21.2.1直接开平方法（第1课时） 教案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦直接开平方法解一元二次方程，核心知识点为x²=p与(mx+n)²=p型方程的求解。通过复习平方根定义及性质（正数有两相反数平方根、0的平方根是0、负数无平方根），搭建旧知到新知的学习支架，为“降次”转化思想奠定基础。 资料亮点在于分层教学与思想方法渗透，通过对比x²=4、x²=0、x²+4=0归纳解的情况渗透分类讨论，将(mx+n)²=5中x+3看作整体培养抽象能力，提升学生运算能力与推理意识。分层练习（基础与能力提升）及必做选做作业设计，助力教师实施差异化教学，帮助学生夯实基础并发展高阶思维。

课题 25.2.1 配方法（开平方法解一元二次方程） 教学目标 1. 通过实际问题抽象出一元二次方程，理解直接开平方法的意义。 2. 掌握“降次”的转化思想，能将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 3.数学运算：能熟练、准确地运用直接开平方法求解特定形式的一元二次方程。 教学重点 会用直接开平方法解形如 x2 = p 或 (mx+n)2 = p 方程 教学难点 理解“降次”的转化思想，并能对方程 (mx+n)^2 = p 进行转化和求解。 教学环节 教学内容 设计意图 复习引入 求4的平方根是多少？0的平方根呢？-1有平方根吗？ 教师强调：正数有两个平方根，且会为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根。 复习平方根的定义和性质，为“开平方”操作做直接的知识铺垫。让学生意识到“已知平方求底数”是已经学过的运算，为本节课“降次”埋下伏笔。 探究新知 解方程： (1) x2 =4；（2）x2 = 0；（3）x2 +4 = 0 提示:刚才在计算过程中，求4的平方根，可以使得a2=4，得a=±2.如果把如果把 a换成x，就得到方程x2 = 4，x=±2即x1=2，x2=-2。 总结：对于 x2 = p ： ① p>0 时，方程有两个相等的实数根，两根为x1= ，x2=；② p=0 时，方程有两个不相等的实数根， x1=x2=0 ；③ p<0 时，方程无实数根。 定义：利用平方根定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法。 对照解x2=4的过程，应该怎样解（x+3）2=5？ 提示：将x+3看作一个整体。 x2=4 ← （x+3）2=5 X=±2 ← x+3=± x+3=＋ x+3=- X1=-3- X2=-3- 总结：在上面的解法中，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程。 活动2： 例1：解下列方程 （1）4x2-3=0 解：移项，并将系数化为1： X2= 由此可得： X=± 即： x1= x2=- （2） （x+2）2-9=0 解：移项： （X+2）2=9 由此可得： X+2=±3 X1+2=-3，或 X2+2=+3 即：x1=1，x2=-5 通过三个方程对比，引导学生归纳解的情况，渗透分类讨论思想。 介绍“降次”思想，将复杂问题转化为已学知识，渗透整体换元思想。 巩固练习 基础过关： 1 2x2 - 8 = 0 ；② (x-1)2 - 4 = 0 。 能力提升： ③ 9x2- 5 = 3 ；④ (2x+3)2 = (3x+2)^2 （链接中考）。 独立完成后学生代表板书。 通过分层练习巩固新知。第④题需两边开方，强化整体思想和运算能力。 课堂小结 1. 知识层面：回顾两种形式及解法。 2. 思想方法：转化与化归（“降次”）、整体思想、分类讨论。 引导学生自主总结，将知识系统化。 板书设计 布置作业 选做题：已知 4(x2-2x+1)2 = 36 ，求 x 的值。 必做题：解方程：① 4x2 - 9 = 0 ；② (2x+1)2 = 3 。 学科网（北京）股份有限公司 $