专题03 线线角、线面角、面面角问题（八大压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 以空间角定义为根基，通过“通法+题型+挑战”三级体系构建从定义理解到综合应用的完整训练链，突出方法迁移与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心原则2条|定义锁定+不变量分析|概念→原则→方法的底层逻辑| |题型归纳（8题型）|例+变式共40+题|平移/射影/构造三角形+范围限定|正反向求解→折叠→最值的递进关系| |压轴挑战|高难题16道|多考点综合应用|空间角与几何体性质的深度融合|

专题03 线线角、线面角、面面角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线的夹角 题型二、已知异面直线的夹角求其他 题型三、求线面夹角 题型四、已知线面夹角求其它 题型五、求二面角 题型六、已知二面角求其它 题型七、折叠问题中的夹角 题型八、夹角的最值范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间立体几何夹角问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕异面直线夹角、线面夹角、二面角的定义与取值范围、折叠空间重构、夹角最值分析八大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有空间夹角必须严格对应教材定义，锁定对应夹角取值范围，杜绝角度混淆错判；二是折叠问题必须区分折叠前后不变的边长、垂直关系与变化的空间角度. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线的夹角 题型模版 1.特征：题干给出空间几何体，给出两条异面直线的位置，无角度条件，要求直接求解两条异面直线所成角的大小。 2.方法：利用平移法将异面直线转化为相交直线，构造平面三角形；通过边长结合余弦定理计算夹角；严格限定异面直线夹角范围为(0°,90°]，算出钝角需取其补角。 【例1】已知在四面体中，，，的中点为，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2】在直棱柱中，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在三棱锥中，已知平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 题型二、已知异面直线的夹角求其他 题型模版 1.特征：题干已知两条异面直线所成角的具体度数或三角函数值，反向求解几何体的棱长、线段长度、位置参数等。 2.方法：根据已知夹角构造对应夹角三角形，利用余弦定理、勾股定理建立边长方程；结合异面直线夹角取值范围筛选合理解，舍去不符合空间结构的参数值。 【例3】已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（    ）    A． B．2 C．或 D．2或 【变式2-1】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【变式2-2】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则________. 【变式2-3】在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为__________. 题型三、求线面夹角 题型模版 1.特征：给定直线与平面的空间位置，无已知角度，要求求解直线与平面所成角的大小。 2.方法：找到直线在平面内的射影，确定线面夹角（直线与射影的锐角）；先找直线上一点向平面作垂线，确定垂足，构造直角三角形；利用直角三角形边角关系、三角函数求解，线面角范围为[0°,90°]。 【例5】在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【变式3-1】已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-2】如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)求直线PB与平面所成角的正切值. 【变式3-3】如图，已知为菱形所在平面外一点，，对角线，为中点，菱形边长． (1)求证：平面； (2)当平面．时，求直线和平面所成角的正弦值． 题型四、已知线面夹角求其它 题型模版 1.特征：已知某直线与平面所成角的大小，依托该条件求解几何体棱长、高、点面距离、线段比例等未知量。 2.方法：根据线面角定义还原直角三角形，明确垂线、斜线、射影三边关系；利用已知角度的三角函数值列等式计算边长，最终验证点面垂直关系是否成立。 【例7】已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是_______． 【例8】在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 【变式4-1】）在正四棱台中，，且直线与平面所成角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【变式4-2】如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（    ） A．80 B． C．160 D． 【变式4-3】一个四棱台的上下底面均为正方形，上底边长为4cm，下底是边长为8cm，侧面为全等的等腰梯形，且棱台的侧棱与上下底面的夹角均为，则这个棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五、求二面角 题型模版 1.特征：给出两个相交平面，要求求解两平面所成二面角的平面角大小，是立体几何核心必考题型。 2.方法：找准两平面公共交线，在交线上取定点，分别在两个平面内作交线的垂线，构造二面角平面角；依托直角三角形、余弦定理计算角度，二面角范围为[0°,180°]，区分锐角二面角与钝角二面角。 【例9】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，平面是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值． 【例10】如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【变式5-1】四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与面所成的角； (3)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【变式5-2】如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值． 【变式5-3】如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正切值． 题型六、已知二面角求其它 题型模版 1.特征：题干明确给出二面角的角度或三角函数值，以此为条件，求解几何体棱长、高、点到平面距离、线段比值等问题。 2.方法：根据已知二面角还原平面角，锁定垂直结构，构造直角三角形或斜三角形；结合边角关系列方程求解未知量，检验角度与几何体空间结构是否匹配。 【例11】如图，圆锥CO 的底面直径，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦.    (1)当时，证明：； (2)若二面角的余弦值为求AD. 【例12】如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【变式6-1】二面角的棱上有A，B两点， 且，且，若，，，二面角的平面角为，则为__________. 【变式6-2】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【变式6-3】如图，顶点为的圆锥的母线与该圆锥的底面直径相等，其中是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，为上一点，. (1)当，求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 题型七、折叠问题中的夹角 题型模版 1.特征：将平面图形沿某条直线翻折成立体图形，翻折后求解异面直线角、线面角、二面角等空间角度。 2.方法：牢记折叠前后折线段长度、平面内垂直关系、线段夹角保持不变，空间位置、二面角发生改变；先固定不变量，分析翻折后新的垂直结构，再按对应夹角题型方法求解角度。 【例13】已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【例14】如图，在平行四边形中，，，E为的中点，沿将翻折至的位置得到四棱锥，且直线与直线所成的角为45°.则的长为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-1】如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【变式7-2】如图，在梯形ABCD中，，过点 作于点．将沿翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． (1)证明：． (2)求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 【变式7-3】如图1，在平面五边形中，四边形是边长为2的菱形，，，，将沿翻折至，如图2． (1)若为中点，证明：平面； (2)当时． （i）证明：平面平面； （ii）求平面与平面所成角的正切值． 题型八、夹角的最值范围问题 题型模版 1.特征：几何体中存在动点，直线、平面位置随动点变化，求异面直线角、线面角、二面角的取值范围或最大、最小值。 2.方法：分析动点运动过程中恒定不变的垂直、平行与边长关系；锁定夹角的临界位置（起点、终点、垂直位置），求出临界角度；结合角度单调性确定最终取值范围，严格贴合各类夹角定义域取舍。 【例15】在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例16】如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，设二面角的大小为，求的取值范围． 【变式8-1】在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【变式8-3】如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面四边形中，，，，，将沿折起，使二面角的大小为，此时直线与平面所成角的正切值为________； 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7．如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 8．如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 9．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 13．如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 14．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点． (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的正弦值． 15．如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 16．如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线线角、线面角、面面角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线的夹角 题型二、已知异面直线的夹角求其他 题型三、求线面夹角 题型四、已知线面夹角求其它 题型五、求二面角 题型六、已知二面角求其它 题型七、折叠问题中的夹角 题型八、夹角的最值范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间立体几何夹角问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕异面直线夹角、线面夹角、二面角的定义与取值范围、折叠空间重构、夹角最值分析八大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有空间夹角必须严格对应教材定义，锁定对应夹角取值范围，杜绝角度混淆错判；二是折叠问题必须区分折叠前后不变的边长、垂直关系与变化的空间角度. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求异面直线的夹角 题型模版 1.特征：题干给出空间几何体，给出两条异面直线的位置，无角度条件，要求直接求解两条异面直线所成角的大小。 2.方法：利用平移法将异面直线转化为相交直线，构造平面三角形；通过边长结合余弦定理计算夹角；严格限定异面直线夹角范围为(0°,90°]，算出钝角需取其补角。 【例1】已知在四面体中，，，的中点为，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接， 因为的中点为，所以，且， 所以（或其补角）为直线与直线所成的夹角. 因为，，所以，所以， 所以，同理可得， 在中，由余弦定理可得， 所以直线与直线夹角的余弦值为. 【例2】在直棱柱中，底面为正方形，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线与所成角为或其补角， 又因为且四棱柱为底面是正方形的直四棱柱， 所以， 所以.    【变式1-1】已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，延长至，使得，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 即，所以异面直线与所成角为或其补角（取锐角）. ， 在中，因为，，所以，则， ， 由于异面直线所成角的取值范围为，故，即与所成角的余弦值为. 【变式1-2】在三棱锥中，已知平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，将三棱锥补全为如下图示的长方体，且, 所以，即四边形为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 所以或其补角是异面直线与所成角的平面角， 由上，，则. 【变式1-3】如图，在圆锥中，是底面圆O的直径，D，E分别为，的中点，，，则直线与直线所成角的大小为______． 【答案】/ 【详解】取OA的中点F，BO的中点G，连接ED、EF、EG、GC、CF，如下图所示， 因为D，E分别为，的中点， 所以，且 ， 又O为AB的中点，所以，则，且 ， 因为F为OA的中点，所以且， 所以四边形EDAF为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为直线与直线所成角， 在中，，则， 在中，，则， 同理， 因为E，G分别为SB、BO的中点， 所以，且， 在中，， 在中，， 由图象可得为锐角，所以， 则直线与直线所成角的大小为. 题型二、已知异面直线的夹角求其他 题型模版 1.特征：题干已知两条异面直线所成角的具体度数或三角函数值，反向求解几何体的棱长、线段长度、位置参数等。 2.方法：根据已知夹角构造对应夹角三角形，利用余弦定理、勾股定理建立边长方程；结合异面直线夹角取值范围筛选合理解，舍去不符合空间结构的参数值。 【例3】已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，，且，所以， 连接、，过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积.    故选：D 【例4】如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（    ）    A． B．2 C．或 D．2或 【答案】C 【详解】设是的中点，连接， 由于，分别为棱，的中点， 所以, 所以是异面直线与所成的角或其补角， 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 所以为或. 故选：C    【变式2-1】如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 【变式2-2】正方体的棱长为4，点P是棱上一点(不包括端点)，若异面直线与所成角的余弦值为，则________. 【答案】 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】在空间四边形中，，分别是对角线的中点，若异面直线所成角的大小为，则的长为__________. 【答案】或 【详解】取中点为，连接， 因为分别是的中点， 所以，，，且，. 又异面直线所成角的大小为， 所以，或. 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，； 当时， 在中，由余弦定理可得， ， 所以，. 综上所述，或. 故答案为：或. 题型三、求线面夹角 题型模版 1.特征：给定直线与平面的空间位置，无已知角度，要求求解直线与平面所成角的大小。 2.方法：找到直线在平面内的射影，确定线面夹角（直线与射影的锐角）；先找直线上一点向平面作垂线，确定垂足，构造直角三角形；利用直角三角形边角关系、三角函数求解，线面角范围为[0°,90°]。 【例5】在长方体中，，，点是的中点，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角， 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为，故C正确. 【例6】如图，四棱锥，底面是直角梯形，，，，，底面，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取的中点，连接、， 所以是的中位线，因此，， 而又因为，且，即，因此，且， 因此四边形为平行四边形，故有， 又因为平面，平面， 因此根据线面平行的判定定理有平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，因此， 而又因为底面是直角梯形，所以，，因此， 故由，且、平面，因此平面， 过点作，交于点， 因为平面，平面，所以， ，平面， 所以平面, 连接，则是在平面内的射影，因此就是直线与平面所成的角， 在直角三角形中，，， 因此， 由得，， 在底面直角梯形中，过作于点，则，， 因此， 故在直角三角形中，. 【变式3-1】已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】正四棱锥中，顶点在底面的投影为底面正方形中心， （高），底面正方形边长为2，对角线长， 因此，且. 是中点，过作平面于，则是中点，， 故，底面，就是直线与底面所成角. ，在中： 因此直线与底面所成角的正切值为，选B. 【变式3-2】如图，四棱锥的底面是矩形，平面，M为棱BC的中点，且，，直线PM与平面所成的角为. (1)证明：. (2)求直线PB与平面所成角的正切值. 【答案】(1)由平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，由平面，所以为直线PM与平面所成的角， 所以， 在中，， 所以，① 因为，所以，所以②， 由①②得， 所以， 设点到平面的距离为， 在中，， 所以， 因为，所以， 所以， ， 因为，所以，得， 设直线PB与平面PAM所成角为，则， 因为，所以， 所以， 所以直线PB与平面所成角的正切值为. 【变式3-3】如图，已知为菱形所在平面外一点，，对角线，为中点，菱形边长． (1)求证：平面； (2)当平面．时，求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)如图所示，连接， 因为菱形对角线，所以为中点， 因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）连接，因为平面，，所以为直角三角形，， 因为，，所以，， 因为为中点，所以， 因为，所以平面， 则直线和平面所成角为， 因为平面，所以，则， 则直线和平面所成角的正弦值为. 题型四、已知线面夹角求其它 题型模版 1.特征：已知某直线与平面所成角的大小，依托该条件求解几何体棱长、高、点面距离、线段比例等未知量。 2.方法：根据线面角定义还原直角三角形，明确垂线、斜线、射影三边关系；利用已知角度的三角函数值列等式计算边长，最终验证点面垂直关系是否成立。 【例7】已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是_______． 【答案】 【详解】令正的中心为，连接，由平面，得是直线与底面所成的角， 即，而平面，则有，， 因此正边上的高， 所以正的边长为. 故答案为： 【例8】在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为__________. 【答案】 【详解】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 【变式4-1】）在正四棱台中，，且直线与平面所成角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】将正四棱台的四条侧棱，延长交于点，得到正四棱锥． 由于平面平面，则就是直线与平面所成角，即． 在等腰梯形中，作于，则， ，． 又，则是异面直线与所成的角． 在等腰梯形中，作于， 则在中，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：    【变式4-2】如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形和四边形是两个全等的等腰梯形，和是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱与平面成的角，，则该屋顶的侧面积为（    ） A．80 B． C．160 D． 【答案】D 【详解】设分别是的中点，连接，根据对称性可知， 在平面的射影在上，设其为，连接， 则平面，而平面，所以， 所以是与平面成的角，即， 所以， 过作，垂足为，连接， 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， ，所以， 所以，所以， 所以该屋顶的侧面积为： . 故选：D 【变式4-3】一个四棱台的上下底面均为正方形，上底边长为4cm，下底是边长为8cm，侧面为全等的等腰梯形，且棱台的侧棱与上下底面的夹角均为，则这个棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接和分别交于点，如下图所示： 则平面过上下底面的中心，作于点，如下图： 易知底面，底面， 因此即为侧棱与下底面的夹角的平面角，可得， 显然，且， 易知， 所以，则； 又为等腰直角三角形，可得； 可得这个棱台的体积为. 故选：D 题型五、求二面角 题型模版 1.特征：给出两个相交平面，要求求解两平面所成二面角的平面角大小，是立体几何核心必考题型。 2.方法：找准两平面公共交线，在交线上取定点，分别在两个平面内作交线的垂线，构造二面角平面角；依托直角三角形、余弦定理计算角度，二面角范围为[0°,180°]，区分锐角二面角与钝角二面角。 【例9】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是与的交点，平面是的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， 又为的中点，所以. 因为平面平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略. （2）过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，所以平面，所以， 又，又平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以是等边三角形，所以， 所以平行四边形是菱形，所以，， 所以，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 【例10】如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)记的交点为D，的交点为E，连接， 因为是三角形的中线，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面 ， 平面 ，所以平面 . (2)由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为M，N分别为的中点，所以，且， 所以 ，所以 ， 因为，所以，所以，， 所以，所以， 所以， 又 是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以, 所以，则， 又，， 所以， 因为 ，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 【变式5-1】四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与面所成的角； (3)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）过B作，使，连接、，则为与所成角或其补角， 在中，得， 在中，得， 在中，在中， ． 所以与所成的角为． （2）由（1），，，平面， 平面，， 所以为与平面所成角， 在中，． （3）延长、交于一点M，连，则为面与面的交线， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 过D作于点N，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为面与面所成二面角的平面角， 因为，，，所以， 又，又， 所以 在中，． 【变式5-2】如图1是边长为2的正方形，将其沿折起，使得，得到如图2所示的三棱锥，其中，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面． (2)因为，， 所以为边长为的等边三角形，即． 连接，，易知， 所以，即． 又，为中点， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知， 又，所以为等边三角形． 取线段的中点，连接，， 则，且， 同理可得，，且． 又平面平面， 所以二面角的平面角为， 又， 所以， 故二面角的余弦值为． 【变式5-3】如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正切值． 【答案】(1)设，则，， 由为中点，得，由，，得是平行四边形， 则，即，由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又，，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由，得，又，，则，延长交于点， 连接，因此为平面与平面的交线， 由，，得为平面与平面所成的二面角， 即，设，则，， 在中，由余弦定理得， 由，得， 又平面，平面，则，而， 平面，于是平面， 在平面内，过点作，交于点，连接， 即，，而平面， 则平面，又平面，因此， 为平面与平面所成二面角的平面角， 在内，由，，得， 在内，， 所以平面与平面所成二面角的正切值为． 题型六、已知二面角求其它 题型模版 1.特征：题干明确给出二面角的角度或三角函数值，以此为条件，求解几何体棱长、高、点到平面距离、线段比值等问题。 2.方法：根据已知二面角还原平面角，锁定垂直结构，构造直角三角形或斜三角形；结合边角关系列方程求解未知量，检验角度与几何体空间结构是否匹配。 【例11】如图，圆锥CO 的底面直径，其侧面展开图为半圆，AD 是底面圆的一条弦.    (1)当时，证明：； (2)若二面角的余弦值为求AD. 【答案】(1) 在圆锥中，连接，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，而是圆的圆心，所以.    (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由圆锥CO的侧面展开图为半圆，得，则，， 取中点，连接，而，则， 是二面角的平面角，即，， 而，因此， 所以. 【例12】如图，在四棱锥中，平面，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求线段的长． 【答案】(1) 取中点，连结，三角形中，为中点，    所以，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面. (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，， ，，所以四边形为矩形， 所以，， 所以，又因为，则， 所以，即. 因为平面平面， 所以， 所以是二面角的大小的平面角，则. 所以. 【变式6-1】二面角的棱上有A，B两点， 且，且，若，，，二面角的平面角为，则为__________. 【答案】 【详解】如图，做，使，则四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形，又，平面， ，则平面，又，则平面，注意到平面，则.由题，，，则由余弦定理， ，又， 则由勾股定理，. 故答案为：    【变式6-2】如图，在长方形中，，，设，（），将沿折起至，使平面平面． (1)证明：平面； (2)若二面角的平面角的余弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】 【详解】（1）因为四边形为长方形，所以， 又平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面； （2）如图所示，在（ⅱ）图中过点S作，垂足为O， 延长交于点E，连接． 由翻折知， 所以二面角的平面角为， 在（ⅱ）图中设，因为中，， 又因为相似，所以，所以， 可得，，， 又平面，所以平面，平面， 所以，又因为平面，平面，所以， 是相交直线，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，解得. 【变式6-3】如图，顶点为的圆锥的母线与该圆锥的底面直径相等，其中是圆锥底面的圆心，是圆锥底面的内接正三角形，为上一点，. (1)当，求证：平面； (2)若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）[方法一] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，，所以，       .       又为等边三角形，则，所以，       ，则，所以，       同理，又且、在平面上，所以平面.       [方法二] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，由圆锥性质知平面， 所以， 所以.因为是的外心，因此.       在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 所以，，. 故，.       所以，.       又且、在平面上，故平面.       [方法三] 当时，因为是底面圆的内接正三角形，且为底面直径，所以. 因为（即）垂直于底面，在底面内，所以.       又因为平面，平面，， 所以平面. 又因为平面，所以.       设，则F为的中点，连接，如图. 设，且， 则，，.       因此，从而. 又因为且、在平面上，所以平面.       [方法四] 当时，如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连接，，易得， 因为，所以.       以，，为基底，平面， 则，       ，且，， 所以.       故，所以，即.       同理.又且、在平面上，所以平面. （2）当时，设，过作交于点N，因为平面，以为坐标原点，为x轴，为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，       则，，， 因为， 所以，， 故，，       所以，，， 设平面的一个法向量为，则有，， 即，       令，得，所以， 同理得平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为，所以，       即，解得，       因为，满足题意， 所以，即为所求. 题型七、折叠问题中的夹角 题型模版 1.特征：将平面图形沿某条直线翻折成立体图形，翻折后求解异面直线角、线面角、二面角等空间角度。 2.方法：牢记折叠前后折线段长度、平面内垂直关系、线段夹角保持不变，空间位置、二面角发生改变；先固定不变量，分析翻折后新的垂直结构，再按对应夹角题型方法求解角度。 【例13】已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【答案】(1) 取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由，得， 即得直线和平面所成角为. 【例14】如图，在平行四边形中，，，E为的中点，沿将翻折至的位置得到四棱锥，且直线与直线所成的角为45°.则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接，取的中点为，连接. 因为，，所以. 因为，所以为正三角形，所以， 因为，所以. 因为，所以. 又，所以，所以，所以. 又分别为的中点，所以. 所以.又，平面. 所以平面，又平面，所以. 又，所以四边形为平行四边形. 所以，所以. 又直线与直线所成的角为，所以直线与直线所成的角为， 即. 在中，，， 所以，根据勾股定理得. 故选：A.    【变式7-1】如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明如下： 由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． 【变式7-2】如图，在梯形ABCD中，，过点 作于点．将沿翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． (1)证明：． (2)求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明:设，，, 平面平面ABED，平面平面，平面， 平面ABED， 由四棱锥的体积为8，，， 得，解得，即， 连接，在中，． 在中，，所以． ， ，即 ， 平面，平面ABED， ， ，平面AEP，平面， 又平面，. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为 轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面PAD的法向量为， 则，令，则， 设平面PAB的法向量为， 则， 令，则． 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式7-3】如图1，在平面五边形中，四边形是边长为2的菱形，，，，将沿翻折至，如图2． (1)若为中点，证明：平面； (2)当时． （i）证明：平面平面； （ii）求平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1)连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点，又M为PD中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． (2)（i）因为，， 又、平面且 所以平面，平面，． 又，、平面且， 平面，又平面， 所以平面平面． （ii） 【详解】（1）略； （2）（i）略 （ⅱ）过作，平面， 又因为，， 平面，是平面和平面的交线 过作于，连结，又， 平面，面， 、， 即为平面与平面所成角的平面角． 由（2）（i）知平面，因为平面，所以, 四边形是边长为2的菱形，，， 所以, 在直角中，，所以平面与平面所成角的正切值是. 题型八、夹角的最值范围问题 题型模版 1.特征：几何体中存在动点，直线、平面位置随动点变化，求异面直线角、线面角、二面角的取值范围或最大、最小值。 2.方法：分析动点运动过程中恒定不变的垂直、平行与边长关系；锁定夹角的临界位置（起点、终点、垂直位置），求出临界角度；结合角度单调性确定最终取值范围，严格贴合各类夹角定义域取舍。 【例15】在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正方体棱长为2，平面，当点是靠近点的四等分点时，， 则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1， 当点与重合时，此时最长，即,点到平面的距离为，此时直线即与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.    故选：D 【例16】如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． (1)若平面，求的值； (2)若，求点到平面的距离； (3)若，设二面角的大小为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为，，所以，所以， 所以． （2）取的中点，连接，，过作，与交于点， 过作，垂足为，连接，过作，垂足为． 因为是边长为4的等边三角形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为，所以，所以， ． 由题易知，，所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离与点到平面的距离相等， 又，所以点到平面的距离为点到平面的距离的， 即点到平面的距离为． （3）取的中点，连接，设与交于点，过作，与交于点， 过作，垂足为，连接， 由（2）知，平面，又平面，所以， 因为，平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角或二面角的平面角， 即，或，所以． 因为，所以，， 当点在线段上时，， 因为，所以， 所以， 所以； 当点在线段上时，同理可得． 当时，，，， 即． 【变式8-1】在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设与平面所成角为，正方体的棱长为， 根据正方体的性质可得，平面， 所以平面，且点为的中心， 所以. 又因为直线与所成角为，且的最小值为， 所以与平面所成角为，所以为. 由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线， 所以此时. 又因为在中，易得，， 所以， 所以， 所以 . 故选：B. 【变式8-2】如图，直角梯形中，，，，，，点为线段不在端点上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以, 当，，所以平面， 又平面，所以， 此时与相似，故， 设，由，解得，所以. （2）过作的平行线交于点，连接， 由，且， 得四边形是平行四边形，故， 所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 所以锐角正切值的最大值为，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为. 【变式8-3】如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) 在中，，，，所以，所以， 在中，，，，所以，所以， 又，平面，，所以平面． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，连接，取的中点，连接． 因为平面，平面平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，，是的中点，所以，， 所以是二面角的平面角． 在等边中，，，所以， 在中，因为，，所以， 在平行四边形中，， 所以，， 在中，， 所以， 故二面角的正弦值为． （3）如图，过点作，交的延长线于点． 因为，，，，平面，所以平面． 因为平面，所以． 又，，，平面， 所以平面，， 所以． 因为，平面，平面，所以平面． 又因为点在棱上，所以点到平面的距离为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 当时，最短，为， 可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 当点与重合时，最长，为4， 可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设正方体棱长为2，平面，当点是靠近点的四等分点时，， 则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1， 当点与重合时，此时最长，即,点到平面的距离为，此时直线即与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.    故选：D 2．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设与平面所成角为，正方体的棱长为， 根据正方体的性质可得，平面， 所以平面，且点为的中心， 所以. 又因为直线与所成角为，且的最小值为， 所以与平面所成角为，所以为. 由线面角的最小性可知，当取最大值时，三点共线， 所以此时. 又因为在中，易得，， 所以， 所以， 所以 . 故选：B. 3．在侧面积为的正四棱台中，，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，分别取，中点，，连接 则，， 由正四棱台可知，， 又， 所以，且， 即四边形为平行四边形， 所以， 又正四棱台的侧面积为， 即，解得， 又四边形为等腰梯形， 所以， 又，分别是棱，的中点，所以， 所以异面直线与所成角为或其补角， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 4．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则， 故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 5．如图，在平面四边形中，，，，，将沿折起，使二面角的大小为，此时直线与平面所成角的正切值为________； 【答案】/ 【详解】由题知， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成角，记为， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以， 在中，， 过作延长线的垂线，交于点， 则， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 6．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱垂直于底面，，点、分别是、的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接， 因为点、分别是、的中点， 所以且， 又因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略． （2）过点作的垂线，设垂足为，连接， 因为平面，平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，即为直线与平面所成角的平面角， 设， 在中，即， 由（1）可知，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为．    7．如图，在三棱锥中，，，分别为，，的中点，且，平面平面．    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若，，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)由题意得是的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，且为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 因为平面且，所以平面， 因为平面，所以. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点，连接， 在中，分别是的中点， 所以为的中位线，因此，且， 由上知平面，所以平面， 因此为直线与平面所成的角， 由题意得，， 在中，，所以且， ， 因为平面，且平面，所以， 在中，.    8．如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)设是中点，求直线与平面所成角的正弦值 【答案】(1)法一：取中点H，连接HG，HF， ，H，F分别为，和中点． ，，，从而， 平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC， 平面ABC，平面ABC，平面HGF，平面HGF， 与HF在平面HGF内且相交，平面平面ABC， 平面HGF，平面. 法二：连接， 为中点，为中点，为中点，， 平面ABC，平面ABC，平面ABC． (2)在直棱柱中，平面ABC， 平面ABC，， 不妨设，，，， ，， 又与在平面内且相交，平面， 平面，平面平面． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接MB，， 平面ABC，直线BM为直线在平面ABC内的射影， 是与平面ABC所成的角， 在中，， ， 故． 9．如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为，为中点，所以， 因为为中点，为中点，所以， 因为，所以． 又，平面，平面， 所以平面． 又平面，所以平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）作于，连接， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 因为，，，所以， 又因为，，所以， 所以，所以， 取中点，连接，因为，，所以， 所以， 又因为，即，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 10．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)如图，    连接，交于点，连接． 因为底面是正方形，所以是的中点． 又点为的中点，所以． 因为平面，且平面， 所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设底面正方形的边长为． 因为平面，平面， 所以为直角三角形． 又，所以． 因为底面为正方形，因此． 由于，且平面，所以平面． 又平面，因此平面平面，且交线为． 过点作，交于点，则平面， 又平面，则， 连接，则即为直线与平面所成的角． 易知， ，. 在中，， 所以． 11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以．因为平面，平面， 所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． ，，则，， 在中，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 12．如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【答案】(1) 如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 13．如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 【答案】(1)因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 14．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点． (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 又四边形为菱形，所以， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为，过点作，交于点，如图所示， 因为平面平面，平面，平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面， 所以，同理得， 又，，所以， 在中，，则， 在中，，同理得， 在中，， 在中，， 在中，， 则， 在中，， 在中，， ， 则， 在中，， 在中，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 15．如图，在三棱柱中，，，，，为的中点，平面．    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，平面， 所以平面. (2)． 【分析】 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，，则 所以四边形是平行四边形． 因为，，，AD，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 作于E，平面平面，平面， 则平面， 连接CE，则为直线与平面所成的角，    由，，，知， 又由（1）知平面ABC， 所以，， ． 则， 由于，所以，所以． 故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 16．如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)证明：如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， AI又平面平面，平面，平面平面， 所以平面 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略； （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． （3）如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $