2.7.2 抛物线的几何性质（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，实现从抛物线几何性质基础应用到综合创新的梯度进阶，强化运算能力与逻辑推理，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|焦点、准线、距离公式等基础概念|以选择题型为主，直接应用定义与公式，强化运算能力| |B组能力进阶|最值问题、直线与抛物线位置关系|结合中点弦、相切条件等综合考点，培养逻辑推理| |C组思维拔高|光学性质、跨知识点综合（椭圆与抛物线）|设置实际情境（光学反射）和复杂问题（重心、斜率范围），发展数学建模与创新意识|

分层作业 2.7.2　抛物线的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01抛物线的简单几何性质　 B组 能力进阶 C组 思维拔高 抛物线的简单几何性质题型01 1．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 2．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，则点到直线的距离最短为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26高三上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．4 B． C．2 D． 5．（25-26高三上·海南·期末）抛物线上到准线和焦点的距离之和为2的点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 8．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，过上的一点作轴的垂线，交的准线于点，若直线PF的方程为，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 10．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）抛物线的焦点为为抛物线上一点，点满足，则直线（为坐标原点）斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.7.2　抛物线的几何性质 目 录 A组 巩固过关 题型01抛物线的简单几何性质　 B组 能力进阶 C组 思维拔高 抛物线的简单几何性质题型01 1．（25-26高二下·四川凉山·期末）已知抛物线：的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则（为坐标原点）的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求出，代入抛物线方程得到纵坐标，再结合三角形面积公式求解即可 【详解】由题意知，，且，可得， 将代入抛物线方程得：， 所以. 2．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点Al，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则＝（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解. 【详解】抛物线C：的焦点，准线为， 设准线与轴交于点， ∵，由与相似得：， ∵，∴. 3．（25-26高二下·湖南·期末）已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 1．（25-26高二上·河北张家口·期末）点在抛物线上，则点到直线的距离最短为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据点到直线的距离和二次函数的性质可求最小值为. 【详解】根据题意设， 所以点到直线的距离为： ， 当且仅当时等号成立，此时， 所以当时，点到直线的距离最短且为，B正确. 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知点为抛物线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】依题意可得，从而转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为点为抛物线上一动点， 所以，即, 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时，. 故选：B 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知点为抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】首先求出抛物线的焦点与准线方程，即可得到，不妨令在第一象限，即可求出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出的坐标，即可求出面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则， 因为，不妨令在第一象限，则， 所以直线的方程为， 由，解得，所以，则轴， 所以. 故选：B 4．（25-26高三上·广西河池·期末）已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先写出直线方程，然后跟抛物线联立，应用韦达定理，然后把弦长和原点到直线的距离都算出来，最后用三角形面积. 【详解】抛物线的焦点为. 直线的倾斜角为，斜率， 由点斜式得直线方程：， 联立抛物线与直线方程：， 消去得：， 设，，由韦达定理有， 根据弦长公式， 将，，代入可得： ， 原点到直线的距离 ，距离公式， 所以 ， 这里以为底，为高，则的面积为： . 故选：B 5．（25-26高三上·海南·期末）抛物线上到准线和焦点的距离之和为2的点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出抛物线上点到准线到焦点的距离为2的点的横坐标，从而可求得对应点的坐标，即可得出答案. 【详解】抛物线的焦点，准线为， 设抛物线上点，则到准线距离， 到焦点距离为， 由题意可得，即，解得， 当时，，点坐标为，故仅有一个点满足题意. 故选：B. 6．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知直线和抛物线，那么“与相切”是“与只有一个公共点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线与抛物线的位置关系，再结合充分，必要条件，即可判断. 【详解】若直线与抛物线相切，则直线与只有一个公共点， 若直线与只有一个公共点，则直线与抛物线相切或直线与对称轴平行， 所以“与相切”是“与只有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB的中点为，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，设出点坐标，借助抛物线方程及弦中点坐标求出直线斜率，进而求出直线方程. 【详解】由直线l与抛物线交于A，B两点，设， 由弦AB的中点为，得，则直线的斜率， 所以直线l的方程为，即. 故选：A 8．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 1．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知是抛物线上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 当时，即点的坐标为时，取最小值， 则点到直线的距离的最小值是. 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）抛物线的焦点为F， 点在抛物线C上， 且， 则a+b=（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由点P在抛物线上，可得，又，故，，可得，进而可求得a+b的值. 【详解】由抛物线的准线方程为， 将点P代入抛物线C的方程，有，又，所以. 又由，有，又由a=b，可得a=8，a+b=16. 故选：C. 3．（25-26高二上·云南昆明·期末）抛物线光学几何性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．如图，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，两次反射后从点射出，根据光路可逆原理，光线从点到点经过的总路程是（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】由抛物线方程，结合抛物线的定义求解即可. 【详解】由抛物线的方程可得，焦点， 由抛物线的性质可知经过焦点, 设，两点的横坐标分别为，，如图， 则 . 故选：C. 4．（25-26高二上·浙江绍兴·期末）已知抛物线与倾斜角为150°的直线交于A，B两点，且的中点横坐标为，则p为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角设出直线方程并与抛物线联立，由韦达定理以及中点横坐标可得. 【详解】由题意知直线的斜率， 设直线的方程为,， 联立直线和抛物线方程可得，整理得， 由韦达定理，又的中点横坐标为,即， 所以，解得. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线方程为，且经过原点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质，利用原点到焦点的距离等于原点到准线的距离，再利用点到直线的距离公式求解． 【详解】已知原点在抛物线上，则到焦点的距离等于到准线的距离， 即，故B正确． 故选：B． 6．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意，设直线的方程为， 与抛物线交于 两点，设， 由消去可得：，则， 由抛物线的定义可知，所以. 故选：C 7．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则的面积是（   ） A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【分析】由求出直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解． 【详解】设．因为， 所以，则16，解得． 由抛物线的对称性，不妨取，则直线的斜率， 所以直线的方程为． 由得，解得或，则 ，故的面积是． 故选：A. 8．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，过上的一点作轴的垂线，交的准线于点，若直线PF的方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线过焦点，可求得，进而求得抛物线方程和准线方程，求得点，进而可求，利用焦半径公式可求. 【详解】由抛物线，可得焦点， 又直线PF的方程为，所以， 解得，所以抛物线的方程为，所以准线方程为， 由，得，所以， 因为轴，所以，所以，所以， 所以. 故选：C. 9．（25-26高二上·陕西商洛·期末）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点，若是的中点，且，则线段的长为（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】设直线的方程为，根据中点条件将的坐标表示出来，根据求出，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出坐标，最后根据两点距离公式求出结果. 【详解】由题意得，，设直线的方程为. 因为的横坐标为，代入方程得其纵坐标为. 所以点的坐标为，设， 因为是的中点，所以，解得. 所以，由于，所以根据抛物线的定义可得，解得. 所以直线的方程为，抛物线. 联立直线与抛物线方程得，化简得. 所以，由于，所以，所以. 所以线段的长为. 故选：D. 10．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 11．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知A，B是抛物线（）上不同两点，点F是抛物线的焦点，且（O为坐标原点）的重心恰为F，若，则（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解得出，最后得出弦长即可. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 代入，可得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以，，设，所以， 则. 故选：D. 12．（25-26高二上·河南南阳·期末）抛物线的焦点为为抛物线上一点，点满足，则直线（为坐标原点）斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由可得到点的坐标，进而可得的表达式，对进行讨论即可. 【详解】由题知，设， 由得， ∴，解得，∴， 当时，； 当时，（当且仅当时等号成立）， 又当时，∴； 当时，（当且仅当时等号成立）， 又当时，∴. 综上，直线（为坐标原点）斜率的取值范围为， 故选：B． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.7.2　抛物线的几何性质 抛物线的定义及其应用题型01 题号 1 2 3 答案 B D A 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B B A A C 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B C A C D D 题号 11 12 答案 D B 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $