线问题 题型三：点关于线对称 题型四：线关于点对称 题型五：线关于线对称 题型六：将军饮马问题 题型专练：高频重难特训 ◆题型一：倾斜角与斜率的计算问题 1．（2026·高二·重庆·阶段检测）已知直线，则该直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·海南海口·期末）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． ◆题型二：三点共线问题 4．已知三点共线，则（    ） A． B．6 C． D．2 5．（2026·高二·黑龙江伊春·期末）若三点，，共线，则实数的值是（    ） A．6 B． C． D．2 6．（2026·高二·青海西宁·期中）已知三点，，共线，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型三：直线与线段相交问题 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·高二·福建泉州·期中）已知过点的直线与以点和为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是：（   ） A． B． C． D． ◆题型四：求直线的方程 10．（2026·高二·福建厦门·期中）已知点在直线l上的投影是，则直线l的方程为__________________． 11．（2026·高二·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 12．（2026·高二·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. ◆题型五：与坐标轴围成的三角形问题 13．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积不大于9，则实数k的取值范围是_____________. 14．（2026·高二·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 15．（2026·高二·山东临沂·阶段检测）过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为_________． ◆题型六：夹角问题 16．（2026·高二·上海黄浦·期中）直线与直线的夹角的余弦为______. 17．（2026·高二·上海·阶段检测）直线与直线的夹角的大小为_____ 18．（2026·高二·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． ◆题型七：过定点问题 19．（2026·高二·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 20．（2026·高二·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 21．（2026·高二·吉林长春·阶段检测）当时，直线恒过的定点是_________. ◆题型八：位置关系的判定 22．（2026·高二·上海虹口·期中）若与平行，则为__________． 23．（2026·高二·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 24．（2026·高二·上海·阶段检测）已知直线与直线垂直，则______． ◆题型九：距离公式的简单应用问题 25．（2026·高二·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 26．（2026·高二·江苏无锡·阶段检测）点，到直线的距离相等，则_____. 27．（2026·高一·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 28．（2026·高二·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. ◆题型一：线段和差最值问题 29．已知函数，则的最小值为______． 30．著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 31．（2026·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是________. ◆题型二：含参数双直线问题 32．（2026·高二·上海·阶段检测）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是___________ 33．（2026·高二·上海·期中）已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________． 34．（2026·高二·江苏镇江·阶段检测）设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值为______． ◆题型三：点关于线对称 35．（2026·高二·广东·期末）一束光线从点射出，与直线相交于点．经直线反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 36．（2026·高二·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（2026·高二·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． ◆题型四：线关于点对称 38．关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 39．（2026·高二·河南南阳·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 40．（2026·高二·全国·单元测试）直线关于点对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． ◆题型五：线关于线对称 41．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 42．（2026·高二·江苏南京·阶段检测）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 43．已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（    ） A． B． C． D． ◆题型六：将军饮马问题 44．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”来自唐代诗人李颀的诗《古从军行》，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从山脚下的点处出发，则“将军饮马”的总路程最短为（    ） A． B．4 C．5 D． 45．（2026·高二·上海·阶段检测）已知点，在x轴同侧，x轴上一点P满足为最小．设PA，PB的斜率分别是，，则（    ）． A． B． C． D． 46．（2026·高二·安徽六安·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开关两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线互相垂直，则等于（    ） A． B． C． D． 4．点到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 5．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 6．过点，且纵横截距的绝对值相等的直线共有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于直线：，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为2 C．直线经过第一、二、三象限 D．直线与直线平行 10．(多选)设点，则有（ ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，，，点，分别是和边的中点，，分别与交于，两点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知点．若是线段的中点，则（1）__________；（2）__________． 13．在平面内，点位于直线的上方，点到点的距离与到直线的距离之积为，则点纵坐标的取值范围是________． 14．菱形，，，E，F为线段AC上两点，且，M为AD中点，则四边形的周长的最小值等于_______ 四、解答题 15．（1）已知点在直线上，且点到直线的距离等于，求点的坐标． （2）设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，求的值． 16．已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 17．已知，，，求（均写出一般式方程）： (1)边上的中线所在的直线方程； (2)过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程； (3)边垂直平分线方程及点关于的对称点的坐标. 18．一条直线经过点，并且分别满足下列条件，求直线方程： (1)倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）． 19．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，；点为线段上的一点（异于端点），这里a，b，c，p为非零常数．设直线、分别与边、交于点E、F．某同学已正确求得直线的方程：．请你完成直线的方程：． 20．已知两直线，，两直线的交点为M. (1)求过点M，且与直线垂直的直线方程； (2)已知两点，， ①求过点M，且与A，B两点距离相等的直线方程； ②动点P在直线运动，直接写出的最小值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $