课时测评28　抛物线的几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评28　抛物线的几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案：A 解析：抛物线C：y2＝x的焦点为F，因为A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，所以x0＝x0＋，解得x0＝1.故选A. 2．(多选)点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，则a的值可以为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：AB 解析：抛物线y＝ax2的准线方程为y＝－，因为点M(1，1)到抛物线y＝ax2的准线的距离为2，所以＝2，解得a＝或a＝－.故选AB. 3．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　) A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8 答案：C 解析：将点A(2，4)的坐标代入y2＝2px，42＝4p，所以得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x，焦点F(2，0)，已知B(8，－8)，所以＝＝＝.故选C. 4．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，若抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于(　　) A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2 答案：B 解析：由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p.因为|PF|＝4，所以＋2＝4，即p＝4，所以k＝±4.故选B. 5．(多选)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的值可以为(　　) A．3 B．4 C． D． 答案：ABD 解析：抛物线上的点P到准线的距离等于P到焦点F(1，0)的距离，所以点F到直线4x－3y＋11＝0的距离为d1＋d2的最小值，所以(d1＋d2)min＝＝3，即d1＋d2≥3.故选ABD. 6．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________． 答案：0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点；当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，所以k＝1. 7．设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为线段AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________． 答案：8 解析：如图，分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q， 由抛物线的定义得|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|＝2|1－(－3)|＝2×4＝8. 8．(一题两空)设抛物线y2＝2px上的三个点A，B(1，y2)，C到该抛物线的焦点距离分别为d1，d2，d3.若d1，d2，d3中的最大值为3，则p的值为________；d1，d2，d3中的最小值为________． 答案：3　 解析：根据抛物线的几何性质可得d1＝＋，d2＝＋1，d3＝＋，由题意可得p>0，因此可判断d3最大，故d3＝＋＝3，解得p＝3.所以d1＝＋＝，d2＝＋1＝.所以d1，d2，d3中的最小值为. 9．(10分)等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个等边三角形的边长． 解：如图所示，设等边△OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2. 又|OA|＝|OB|，所以x＋y＝x＋y， 即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2， 由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝ x1，与y＝2px1联立， 解得y1＝2p. 所以边长|AB|＝2y1＝4p. 10．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，求抛物线的标准方程． 解：由已知，得＝2，所以＝4，解得＝， 即渐近线方程为y＝±x. 而抛物线准线方程为x＝－， 于是A，B， 从而△AOB的面积为×p×＝，可得p＝2. 所以其标准方程为y2＝4x. 11．(5分)(多选)经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　) A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B． ＋ ＝ C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－ 相离 D．y1y2＝－p2 答案：ABD 解析：由抛物线和交点弦AB的图象可知，当AB的斜率不存在时，|AB|最小，所以A正确；设直线AB的方程为x＝my＋ ，联立 消去y得x2－(2pm2＋p)x＋ ＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝2pm2＋p，x1x2＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以B正确；设以AB为直径的圆的半径为r，AB中点P(x0，y0)，则x0＝ ＝pm2＋ ，r＝ ＝ ＝pm2＋p，所以圆心到直线x＝－ 的距离d＝x0－(－)＝pm2＋p＝r，所以以弦AB为直径的圆与直线x＝－ 相切，所以C错误；y1y2＝·＝ ＝ ＝ ＝－p2，所以D正确．故选ABD. 12．(5分)如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F，且两条曲线交点的连线过F，则该椭圆的离心率是________． 答案：－1 解析：如图所示，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆的左焦点为F′，两条曲线在x轴上方的交点为M，连接MF′，则MF⊥OF.当x＝时代入抛物线方程得y＝±p.所以M.所以|MF′|＝＝p，|MF|＝p，|F′F|＝p，故2a＝p＋p，2c＝p， 所以e＝＝＝－1. 13．(10分)已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P(x，y)， 则|PA|2＝＋y2＝＋2x ＝＋， 因为x≥0，且在此区间上函数单调递增， 所以当x＝0时，|PA|min＝， 故距点A最近的点P的坐标为(0，0)． (2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则M到直线x－y＋3＝0的距离为 d＝＝ ＝， 当y0＝1时，dmin＝＝， 所以所求点M的坐标为. 14．(5分)已知抛物线C1：y2＝12x的焦点为F，圆C2：x2＋y2－6x＝0，过点F的直线l与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于M，N两点，且点A，M在同一象限，则＋4的最小值为(　　) A．5 B．12 C．16 D．20 答案：B 解析：圆C2：x2＋y2－6x＝0，圆心(3，0)，半径为3，抛物线C1：y2＝12x的焦点F(3，0)，由题意得直线l斜率不为0.设直线l：x＝my＋3，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1>0，x2>0，联立整理得y2－12my－36＝0，则y1y2＝－36，x1x2＝＝9，则＋4＝＋4＝(x1＋3)－3＋4(x2＋3)－12＝x1＋4x2≥2＝12(当且仅当x1＝6，x2＝时等号成立)，故＋4的最小值为12.故选B. 15．(15分)如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|＝8. (1)求抛物线C的方程； (2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的最小值．解：(1)由题意可知F(，0)，则该直线方程为y＝x－，代入y2＝2px(p>0)，得x2－3px＋＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. 因为|MN|＝8，所以x1＋x2＋p＝8，即3p＋p＝8， 解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线，所以Δ＝0，解得b＝1.所以直线l的方程为y＝x＋1. 由(1)可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，＝(x2－m，y2－(m＋1))， 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)]·[y2－(m＋1)]＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)·(y1＋y2)＋(m＋1)2. 因为x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4. 因为y－y＝4(x1－x2)，所以y1＋y2＝4×＝4， 所以·＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14，当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2，3)时，·取得最小值，最小值为－14. 学生用书↓第110页 学科网（北京）股份有限公司 $