25.2.2 公式法解一元二次方程 】同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦公式法解一元二次方程核心知识点，系统梳理求根公式的推导过程、根的判别式（△=b²-4ac）与根的三种情况，以及公式法解题步骤（化一般式、定a,b,c、算△、代公式），通过配方法推导公式构建知识延续，形成学习支架帮助学生理解原理。 资料特色在于分层题型设计（A组基础、B组拔高、C组拓展）与中考链接，结合根的判别式综合应用（如与三角形结合的问题），培养学生推理意识与应用意识。课中教师可依托题型解析突破符号处理等难点，课后学生通过分层练习查漏补缺，提升运算能力和逻辑推理能力。

25.2.2公式法解一元二次方程 学习目标与重难点 1、经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解公式法解一元二次方程的原理，记住求根公式。 2、掌握用公式法解一元二次方程的步骤，能根据判别式的值判断方程根的情况。 3、对比配方法与公式法的异同，体会公式法的通用性，提升运算能力和逻辑推理能力。 教学重点：求根公式的推导及应用；利用判别式判断方程根的情况。 教学难点：求根公式推导过程中符号处理的准确性；当a、b、c为负数或分数时，代入公式计算的易错点分析。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 知识点1：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点2：公式法解一元二次方程 1.求根公式 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.公式法解一元二次方程的具体步骤 ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a，b，c 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 步骤 示例： 解释 ①化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） ②确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的符号 ③计算△ 当△≥0时，才能用求根公式； 当△＜0，则方程没有实数根 ④代入公式求根 ∵△＞0，∴方程有2个不相等的实数根 题型解析◆精准备考 【题型1】公式法解一元二次方程 1．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3） ． 2．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【题型2】不解方程判断一元二次方程的根的情况 3．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【题型3】已知解的情况求字母的值 5．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 【题型4】根的判别式的综合应用 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 8．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【题型5】根的判别式与三角形问题 9．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 10．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【题型6】 利用乘积为零解方程 11．方程的解是　　 A． B．， C．， D．无实数根 12．方程的解是　　 A． B． C．， D．， 1．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 5．用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 6．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 8．求方程的正数根． 9．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根. B．只有一个实数根. C．有两个不相等的实数根. D．没有实数根. 10．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（   ） A．5 B． C．1 D． 12．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是_____． 13．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____________． 14．证明：无论取何值时恒有实数根． 15．已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 16．解方程：．（公式法） 17．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 18．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 19．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 20．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为____． 22．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ___________． 23．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 24．小颖在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程，老师判了错误． 解：将原方程化为一般形式，得： …第一步； 这里，，…第二步； …第三步； …第四步； 即，…第五步． (1)小颖从第______步开始出错填序号“一、二、三、四、五”中其中一个； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 链接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 3．（2026·山东威海·模拟预测）已知，则___________．． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.2公式法解一元二次方程 学习目标与重难点 1、经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解公式法解一元二次方程的原理，记住求根公式。 2、掌握用公式法解一元二次方程的步骤，能根据判别式的值判断方程根的情况。 3、对比配方法与公式法的异同，体会公式法的通用性，提升运算能力和逻辑推理能力。 教学重点：求根公式的推导及应用；利用判别式判断方程根的情况。 教学难点：求根公式推导过程中符号处理的准确性；当a、b、c为负数或分数时，代入公式计算的易错点分析。 资料目录导航 核心知识梳理 题型解析归纳 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 链接中考 教材核心知识解读 知识点1：一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式： 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点2：公式法解一元二次方程 1.求根公式 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。 即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2.公式法解一元二次方程的具体步骤 ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a，b，c 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 步骤 示例： 解释 ①化为一般式 移项： 先将方程化为一般式（a≠0） ②确定a、b、c 确定a、b、c时， 要注意带前面的符号 ③计算△ 当△≥0时，才能用求根公式； 当△＜0，则方程没有实数根 ④代入公式求根 ∵△＞0，∴方程有2个不相等的实数根 题型解析◆精准备考 【题型1】公式法解一元二次方程 1．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【分析】先把方程化成标准形式，再求出，，的值， 判断出△的符号， 再代入求根公式， 进行计算即可 ． 【详解】解： （1）， ， ，，， ， ， ，； （2）， ； ，，， ， ， ，； （3）， ，，， ， ． 2．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）去括号，移项方程化为一般式为：，然后把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． 【详解】解：（1）去括号，移项方程化为一般式为：， ，，， ， ，； （2），，， ， ， ，； （3），，， ， ， ，． 【题型2】不解方程判断一元二次方程的根的情况 3．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】根据△，即可判断根的情况． 【详解】解：由条件可得△， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 4．一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】先计算求出根的判别式△的值，再根据△的值来判断根的情况即可． 【详解】解：由条件可知△， 该方程没有实数根， 故选：． 【题型3】已知解的情况求字母的值 5．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据题意得△， 解得． 故选：． 6．若关于的方程有实数根，则实数的取值及范围为　　 ． 【答案】． 【分析】对于一元二次方程，判别式△，当△时，方程有实数根，据此代入数值计算，即可作答． 【详解】解：有实数根， △， 解得． 故答案为：． 【题型4】根的判别式的综合应用 7．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）且；（2），． 【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且△，即，两个不等式的公共解即为的取值范围； （2）求出的值，解方程即可解答． 【详解】解：（1）由题意得△且， 所以且； （2），且，为正整数， ， 方程为， △ ，． 8．已知关于的一元二次方程有实根． （1）求的取值范围； （2）当取最大整数时，求该方程的两个根． 【答案】（1）的取值范围是； （2）方程的两个根都是1． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）结合（1）中的取值范围，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知， 因为关于的一元二次方程有实根， 所以△， 解得， 所以的取值范围是． （2）由（1）知，的最大整数值为0， 则该方程为， 解得， 所以方程的两个根都是1． 【题型5】根的判别式与三角形问题 9．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为△三边的长． （1）若该△是等边三角形，求该方程的根； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，判断△的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，继而可将方程化简，再进行求解即可； （2）根据题意可知根的判别式的值为0，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：（1）当△是等边三角形时，， 原方程可化为：，即， ， ， ，； （2）是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， △， ， ，即， △是直角三角形． 10．已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有实数根； （2）若等腰△的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？ 【答案】（1）见解答； （2）10． 【分析】（1）先计算判别式的值得到△，配方得到△，根据非负数的性质易得△，则根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，则△，解得，然后解方程得到，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当或时，把代入方程可解得的值，则代入方程可解答． 【解答】（1）证明：△ ， ， ，即△， 无论取何值，此方程总有实数根； （2）解：①当时，△， 解得， 方程化为，解得， ， 此种情况不成立； ②当或时，把代入方程得， 解得：， 方程化为，解得，， 即三边为4，4，2，能够成三角形， 则周长， 所以这个等腰三角形的周长是10． 【题型6 】 利用乘积为零解方程 11．方程的解是　　 A． B．， C．， D．无实数根 【答案】 【分析】根据已知方程得到两个关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12．方程的解是　　 A． B． C．， D．， 【答案】 【分析】方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程， 可得或， 解得：，， 故选：． 【点睛】此题考查了一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 1．关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况是（     ） A．两实数根之和为1 B．两实数根之积为1 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】先计算根的判别式，结合判断判别式的符号，即可确定方程根的情况，即可得出答案． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ∴， ， ，即， 该方程没有实数根． 2．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，据此计算即可求出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 其中，，， ∴， 化简得， 解得． 3．用公式法解方程时，a，b，c的值分别为（   ） A．2，6，3 B．2，， C．，6， D．2，6， 【答案】B 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵原方程， 移项得， ∴，，． 故选：B． 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值. 【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得. 5．用求根公式解方程解得＝ _______，＝ ______． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了利用求根公式解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题关键； 先对一元二次方程进行移项，算出判别式的值，然后再利用公式解题即可． 【详解】 解：将方程 转化为标准形式，即 。 计算判别式 的值，这里 , , ， 根据公式有 ，利用求根公式 求解方程的根，带入计算得到： ， 故答案为：， ． 6．已知关于x的一元二次方程，求证：不论m取何值，该方程都有实数根． 【答案】 证明：∵， 又∵恒成立， ∴， ∴不论m取何值，方程都有实数根． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并证明其始终非负是解题的关键． 首先通过计算判别式，再证明其始终非负从而得出方程总有实数根． 【详解】略 7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 8．求方程的正数根． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 【详解】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 9．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根. B．只有一个实数根. C．有两个不相等的实数根. D．没有实数根. 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】求出△的值即可判断． 【详解】解：一元二次方程2x2−3x＋5＝0中， △＝（−3）2−4×2×5＜0， ∴原方程没有实数根． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 10．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式求解，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 即的取值范围是． 11．用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（   ） A．5 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式中各系数的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其中为一次项的系数 ∴一元二次方程的一次项是，即一次项系数． 故选B． 12．一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是_____． 【答案】无实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据根的判别式，可知一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵一元二次方程的根的判别式：， ∴方程无实数根． 故答案为：无实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式.根判别式，(1)当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)当时，一元二次方程有两个相等的实数根；(3)当时，一元二次方程没有实数根． 13．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____________． 【答案】x1=4，x2=2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的等式，求出k的取值，简化方程后求解． 【详解】解：∵△=b2-4ac=36-4（5-k）=16+4k=4， ∴k=-3 方程化简为：x2-6x+8=0 即（x-2）（x-4）=0， ∴x1=4，x2=2． 故答案为：x1=4，x2=2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法求解一元二次方程，关键是掌握一元二次方程根的判别式公式：△=b2-4ac及因式分解法解方程． 14．证明：无论取何值时恒有实数根． 【答案】见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】当k=0，方程式一元一次方程，有实数根；根据一元二次方程的定义得k≠0，再计算判别式得到，然后根据非负数的性质即k的取值得到△≥0，则可根据判别式的意义得到结论． 【详解】证明：当k=0，方程式一元一次方程，有实数根； 当k≠0时， ， 方程有实数根． 综上所知，无论k取何值时恒有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 15．已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式，解题的关键是熟练掌握方程有实数根的条件是：判别式大于或等于0． 根据方程有实数根的条件，建立关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵，，，方程有实数根， ∴ ∴． 16．解方程：．（公式法） 【答案】 ， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程， 先求出a，b，c，再求出，然后根据求根公式解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； B、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； C、，不能判断一定大于零，即不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； D、，方程一定有两个不相等的实数根，该选项符合题意； 故选：D． 18．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 19．关于x的方程有实根，则（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，需掌握一元二次方程的根与之间的关系是解此题的关键．本题分两种情况进行讨论：①，是一元一次方程，必有实数根；②，是一元二次方程，可得判别式，继而可得：，解此不等式即可求得答案． 【详解】解：分两种情况： ①若，则方程为，必有实数根； ②若，则方程是一元二次方程，那么， 解得：． 综上可知，当时，关于x的方程有实根． 故选：B． 20．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，由此计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 21．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的最小整数值为____． 【答案】0 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此得出，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， ， 实数的最小整数值为， 故答案为：0． 22．用公式法解一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ___________． 【答案】 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】本题考查了公式法解一元二次方程，根据求根公式确定出方程即可． 【解答】解：根据题意得：， 则该一元二次方程是， 故答案为：． 23．为何值时，关于的一元二次方程； (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)无实数根？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键． （1）求解即可； （2）求解且即可； （3）求解即可； 【详解】（1）方程有两个相等的实数根， ， 解得； （2）方程有两个不相等的实数根， 且， 且． （3）方程无实数根， ， ． 24．小颖在用公式法解方程时，呈现了如下解答过程，老师判了错误． 解：将原方程化为一般形式，得： …第一步； 这里，，…第二步； …第三步； …第四步； 即，…第五步． (1)小颖从第______步开始出错填序号“一、二、三、四、五”中其中一个； (2)请用公式法将正确求解方程的过程写出来． 【答案】(1)一 (2) 解：将原方程化为一般形式为， ，，， ， ， ，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程——公式法，熟练掌握用公式法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤判断即可； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：第一步移项没有变符号，出现错误， 故答案为：一； （2）略 链接中考 1．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用菱形的性质求面积 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 2．（2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 3．（2026·山东威海·模拟预测）已知，则___________． 【答案】或 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、化为最简二次根式、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】将两个已知等式作差分解因式，分和两种情况计算的值． 【详解】解：已知，，将两式作差得， 分解因式，整理得：， 移项、提取公因式得：， 分两种情况讨论： 情况1：当，即时，把代入得：， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入得：； 情况2：当，即时，将两个原等式相加得：， 即， ∵， ∴把代入得：， 整理得，解得， ∴， 综上，的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $