课时测评29　直线与圆锥曲线的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版）

课时测评29　直线与圆锥曲线的位置关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．若点(2，m)在椭圆＋＝1外，则m的取值范围是(　　) A．－<m<　　　　　 B．m>或m<－ C．－<m< D．m>或m<－ 答案：B 解析：由已知，得＋>1，即m2>，所以m>或m<－.故选B. 2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 答案：B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，所以x1＋x2＝4，x1x2＝1. 所以|AB|＝ ＝＝＝2.故选B. 3．以椭圆＋＝1内一点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程是(　　) A．3x－4y＋2＝0 B．3x＋4y－7＝0 C．3x－4y＋7＝0 D．3x－4y－2＝0 答案：B 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将A，B的坐标代入椭圆方程得3x＋4y＝12，3x＋4y＝12，两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为AB中点为P(1，1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.所以3(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0.所以kAB＝＝－，所以AB：y－1＝－(x－1)，即3x＋4y－7＝0.故选B. 4．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y 答案：D 解析：抛物线C2的焦点F，双曲线C1的渐近线方程为bx±ay＝0，又p>0，则由题意得＝2，即p＝.又e＝＝2，所以p＝8.所以抛物线C2的方程为x2＝16y.故选D. 5．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k(k>0)，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是(　　) A．·＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C．＋＝ D．若|AF||BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 答案：ACD 解析：因为AB的斜率为k，AB⊥CD，所以CD的斜率kCD＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得AB的方程为y＝k.由可得k2x2－p(k2＋2)x＋k2p2＝0，Δ＝p2(k2＋2)2－k4p2>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝p2，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝.同理可得|CD|＝＝2p(1＋k2)，所以＋＝，故C正确；·＝x1x2＋y1y2＝p2＋k2＝p2＋k2＝－p2，与k无关．同理可得·＝－p2，故A正确；因为AB⊥CD，所以S四边形ACBD＝|AB||CD|＝··2p(1＋k2)＝＝2p2≥2p2＝8p2，当且仅当k2＝，即k＝1时等号成立，故B错误；若|AF||BF|＝4p2，即＝x1x2＋(x1＋x2)＋p2＝p2＋＝p2＋＝4p2，解得k＝，所以kCD＝－＝－，故D正确．故选ACD. 6．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为________________． 答案：＋＝1 解析：由△F2AB是面积为4的等边三角形，知AB⊥x轴，令x＝－c，代入椭圆方程＋＝1，解得y＝±.不妨设A， 则 得a2＝9，b2＝6，c2＝3，故所求的椭圆C的方程为＋＝1. 7．过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A，B两点，O为坐标原点，则·的值为________． 答案：－ 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由韦达定理得 所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x)(－x)＝x1x2(1＋x1x2)＝×＝－. 8．(一题两空)双曲线C：－＝1的焦距是________________________________________________________________________； 若圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)与双曲线C的渐近线相切，则r＝________． 答案：10　 解析：由双曲线C：－＝1，知c2＝9＋16＝25，所以c＝5，2c＝10.双曲线C的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0.因为圆与3x－4y＝0相切，所以＝r，所以r＝. 9．(10分)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标． 解：(1)将(0，4)代入椭圆C的方程得＝1， 所以b＝4. 又e＝＝，得＝，即1－＝. 所以a＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)． 设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程y＝(x－3)代入椭圆C的方程，得＋＝1， 即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3， 所以＝，＝(x1＋x2－6)＝－， 即中点的坐标为. 10．(10分)已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点为(2，0)． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积． 解：(1)因为双曲线－＝1的右焦点为(2，0)， 所以c＝2，a＝，所以b2＝c2－a2＝4－3＝1. 所以双曲线的方程为－y2＝1. (2)由(1)，得a＝，b＝1，所以双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，令x＝－2，得y＝±. 设直线x＝－2与渐近线y＝±x的交点为A，B， 则|AB|＝. 所以直线x＝－2与渐近线y＝±x围成的三角形面积为S＝××2＝. 11．(5分)已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 答案：B 解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率为＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，所以双曲线的标准方程为－＝1. 12．(5分)直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为__________． 答案：[1，5)∪(5，＋∞) 解析：将y＝kx＋1代入椭圆方程，消去y并整理，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5－5m＝0.由m>0，5k2≥0，知m＋5k2>0，故Δ＝100k2－4(m＋5k2)(5－5m)≥0对k∈R恒成立．即5k2≥1－m对k∈R恒成立，故1－m≤0，所以m≥1.又因为m≠5，所以m的取值范围是m≥1且m≠5. 13．(10分)双曲线C的中心在原点，若焦点为F，渐近线方程为y＝±x. (1)求双曲线C的方程； (2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？ 解：(1)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则c＝，＝. 又因为c2＝a2＋b2，所以b2＝1，a2＝. 所以双曲线的方程是3x2－y2＝1. (2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0. 由Δ>0，且3－k2≠0，得－<k<，且k≠±. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB. 所以x1x2＋y1y2＝0. 又因为x1＋x2＝，x1x2＝， 所以y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1， 所以＋1＝0，解得k＝±1. 故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点． 14．(5分)(多选)已知抛物线y2＝2px经过点M，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A，B，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论正确的是(　　) A．p＝2 B．≥4 C．·＝－4 D．k1k2＝－4 答案：ABD 解析：因为抛物线y2＝2px经过点M，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F，设直线l：x＝my＋1，联立消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m＋2＝4m2＋2，x1x2＝＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，所以＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；所以＝，＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确．故选ABD. 15．(15分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，－)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C交于不同的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，若点P与点N关于x轴对称，判断直线PM是否恒过定点，若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由． 解：(1)由题知e＝＝， 即＝，得 b2＝a2. 因为点(，－)在椭圆C：＋＝1上， 所以＋＝1，解得a2＝4，b2＝3. 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)椭圆C的右焦点F(1，0)，故可设直线lMN：x＝ty＋1(t≠0)， 联立方程消去x， 整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， 且Δ＝144t2＋144>0. 因为N(x2，y2)， 所以点N关于x轴的对称点P(x2，－y2)， 所以kPM＝， 故直线PM的方程为y－y1＝ (x－x1)． 由对称性可观察若直线PM恒过定点，则定点应在x轴上，故令y＝0，得 x＝＝ ＝，将y1＋y2＝－，y1y2＝－， 代入上式得x＝＝4，故直线PM恒过定点(4，0)． 学生用书↓第114页 学科网（北京）股份有限公司 $