周周测04 第一章空间向量与立体几何复习、2.1坐标法（数学人教B版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何，融合坐标法应用，以杭州亚运会灯笼等现实情境为载体，考查空间观念、推理能力与模型构建，适配高二周测巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|对称点坐标、向量垂直判定、点面距离|第7题结合华罗庚名言，将函数最值转化为几何问题，体现数形结合| |多项选择|3/18|线面位置关系、中点性质|第10题以四面体为背景，综合考查线面平行与向量关系，强调逻辑推理| |填空题|3/15|中点坐标公式、异面直线夹角|第14题以正八面体为载体，渗透数学文化，考查空间角计算| |解答题|5/77|几何体形状判断、二面角计算|第19题结合亚运会灯笼情境，考查面面垂直证明与二面角计算，体现模型观念与应用意识|

2026-2027学年高二上学期数学周周测04 第一章空间向量与立体几何复习、2.1坐标法 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 4．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 6．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 8．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为______，为______. 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______．    四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测04 第一章空间向量与立体几何复习、2.1坐标法 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解. 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 故选：A 2．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得且，再由即可判定四边形的形状为等腰梯形. 【详解】因为，所以且， 则，且，则四边形的形状为梯形； 又，所以， 则四边形为等腰梯形. 故选：D. 3．已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算，直接求解即可. 【详解】由题知，因为， 所以，. 故选：A 4．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 5．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).. 设平面ABC的一个法向量为，由得：. 令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离. 故选：. 【点睛】本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题. 6．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 7．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 8．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，，，，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则可设，其中，，其中， 根据图中可知直线和直线为异面直线， 若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小， 根据异面直线公垂线的定义知，， ，，，，则， 则，， 解得，满足范围， 则此时， 则. 故选：C.    二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10．如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断A；对于B，将与的位置关系转化为与的关系进行判断；根据空间向量的线性运算即可判断C；通过分析得到，即可判断D. 【详解】对于A，因为分别是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由A可得，，因为分别是的中点，所以. 由题中条件得不到与垂直，所以也得不到与垂直，故B错误； 对于C， ,故C正确； 对于D，因为是的中点，所以. 又因为是的中点，所以， 所以, 所以为的中点，故D正确. 故选:ACD. 11．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A；先证明，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B；求出平面的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． 因为，，． 设，所以， 所以点到直线的距离为，故A正确． 因为，，所以， 所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离． ，． 设，所以， 所以直线到直线的距离为，故B正确． 设平面的一个法向量， 又，，所以 取，则，，所以， 所以． 又，所以点到平面的距离为，故C错误． 因为，平面，所以平面， 所以到平面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， 所以直线到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为______，为______. 【答案】 25 【分析】设B点的坐标为，根据中点坐标公式列出关于的方程组，解出方程组即可得B点的坐标. 【详解】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 13．在四棱柱中，底面为矩形，，且.则异面直线与所成角的余弦值为__________. 【答案】/ 【分析】将作为空间向量基底，然后用基底将表示出来，再利用向量的夹角公式可求得结果. 【详解】 令，则由题意可得，， 所以， 由题意得，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为，则 ， 即异面直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 14．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______．    【答案】 【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【详解】    连接交于点，连接， 因为该几何体是一个高为4的正八面体， 所以，，， 设棱长为，则，， 所以在中，，即，解得， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与夹角为， 则， 因为， 所以异面直线与所成角的正弦值， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 16．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1），， ，， . （2）设与的夹角为，则，     ，，     ，， ， ， 向量与夹角的余弦值为. 17．已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据条件得到，，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解； （2）根据条件得到，再利用，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又，所以，得到. （2）因为，又，所以，解得或， 所以的坐标为或. 18．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD， 所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD ； （2）； （3）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．理由如下： 由（2）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD． 过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO． 又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC． 由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1 【分析】（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（2）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【详解】（1）略 （2）设正方形边长a，则． 又，所以∠SDO＝60°． 连OP，由（1）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角． 由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角P－AC－D的大小为30° （3）略 考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角求解；3．线面平行的判定 19．2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) 因为， 平面，BC是圆柱底面的直径， 所以，则，，， 则有，所以； 又E为的中点所以，，，， 则有，所以； 又，所以平面，平面， 所以平面平面； (2) 【分析】（1）首先根据勾股定理分别证明和，进而得平面， 再由面面垂直的判定定理即得. （2）求出平面的法向量和平面的法向量， 利用向量法求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意可知，平面，， 以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 则，，，，， ，，． 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 所以， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测04 第一章空间向量与立体几何复习、2.1坐标法 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知,则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．正方形或菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形 3．已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 5．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 8．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 10．如图，在四面体中，分别是的中点，相交于点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C． D．若分别为的中点，则为的中点 11．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为______，为______. 13．在四棱柱中，底面为矩形，，且.则异面直线与所成角的余弦值为__________. 14．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______．    四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 16．已知向量，. (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值. 17．已知空间中三点，设 (1)已知，求的值； (2)若，且，求的坐标. 18．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 19．2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期数学周周测04 第一章空间向量与立体几何复习、2.1坐标法 一、单项选择题（本题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点关于坐标平面的对称点的坐标为，即可求解. 【详解】点关于平面对称点的坐标为. 故选：A 2．已知向量，，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算，直接求解即可. 【详解】由题知，因为， 所以，. 故选：A 3．设是平面外的直线的方向向量，是平面的法向量，则（   ） A． B．或在平面内 C． D．或 【答案】C 【分析】计算出，即可判断得解. 【详解】∵，∴. 又因直线在平面外，∴. 4．若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】解：分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.    则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).. 设平面ABC的一个法向量为，由得：. 令，则.则平面ABC的一个法向量为.所以点P到平面ABC的距离. 故选：. 【点睛】本题考查空间中点到平面的距离，关键考查运算能力，属于基础题. 5．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】由向量，得，， 则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为． 故选：A 6．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，点在上，则的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设，，，，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案. 【详解】以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则可设，其中，，其中， 根据图中可知直线和直线为异面直线， 若能取到两异面直线间的距离，则此时距离最小， 根据异面直线公垂线的定义知，， ，，，，则， 则，， 解得，满足范围， 则此时， 则. 故选：C.    二、多项选择题（本题共2小题，每小题8分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得8分，部分选对的得部分6分，有选错的得0分） 7．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C．直线的方向向量，平面的法向量是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 8．（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A；先证明，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B；求出平面的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． 因为，，． 设，所以， 所以点到直线的距离为，故A正确． 因为，，所以， 所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离． ，． 设，所以， 所以直线到直线的距离为，故B正确． 设平面的一个法向量， 又，，所以 取，则，，所以， 所以． 又，所以点到平面的距离为，故C错误． 因为，平面，所以平面， 所以到平面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， 所以直线到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分． 9．已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为______，为______. 【答案】 25 【分析】设B点的坐标为，根据中点坐标公式列出关于的方程组，解出方程组即可得B点的坐标. 【详解】设B点的坐标为， ∵点A的坐标，线段中点的坐标为， ∴，解得， 即点的坐标为，所以 故答案为：；25. 10．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为______．    【答案】 【分析】依题意，求出棱长，建立空间直角坐标系，借助向量求出异面直线夹角的余弦值，再转换为正弦值即可. 【详解】    连接交于点，连接， 因为该几何体是一个高为4的正八面体， 所以，，， 设棱长为，则，， 所以在中，，即，解得， 以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与夹角为， 则， 因为， 所以异面直线与所成角的正弦值， 故答案为：. 四、解答题：本题共1小题,共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD； (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； (3)在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD， 所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD ； （2）； （3）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC．理由如下： 由（2）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD． 过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO． 又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC． 由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1 【分析】（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（2）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【详解】（1）略 （2）设正方形边长a，则． 又，所以∠SDO＝60°． 连OP，由（1）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角． 由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角P－AC－D的大小为30° （3）略 考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角求解；3．线面平行的判定 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $