2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（分层作业练题型）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕“直线与圆锥曲线的位置关系”，通过A、B、C三层设计实现从基础巩固到思维创新的梯度进阶，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言核心素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系基础应用|以选择、解答题为主，聚焦方程求解、位置关系判断，培养运算能力与推理意识| |B组能力进阶|综合应用（范围、面积、对称问题）|多问解答题，结合动态几何情境，发展几何直观与模型观念| |C组思维拔高|跨知识点整合（如蒙日圆、折纸轨迹）|创新题型融入实际情境，提升数学眼光与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 A组 巩固过关 题型01 直线与椭圆的位置关系 1. 【详解】(1)由题意， 顺C:号+芳=e>b>0)的行焦点%FL0且过点》， 3)2 12,（ 所以可得a2=b2+c2 ,解方程组得 a=2’ c=1 b=5 c=1 x2,y2 所以椭圆c的方程为4+3=1： (2)当过点P(4,0)的直线1斜率不存在时，直线的方程为x=4,此时直线1与椭圆无交点，不成立： P x=4 当过点P(4,0)的直线1斜率存在时，设斜率为k,直线1的方程为y=k(x-4), 与椭圆联立 4+3 ,化简得 C y=k(x-4) 3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0 1/9 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 p B 因为直线与椭圆C相交于A,B两点，设A(:,),B(:,), △=(-322)2-43+4k2)(64k2-12)>0 32k2 所以5+3+4状 ,解得 64k2-12 x3= 3+4k2 又P(4,0),所以PA=V(4-x}+,PB=V(4-x)}+片，片=k(飞-4)，乃2=k(3,-4), 所以PPB=V4-x)}+k2(x-4)V《4-x}+(-4) [+-4[+k-4=+压-4-4=+-4s+x)+16 0e24记f-0e,2 令1=344则-号宁分，所以354 所以PPBl= 3+4k2 因为3≤1<4：月 所以5<P4P9s12,即4P8的康检范同是（华2 2. 【答案】D 3. 【1因%国C,手茶-1，e6>0过点5知20 2,1 =1 则 4 ,解得[a2=4, 1b2=2 219 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2 y2 所以椭圆C的标准方程为4+2=1. (2)若m=1,可知直线的斜率不为0，且直线与椭圆C必相交， M B 设直线1：x=y+1,A(:,),B(,), x=y+1 联立方程父+上-1：消去x可得 .42 2+2)y2+2y-3=01 2t 21+12-222m+3 t2+2 w0=2则5o-wDK-为小-222r】 t2+2 u=2P+3g'则=3，可得m 2W2w-42 3+2+ 2 2 1 令f(u)=u+ u’u≥V5, 可知回)在[5，+)内单调递增，则/)≥不5)45 3 即，1>43，则 0<L<5 ,14,可得 46 1 u+-≥ 4+ u+- 3 u 所以S0的取值范围为(0，V6]。 (3)由题意可知：直线的斜率存在， M 319 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线1：y=k(r-m),A(,y),B(x,),(x,),则N(0,-km), 2 因为为 中点，则 0=上-m'可得3=2m,即 ,则 M AN 2 y=kmA(2m,y）m>0 由题意可知：P(-x,y),PM=(m+,-y),M0=(。-m,), -3m+五- 2 2 因为 PM=2MO 则e+-2小8号 -y=2y% 因为点A(2m,y) 均在椭圆上， m2+上=1 4 2 =7 则 25+发=1解得 6 168 片=7 且y>0,可得m=2 7,与g 7 可知直线1与椭圆c必相交，且直线：y=产(x-m）, m y=(x-m） m 联立方程 父+ ,消去y可得 ，解得 =1 42 2x2-3mx-2m2=0 x=2m x=2 则5=- m -+3 所以直线 的斜率k0= 22=上=6 5mm 3m 6 BO 22 颗型02 直线与双曲线的位置关系 4 【答案】ACD 5. 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BC 6. x2 y2 【详解】(1)已知双曲线C:。原=1a>0,h>0)的左焦点为F(-2,0,离心率e=2 圆。=2e电2，解得。仔=c2-=413:因此双曲线的方程为上D a 3 （2）（i)如图所示，设直线'的方程为x=m-2,其中斜率k=之>0一m>0, m 设点P(x,),点(：，乃)，且<0，根据双曲线的中心对称性可知，点R(-,y), x=my-2 联立直线与双曲线方程，得 xy,’化简得 31 (3m2-1y2-12my+9=0 其中△=144m2-36(3m2-1)）=36m2+36>0. 12m 9 由根与系数的关系，可得乃+为=3m一，43m2一： 因为0点在第三象限，所以<0，所以0<m<5 3 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此SPg0=S00,所以S△P0R=2S△Pg0, 由于SAFOR=6 SAPFO,所以S△Po=3SApm, 8w2or1为=32y--为小，Smor1=2=. 所以以-=3，由于>0，<0，所以简化为乃-2=3y→2y=-, 代入韦达定理，得4”，则=2少2=-2● -12m2 9 3m2-1 3m2-1' 519 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 化简得35伯于>0：解行m 35, 所以直线1的方程为=， =35y-2,即y=35(x+2) (i)由题意，∠POR即为直线OP与直线OR的夹角， 直线OP即直线1，方程为x=my-2(m>0)」 点(，)点P(G,y)点R(-5,y)》,直线QP的斜率o= m 直线OR的斜率m=-)上+上 x2-（-x)x2+X’ 由于P,在直线x=my-2(m>0)上，有x=my-2,=my2-2, 4+y2 则kem+)-4,代入y+为= 12m 3m2-1' 12m 则=3】 12m 12m,-412m2-43m2-3m, m· 3m2-1 设直线OP的倾斜角为Q,直线OR的倾斜角为B,则∠POR=a-B, Et如me-0器高老 即tan∠PgR= kop-kok=m kecke 11 3m m 又因为y= 日-加年洞滋减。所以m∠P0R的取值范用(Q+o） 题型03 直线与抛物线的位置关系 7. 【答案】ABD 8 【】)=-号入+1得=7-，所以号7写 2 血点(B关于直线)：- A B 对，可子引 619 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的坐标代入超物线c的方程得兮=2n,7-号，解得p=8 A 所以抛物线C的方程为y=16x, 2)由(1)得41,4)， 将直线MW的方程代入y2=16x,得y2-16my-16n=0, 所以y+=16m,yy2=-16n kw+kw=-片-4+点-4-16+16=160y+⅓)+12816+)+128 -1-1+4⅓+4(+40%+4)+4(0+%)+16 16 16 256m+128 -16n+64m+16 =2,整理得n=-4m-3’ 所以直线MN的方程为x=my+n=my-4m-3=m()y-4)-3, 直线MW过定点，定点坐标为(-3,4) 9. 【答案】(1)设：x=my+(m≠0)，A(G,),B(:,),则E(x,-), y2=4x y+y2=4m 由 x=m四+x消x得y-4m-45=0'得为=4， 设P(x,0),知A,E,P三点共线，又PE=(:-x,-),PA=(x-xy), 则有(-+化-)0印=-）-. y+y24(以+y2) 所以点P,D关于原点对称. 2)由(1)得A1,4), 719 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将直线MN的方程代入y2=16x,得y2-16my-16n=0, 所以y+2=16m,y2=-16n w+kw=A4+点-4-16+16-160y+)+128.160y+)+128 是-1发-1乃+4为+4（仍+4y+4)yy+4(y+2)+16 1616 256m+128 -16n+64m+162,整理得n=-4m-3 所以直线MN的方程为x=my+n=my-4m-3=m(y-4)-3, 直线MN过定点，定点坐标为(-3,4). E D B 因为AP⊥BP,PE=PB,所以∠APD=45°，故kE=1, 即业1，所以为4 x-x2y-y吃 即6+为-4%=16，得m=1-气>0：则[ 阳，2， Vm2+1V2- t 819 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C B D D A A D A C组 思维拔高 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A A B D 题号 11 12 答案 D B 919 分层作业 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01直线与椭圆的位置关系 题型02 直线与双曲线的位置关系 题型03 直线与抛物线的位置关系 B组 能力进阶 C组 思维拔高 直线与椭圆的位置关系题型01 1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆性质，结合椭圆过的点的坐标，代入椭圆方程，联立方程组求得的值，进而得到椭圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，列出直线方程，与椭圆联立，由得，再根据两点间距离公式，可得，通过换元法即可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意，椭圆的右焦点为，且过点， 所以可得，解方程组得， 所以椭圆的方程为； （2）当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立；    当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为， 与椭圆联立，化简得，    因为直线与椭圆相交于，两点，设，， 所以，解得， 又，所以，，，， 所以 ， 令，则，由，所以， 所以， 因为，所以，则，所以， 所以，即的取值范围是. 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先找出椭圆的上顶点和右焦点，求直线的斜率与直线的方程形式，分析椭圆上点到直线的距离条件，联立直线与椭圆方程，利用判别式求参数，进而确定直线的方程； 【详解】椭圆：，， 所以椭圆的上顶点为，右焦点为， 直线的斜率为, 因为直线与直线平行，所以直线与直线的斜率相同， 设直线的方程为，即 因为上有且仅有三个点到的距离为，说明椭圆与直线的距离为的平行线中， 一条与椭圆相切，另一条与椭圆交于两点（或对称情况） 设与平行且距离为的直线为，根据两平行线距离公式： ，化简得，即， 联立，消元整理得， 因为直线与椭圆相切，所以，解得， 当时，结合，有，解得（取号）， 此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为 当时，结合，有，解得（取号） 此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意 当时，结合，有，解得（取号），此时直线的方程为，此时直线与椭圆相离，不符合题意； 故或满足题意； 故选：D.    3．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限． (1)求C的方程； (2)若，点，求的取值范围； (3)直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点和运算求解即可； （2）设直线：，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，换元可得，结合函数单调性求取值范围； （3）设直线：，根据题意可得，，代入椭圆方程可得，，与椭圆方程联立可得，进而可得斜率. 【详解】（1）因为椭圆C：，过点和， 则，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）若，可知直线的斜率不为0，且直线与椭圆C必相交，    设直线：，，， 联立方程，消去x可得， 则，，可得， 且，则， 令，则，可得， 令，， 可知在内单调递增，则， 即，则，可得， 所以的取值范围为. （3）由题意可知：直线的斜率存在，    设直线：，，，，则， 因为为中点，则，可得，即，则， 由题意可知：，，， 因为，则，解得，即， 因为点，均在椭圆上， 则，解得， 且，可得，， 可知直线与椭圆必相交，且直线：， 联立方程，消去y可得，解得或， 则，，即， 所以直线的斜率. 直线与双曲线的位置关系题型02 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（   ） A．若，则的离心率为 B．若，垂足为，则 C．与有唯一公共点 D．与轴的交点在直线上 【答案】ACD 【分析】不妨设点在第一象限，与轴的交点为，根据角平分线性质可得，即可判断D；可得直线的方程为，与双曲线方程联立求解即可判断C；对于A：根据题意可得，即可得离心率；对于B：设，分析可知为的中点，，即可得结果. 【详解】不妨设点在第一象限，与轴的交点为， 因为轴，则，， 因为，即， 则，解得， 可得，即，故D正确； 因为，直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得， 所以直线与双曲线有唯一公共点，故C正确； 对于选项A：若，即，可得， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：设，则，且为的中点， 因为， 且为的中点，所以，故B错误. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 【答案】BC 【分析】设双曲线的右焦点为，则，结合双曲线定义可求，，判断A，在中由余弦定理列方程求，判断B，结合关系求得双曲线的渐近线方程，根据直线与渐近线斜率大小关系结合图象判断C，利用反证法排除D. 【详解】对于A，设双曲线的右焦点为，连接， 由双曲线的对称性及直线过原点可得关于原点对称，又关于原点对称， 所以四边形是平行四边形，故， 因为，所以， 又，解得，，A错误， 对于B，因为，所以. 由余弦定理得， 所以，B正确， 对于C，由，，则双曲线的渐近线方程为， 因为，所以与双曲线有两个交点，C正确， 对于D，假设的内心在轴上，则有，，直线过坐标原点， 所以，即需要，矛盾，D错误. 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据焦点及离心率的定义即可求解； （2）（ⅰ）通过联立直线与双曲线的方程，利用根与系数的关系以及三角形面积公式即可求解；（ⅱ）由于是直线与的夹角，列出的表达式即可求解. 【详解】（1）已知双曲线C：的左焦点为，离心率． 则，，解得，，因此双曲线的方程为． （2）（ⅰ）如图所示，设直线l的方程为，其中斜率， 设点，点，且，根据双曲线的中心对称性可知，点， 联立直线与双曲线方程，得，化简得， 其中. 由根与系数的关系，可得，， 因为Q点在第三象限，所以，所以． 因为R是P关于原点O的对称点，所以O是线段PR的中点， 因此，所以， 由于，所以， ，， 所以，由于，，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线l的方程为，即. （ⅱ）由题意，即为直线QP与直线QR的夹角， 直线QP即直线l，方程为， 点，点，点，直线QP的斜率， 直线QR的斜率， 由于P，Q在直线上，有，， 则，代入， 则， 设直线QP的倾斜角为，直线QR的倾斜角为，则， 因此， 即， 又因为单调递减，所以的取值范围． 直线与抛物线的位置关系题型03 7．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）（多选）已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 【答案】ABD 【分析】先利用直线过定点确定抛物线焦点，求出的值判断A；直线与抛物线联立，写出韦达定理，利用向量数量积的符号判断B；由中点坐标得到斜率表达式，用基本不等式求最值判断C；写出中垂线方程，求出坐标，分别计算与焦点弦，把化为关于的函数，求其值域判断D. 【详解】选项A，抛物线：的焦点为， 因为直线过抛物线焦点，所以，解得， 则抛物线方程为，抛物线准线方程为，A正确； 选项B，设直线与抛物线的交点为， 联立直线与抛物线方程，消去，整理得， 因，则，， 则， 且不共线，故一定为钝角，B正确； 选项C，设弦的中点为，则， 将代入，得到，即， 于是，， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当，即时取等， 即的最大值为，C错误； 选项D，，， 当时，，此时,则， ，可得，解得； 当时，，中垂线斜率为，， 则的中垂线方程为， 将代入上式，整理得 ，则得， 故， 因为，所以， 因为，则，即的取值范围为，D正确. 8．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 【答案】(1) (2)由（1）得， 设，，直线的方程为． 将直线的方程代入，得， 所以，． ，整理得， 所以直线的方程为， 直线过定点，定点坐标为． 【分析】（1）联立抛物线准线与圆的方程求得点B的坐标，再根据点A和点B关于对称获得点A的坐标，最后根据点A在抛物线上，列方程求得，最后求得抛物线的方程; （2）设，，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，由韦达定理可知，，又，整理化简得到，最后得到直线过定点. 【详解】（1）将代入，得，所以， 由点，关于直线对称，可得， 将的坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以抛物线的方程为． （2）略 9．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知抛物线为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交曲线C于另一点B，交x轴的正半轴于点，记点B关于x轴的对称点为点交x轴于点P，且． (1)求证：点关于原点对称； (2)求点P到直线的距离d的取值范围． 【答案】(1)设，则， 由消x得，得 设，知三点共线，又， 则有，即， 所以点关于原点对称． (2) 【分析】（1）根据过点的直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得两点的坐标关系，利用三点共线，根据向量得到点坐标，即可证明点关于原点对称． （2）通过垂直与对称可得直线的倾斜角，即可得直线的斜率；根据两点的坐标建立斜率等式，即可得之间的关系式，利用点到直线的距离公式计算范围即可． 【详解】（1）略 （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，所以，故， 即，所以， 即，得，则， 可得，设， 则，函数在上递减，所以． 1．（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】作出图形，结合图形得出求出的值，即可求出的值. 【详解】由题知点在抛物线上，故，即. 所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 如图，，， 所以， 又由点知，故， 所以. 2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据切线性质可得切线方程为，与椭圆方程联立可得韦达定理，利用弦长公式求，利用焦半径公式求，，即可得结果. 【详解】因为，所以点在上， 又因为，所以过点作⊙O 的切线斜率为， 所以切线方程为，即， 设，， 联立，消去整理得， 则， 所以； 由椭圆，可得，所以，所以， 所以右焦点， 则， 同理得， 所以， 所以. 3．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入椭圆，两式相减，得到，结合斜率公式和中点公式，化简得到，即可求解. 【详解】设 将代入椭圆，可得， 两式相减，可得，即， 因为，所以， 则直线的斜率为． 4．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知条件及椭圆的定义有，，且，再应用勾股定理列方程求参数值，即可得. 【详解】根据，设，则，，， 因为，所以， 在中，有，即①， 在中，，即②， 所以，则，而，故③， ③代入①可得，所以，故， 所以椭圆的长轴长为. 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 6．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，再求得，再结合抛物线的焦半径公式，用表示，结合基本不等式可求其最小值. 【详解】如图： 因为，可设直线：，代入，整理得. 设，，则，. 所以， 所以. 又. 因为，所以，当且仅当即时取等号. 即. 7．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先写出伴随圆方程，设点的坐标，得到的方程，得到点坐标与的关系，再利用离心率得到的关系，代入双曲线方程整理即可. 【详解】双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ， 设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：， 令得，即；令得，即， 在双曲线上，满足，即，即， 两边同乘整理得，即， 已知双曲线离心率，故，得， 因此. 8．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知内切圆的半径，可利用焦点三角形面积公式建立等式，得到关于的表达式，根据余弦定理建立的齐次式，进而计算离心率． 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以， 则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则； 则原式化简可得， 两边同乘可得， 约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 1．（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】不妨设点为第一象限内一点，将直线的方程与抛物线方程联立，求出点的坐标，然后利用抛物线的定义可求得. 【详解】不妨设点为第一象限内一点，因为，所以直线的斜率为， 又抛物线的方程为，所以，所以直线的方程为， 联立，解得或（舍去），即点， 所以，. 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线标准方程确定焦点的坐标，进而利用焦半径公式求的横坐标，代入抛物线方程求纵坐标，再利用两点间斜率公式计算直线的斜率. 【详解】由抛物线，可得，即，则焦点，准线方程为. 设，已知，则：，解得， 代入抛物线方程得：， 由在第一象限，可得，即. 因为直线过和， 所以斜率：. 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立，得或（舍），则， 则，得， 则抛物线的方程为. 4．（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合“蒙日圆”定义，设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点，分两切线斜率都存在与两条切线中有一条斜率不存在，另一条斜率为进行讨论即可得. 【详解】设为椭圆上两条互相垂直的切线的交点， 若两条切线斜率都存在，设为、，则， 过的切线方程可设为， 联立，则， ，化简得， 由切线过点，则，故， 即有，整理得， 则关于的方程有两根、，满足， 即有，即点的轨迹为； 若两条切线中有一条斜率不存在，则另一条斜率为， 则，，此时满足； 综上可得：椭圆的蒙日圆的方程为. 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设，联立得到，由得到，又由题可知点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，则，进而得到点，再求出，结合两点距离公式可得，再由求出． 【详解】设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． 6．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 【答案】A 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，由得出与的等式，再由基本不等式即可求解的最小值． 【详解】由题可知，直线的斜率不为0，设直线方程为， 代入抛物线方程整理得，，， ， 则， 所以，则， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 而没有固定的最小值，因为当直线的斜率变化时， 可以取到不同的值，不存在固定的最小值. 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率和点 求出椭圆方程及点坐标，设过原点的直线与椭圆交点关于原点对称，利用垂直条件向量点积为零，结合椭圆方程解出斜率平方，检验排除与重合的情况，得到斜率. 【详解】已知椭圆离心率，则， 椭圆方程可化为，即 . 代入点得， 因此 ，椭圆E的方程为 ，点A坐标为 . 椭圆关于原点对称，直线过原点，故关于原点对称，设，则， ， 直线的斜率. 由，得 ， 即，展开化简得. 在椭圆上，故满足 ，联立方程， 两式相减得 ，代入得，因此斜率， 当时，联立与 ，解得， 此时点与点重合，为零向量，不满足垂直条件，故舍去. 因此的斜率为. 8．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知双曲线：，椭圆：，若， 分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分情况讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，直接求出点到直线的距离；当斜率存在时，设出直线方程，联立方程组，利用向量垂直的性质得到直线方程中参数的关系，再根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以． 当直线轴时，，， 则， 故点到直线 的距离是； 如图，   当直线不垂直于轴时，设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立，解得， 所以．同理可得． 设点到直线 的距离是． 因为，， 所以， 所以． 综上，点到直线 的距离是． 9．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 设渐近线的倾斜角为，则， ，，，， 两条渐近线的夹角为，， ， ，，，， 椭圆，， 点、为椭圆的两个焦点，， 当时，以为直径的圆的方程为， 双曲线，将代入， 得到，解得， 联立，将代入， 得到，解得， 将代入，解得， 则有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 当时， 过的直线为，将代入双曲线， 得到，解得，故有个点满足； 综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确. 10．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 11．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】设直线方程联立得韦达关系式，用向量垂直列方程求参，再用抛物线焦半径性质得比值. 【详解】由题意知，设，，，其中． 由消去x，得，则，． 所以，． 因为，所以，因， 则得， 即， 将韦达定理代入，得， 整理得，即，解得， 所以，解得，，则．    12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内取一定点，且.把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；展开纸片后留下折痕，与折痕交于点.不断重复此过程，得到动点的轨迹为曲线.以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知点在曲线上，过点作两条斜率之积为的直线，分别交曲线于，两点，则直线恒过的定点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的定义求椭圆的标准方程，设，根据已知及斜率的两点式得，进而判断直线斜率的存在性，并设，联立椭圆方程，应用韦达定理代入前式化简整理求参数，即可得到定点坐标. 【详解】设，由题意，且， 点的轨迹是以E，F为左、右焦点的椭圆， 长轴长，焦距， 所以椭圆的标准方程为：， 设，所以， 因为，所以， 若直线AB的斜率不存在，则， 此时两条直线MA、MB的斜率分别为：， 因为，则，化简得到， 又因为，解得，即直线为轴，不合题意； 设直线AB：， 联立方程，得到， 由， ， 因为， 所以， 化简得到， 即， 化简得到，解得， 当时，直线为，恒过点，与题意不符（异于M），舍去； 当时，直线为，恒过点. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01直线与椭圆的位置关系 题型02 直线与双曲线的位置关系 题型03 直线与抛物线的位置关系 B组 能力进阶 C组 思维拔高 直线与椭圆的位置关系题型01 1．（25-26高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 2．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，直线与直线平行，若上有且仅有三个点到的距离为，则的方程为（    ） A． B． C．或 D．或    3．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限． (1)求C的方程； (2)若，点，求的取值范围； (3)直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率． 直线与双曲线的位置关系题型02 4．（25-26高二下·四川泸州·期末）（多选）双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（   ） A．若，则的离心率为 B．若，垂足为，则 C．与有唯一公共点 D．与轴的交点在直线上 5．（2026·云南昭通·模拟预测）（多选）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则（    ） A． B．双曲线的离心率为 C．与双曲线有两个交点 D．的内心在轴上 6．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线C：的左焦点为，离心率为2． (1)求C的方程： (2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R． （ⅰ）若的面积是的面积的6倍，求l的方程； （ⅱ）求的取值范围． 直线与抛物线的位置关系题型03 7．（25-26高二下·湖南邵阳·期末）（多选）已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．一定为钝角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 8．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知圆与抛物线：在轴上方的交点为，与抛物线的准线在轴下方的交点为，且点，关于直线对称． (1)求抛物线的方程； (2)若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且直线和的斜率之和为，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 9．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知抛物线为C上位于第一象限的任意一点，过点A的直线l交曲线C于另一点B，交x轴的正半轴于点，记点B关于x轴的对称点为点交x轴于点P，且． (1)求证：点关于原点对称； (2)求点P到直线的距离d的取值范围． 1．（25-26高二下·广东惠州·期末）设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·四川成都·期末）已知，点F为椭圆的右焦点. 过点作的切线与椭圆Γ交于A、B两点，则的周长为（ ） A． B． C． D．5 3．（25-26高二下·广东广州·期末）如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东韶关·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，焦距，点，在椭圆上且满足，若，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二下·河南洛阳·期末）已知抛物线C：的焦点为，过的直线l与C交于A，B两点，与圆交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（   ） A．4 B． C．3 D． 8．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题 1．（25-26高二下·广东广州·期末）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点满足（为坐标原点），则（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2026·山东烟台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过的直线与在第一象限交于点，若，则的斜率为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南周口·期末）已知抛物线C：（）的焦点为，直线：与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东潮州·期末）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆的方程为，则椭圆的蒙日圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．（25-26高二下·重庆渝中·期末）已知是抛物线上两点，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 5 C．的最小值为 D．的最小值为 5 7．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点，过原点 的直线与交于 两点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河北衡水·期末）已知双曲线：，椭圆：，若， 分别是，上的动点，为坐标原点，若，则点到直线的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 9．（2026·上海金山·二模）已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（   ）个 A．3 B．4 C．6 D．8 10．（2026·天津滨海新区·三模）已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 12．（25-26高二上·安徽安庆·期末）折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用半径为4的圆形纸片，圆心为，在圆内取一定点，且.把纸片对折，使圆周正好通过点，此时圆周上与点重合的点记为；展开纸片后留下折痕，与折痕交于点.不断重复此过程，得到动点的轨迹为曲线.以线段的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.已知点在曲线上，过点作两条斜率之积为的直线，分别交曲线于，两点，则直线恒过的定点坐标为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第7页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $