3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 题型一：根据几何性质求参数值（范围） 1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 2．抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 3．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 5．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线（），正三角形的边长为，则 ． 题型二：根据抛物线的几何性质求标准方程 1．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且．求抛物线C的标准方程； 3．已知抛物线以原点为顶点，以x轴为对称轴，焦点在直线上，求抛物线的标准方程； 4．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为 . 5．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为 ． 题型三：直线与抛物线的位置关系求参数范围 1．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．函数的图象与直线相切，则a等于 A． B． C． D．1 3．已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 4．已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 5．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围． 题型一：抛物线切线方程 1．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 2．抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为 ． 4．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 5．与曲线和圆都相切的直线的方程为 . 题型二：求抛物线焦点弦长和普通弦长 1．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 2．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 . 3．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 . 4．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则 . 6．已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则 ． 题型三：抛物线切点弦方程 1．过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 . 2．已知M是直线上的动点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当时，直线AB的方程为 ． 3．已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则 1．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 3．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选）已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 5．（多选）如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时） 题型一：根据几何性质求参数值（范围） 1．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ） A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 【答案】D 【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解. 【详解】∵设P为抛物线的任意一点， 则P到焦点的距离等于到准线：x的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值． ∴，即p＞2． 故选：D． 2．抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【分析】利用抛物线定义，结合抛物线范围求解即得. 【详解】抛物线的准线方程为，设，显然，当且仅当时取等号， 则点到焦点的距离，当且仅当时取等号，因此， 所以. 故答案为：4 3．已知为坐标原点，垂直抛物线的轴的直线与抛物线交于两点，，则，则（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由题知为等腰直角三角形，进而得，再代入方程求解即可. 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，且轴， ∴由抛物线的对称性为等腰直角三角形， 设与轴的交点为， ∴，即， ∴将代入得，解得． 故选：D． 4．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 5．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线（），正三角形的边长为，则 ． 【答案】2 【详解】根据抛物线的对称性可知，正三角形的另两个顶点关于轴对称，设，则由正三角形边长为可有，解得. 题型二：根据抛物线的几何性质求标准方程 1．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线方程为，代入点的坐标，即可求出的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线方程为； 故选：C 2．已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且．求抛物线C的标准方程； 【答案】 【分析】设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. 【详解】设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； 3．已知抛物线以原点为顶点，以x轴为对称轴，焦点在直线上，求抛物线的标准方程； 【答案】 【分析】求出焦点坐标，进而确定抛物线方程的形式（或，）. 【详解】因为抛物线以原点为顶点，以x轴为对称轴． 所以抛物线的焦点即为直线与x轴的交点． 令，求出此交点坐标为，所以抛物线的方程为． 4．已知点在抛物线：上，点为抛物线的焦点，且，则抛物线的标准方程为 . 【答案】或 【分析】由题意可得出，，解方程即可得出答案. 【详解】点在抛物线：上， 所以，解得：， 点为抛物线的焦点，且，由抛物线的定义可得：， 解得：或. 抛物线的标准方程为或 故答案为：或 5．已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点到焦点的距离是6，则其标准方程为 ． 【答案】或 【分析】设出，由题意，可以解出的值，再结合对称轴是x轴，即可求出抛物线方程. 【详解】设焦点，即， 解得或． 当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为； 当焦点为时，抛物线开口方向向左，其方程为． 故答案为：或 题型三：直线与抛物线的位置关系求参数范围 1．过点且与抛物线有且只有1个公共点的直线条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过作图，可见直线与抛物线有且只有1个公共点的直线有两类：一类与抛物线对称轴平行，一类与抛物线相切，统计即得. 【详解】 如图，设过点的直线为，则当与轴平行时，与抛物线有一个公共点； 当直线和抛物线相切（有两条切线）时，直线与抛物线也只有一个公共点. 由画图可知，过点与抛物线有且只有1个公共点的直线有3条. 故选:D. 2．函数的图象与直线相切，则a等于 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由题意，，把两个解析式联立得一元二次方程，利用即可求解． 【详解】解：由题意，， 联立，可得， 因为函数的图象与直线相切， 所以，解得 故选：B. 3．已知抛物线的方程为，直线过定点P（2,0），斜率为．当为何值时，直线与抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点． 【答案】（1）或（2）（3） 【分析】由题意可设直线方程为：y＝k（x2），联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（*） （1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根 （2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根 （3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根 【详解】由题意可设直线方程为：y＝k（x2）， 联立方程可得，整理可得k2x24（k2﹣1）x+4k2＝0（*） （1）直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）没有根 ①k＝0时，x＝0符合题意 ②k≠0时，△＝16（k2﹣1）2﹣16k4＝0 ∴ 综上可得，，，或0， （2）直线与抛物线有2个公共点⇔（*）有两个根 ∴ ∴ 即∪ （3）直线与抛物线没有一个公共点⇔（*）没有根 解不等式可得，k或k， 即∪ 4．已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线 （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点? 【答案】（1）或或，（2）且，（3）或 【分析】首先设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程得到. （1）将直线与抛物线只有一个公共点，转化为方程只有一个根，再讨论，再利用判别式求解即可. （2）将直线与抛物线只有两个公共点，转化为方程只有两个根，再利用判别式求解即可. （3）将直线与抛物线没有公共点，转化为方程无根，再利用判别式求解即可. 【详解】设直线的方程为：，即. 联立 （1）因为直线与抛物线只有一个公共点， 等价于方程只有一个根. 当时，，符合题意. 当时，， 整理得：，解得或. 综上可得：或或. （2）因为直线与抛物线有两个公共点， 等价于方程只有两个根. 所以，， 即，解得且. （3）因为直线与抛物线没有公共点， 等价于方程无根. 所以，， 即，解得或. 5．已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】设出对称的两点和弦的中点，求出直线的解析式，直曲联立，利用韦达定理求出中点的纵坐标，进而求出中点的横坐标，利用点在抛物线的开口内即可求出实数的取值范围． 【详解】由题意， 在抛物线中，存在关于直线对称的相异两点， 设两点为，且弦的中点为． 由几何知识得，，所以． 设与联立， 得，方程的判别式， 所以， 所以 所以． 因为点在直线上， 所以，故． 点在抛物线的开口内，， 所以． 解得． ∴实数的取值范围是． 题型一：抛物线切线方程 1．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 2．抛物线过点的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切线方程，与抛物线联立，结合判别式，即得解 【详解】由于不为的切线，故切线斜率存在； 不妨设切线的斜率为，故切线的方程为 ，即 故，解得 故切线方程为： 故选：D 3．过点作抛物线的切线，切线在轴上的截距为 ． 【答案】1 【分析】设出切线方程，与抛物线联立，利用求得，即可得出所求. 【详解】设切线斜率为，则切线方程， 联立方程可得， 则，解得， 即切线方程为， 取，得． ∴切线在轴上的截距为1． 故答案为：1． 4．已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 5．与曲线和圆都相切的直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意得，切线斜率不存在和斜率等于时不符合题意，当斜率不等于时，由切线与圆相切可得，由切线和曲线相切可得，从而解出，代入切线方程即可. 【详解】如图， 由题意得，当切线的斜率不存在时，显然不符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为， 当时，显然不符合题意； 当时，因为切线与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径， 即，化简得. 又因为切线和曲线相切，联立方程组， 消去得，即， 则，即. 所以，解得或. 当时，，舍去；当时，. 所以切线方程为，即. 故答案为： 题型二：求抛物线焦点弦长和普通弦长 1．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则= ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为， 又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为： 代入抛物线方程消去y并化简得， 解法一：解得    所以 解法二： 设，则, 过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示. 故答案为： 2．根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 . 【答案】 【分析】由题意求出A点坐标，由于直线过焦点，利用点斜式方程求出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理求出点B坐标，利用两点间的距离求出即可. 【详解】由条件可知AQ与x轴平行，令，可得，故A点坐标为， 因为 经过抛物线焦点，所以 方程为， 整理得，联立，得，，所以， 又，所以，， 所以. 故答案为：. 3．设抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与C交于P、Q两点，则 . 【答案】 【分析】由题意求出直线l的方程，联立方程组，由抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点为， 过F且斜率为2的直线l方程为：，设，， 联立得：，则， 所以. 故答案为：. 4．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长 【答案】 【分析】 根据题意设，联立抛物线及韦达定理，结合弦中点横坐标求参数，最后应用弦长公式求即可. 【详解】由题意抛物线焦点，且直线斜率不为0，设， 联立抛物线得，，故，， 所以，即， 则. 故答案为： 6．已知抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于两点，的中点纵坐标为，则 . 【答案】或 【分析】由题可设直线的方程为，，与抛物线联立可得交点坐标关系，根据相交弦长公式及中点坐标公式即可求得的值. 【详解】抛物线的焦点，设直线的方程为，， 所以，则， 联立，消去得：，恒成立， 所以，所以，则， 又， 整理得：，所以，解得或. 故答案为：或. 6．已知抛物线的焦点为，经过的直线，与的对称轴不垂直，交于，两点，点在的准线上，若为等腰直角三角形，则 ． 【答案】 【分析】联立方程组，利用设而不求法，结合条件，通过讨论求出直线的斜率，由此可求弦长. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点的斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足条件， 设直线的方程为， 联立，消得，， 方程的判别式， 设，，， 设的中点为， 则，， ， 所以， 因为为等腰直角三角形， 当点为直角顶点时， 过点作轴的垂线，过点作，垂足为， 过点作，垂足为， 因为，，， 所以， 所以，， 所以，又，，， 所以，即， 所以，所以，， 所以， 当为直角顶点时，同理可得， 当为直角顶点时，则点在以为直径的圆上， 因为的中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 取，可得，此时与平行，与矛盾， 所以， 故答案为：. 题型三：抛物线切点弦方程 1．过点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，再利用直线方程的相关知识即可求出. 【详解】抛物线可写成：且 设，则两条切线的斜率分别为 两条切线的方程为： 又两条切线过点，所以 所以直线AB的方程为： 又，所以直线AB的方程为：. 故答案为：. 2．已知M是直线上的动点，过点M作抛物线的两条切线，切点分别为A，B（与坐标原点O不重合），当时，直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】根据，结合定理1得到AB过定点，再由推论2.1得到顶点M在直线上和点M在上求解. 【详解】解：由，得． 因为， 所以根据专题12中的定理1可知AB过定点， 根据推论2.1可知顶点M在直线上， 又点M在上， 所以． 再由推论1.2即可求得直线AB的方程为， 化简得． 故答案为： 3．已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得抛物线方程，然后求导可得过，两点的切线的斜率，写出切线方程，代入点，由两点确定一条直线，即得. 【详解】因为抛物线的准线为， 所以，， 故抛物线，， 设切点为，，又， 则切线PA的方程为：，即， 切线PB的方程为：，即， 由是PA、PB交点可知：，，由两点确定一条直线， 可得过A、B的直线方程为，即 故选：A. 4．已知直线与抛物线及曲线均相切，切点分别为，若，则 【答案】4 【分析】设直线：，分别与和联立，根据判别式等于，求出的坐标，再根据可求出结果. 【详解】显然直线的斜率存在，设直线：， 联立，消去得， 则且，即，代入，得， 得，得，则，则. 联立，消去得， 则，且，即， 将代入，得， 得，得，又，所以，则，则， 由，得，解得，所以或， 当时，不合题意，舍去； 当时，. 综上所述：. 故答案为：. 1．若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解. 【详解】因为抛物线的准线为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 2．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意得，，则， 即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为， 不妨设点在轴上方，代入得，， 所以. 故选：B 3．设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 4．已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 【答案】ABC 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以， 所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确； 当时, ，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误. 故选：ABC. 5．如图，已知抛物线的焦点为 ，抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 （直线 的倾斜角为锐角）与抛物线 相交于 两点（A在 轴的上方，在 轴的下方），过点 A作抛物线 的准线的垂线，垂足为 ，直线 与抛物线 的准线相交于点 ，则（    ） A．当直线 的斜率为1时， B．若，则直线的斜率为2 C．存在直线 使得 D．若，则直线 的倾斜角为 【答案】AD 【分析】根据抛物线的焦点弦的性质一一计算即可. 【详解】易知，可设，设， 与抛物线方程联立得， 则， 对于A项，当直线 的斜率为1时，此时， 由抛物线定义可知，故A正确； 易知是直角三角形，若， 则， 又，所以为等边三角形，即，此时，故B错误； 由上可知 ， 即，故C错误； 若， 又知，所以， 则，即直线 的倾斜角为 ，故D正确. 故选：AD 6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)过点的直线与抛物线交于、两点，若点满足，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用抛物线的定义可求出的值，由此可得出抛物线的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得， 因此，抛物线的方程为. （2）若直线轴，则直线与抛物线有且只有一个交点，不合乎题意， 故可设直线的方程为，设点、， 由，整理得，则， 由韦达定理可得，， 因为，， 所以， 即，即， 即，解得， 因此，直线的方程为，即. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $