2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（椭圆）（题型专练）数学人教B版选择性必修第一册

2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（椭圆） 题型一 讨论直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 题型二 求直线与椭圆的交点个数、坐标 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 2．（23-24高三下·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 题型三 求椭圆的切线方程 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 题型四 根据直线与椭圆的位置关系求参数（范围） 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 题型五 应用韦达定理求参数 1．（24-25高二下·陕西安康·期末）已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)用表示的值． 题型六 求椭圆的弦长 1．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 2．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 题型七 椭圆的通径问题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．椭圆离心率为 C．圆与圆相切 D．的最大值为4 题型八 根据弦长求参数 1．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 题型九 椭圆的焦半径与焦点弦问题 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点为，且与椭圆相交于两点，设椭圆的左焦点为，求的面积． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 题型十 中点弦坐标、方程、斜率等问题 1.（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 题型十一 弦中点与弦的方程、斜率 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 题型十二 中点弦坐标或中点弦方程与椭圆的性质 1.（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 题型一 椭圆中图形的面积问题 1.（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 题型二 椭圆中的参数范围问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且.若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． ①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 题型三 椭圆中的最值问题 1．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 2．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 题型四 椭圆中直线过定点问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 题型五 椭圆中的定值问题 1．（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 题型六 椭圆中的定直线问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线AD与直线BC交于点Q．证明：点Q在定直线上． 题型七 椭圆中向量点乘问题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 题型八 椭圆中向量共线比例问题 1．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 题型九 椭圆中存在性、探索问题 1．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 1．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为 ．    2.（24-25高二上·上海·单元测试）椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 3．（24-25高二下·北京东城·期末）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 6．（2025·四川·三模）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（椭圆） 题型一 讨论直线与椭圆的位置关系 1．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 题型二 求直线与椭圆的交点个数、坐标 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出椭圆方程，再与直线方程联立，可得解. 【详解】由题，长轴长为，所以， 由焦点可得，所以， 因为焦点在轴上，所以椭圆方程为， 联立，消去得，, 得，所以直线与椭圆有1个交点. 故选：B 2．（23-24高三下·上海·开学考试）直线与椭圆的公共点个数为 ． 【答案】2 【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数． 【详解】直线恒过， 由于，所以是椭圆内部的一点， 所以直线与椭圆恒有2个交点． 故答案为：2． 题型三 求椭圆的切线方程 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）写出与椭圆：和抛物线：都相切的一条直线方程 . 【答案】或（只需写出其中一个） 【分析】先说明所求直线的斜率存在，再设 所求直线为，联立方程组结合切线性质列方程求，由此可得所求直线方程. 【详解】抛物线的对称轴为， 所以抛物线的切线的斜率一定存在，故所求直线的斜率存在， 设所求直线的方程为， 因为直线与抛物线相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 所以方程的判别式，即， 因为直线与椭圆相切， 所以方程组只有一组解， 所以方程只有一个根， 方程的判别式， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或（只需写出其中一个即可）. 2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆过点和. (1)求的离心率； (2)若直线与有且仅有一个交点，求的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆过点和，求得，进而求得，即可得到的离心率； （2）联立和的方程，得到关于的一元二次方程，由，可求得，即可得到的一般式方程. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 所以，解得， 由，得， 所以的离心率. （2）    由（1）可得的方程为，， 联立，得， 由，得， 直线的一般式方程为：. 题型四 根据直线与椭圆的位置关系求参数（范围） 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将直线与椭圆的位置关系转化为方程组联立后的根的个数问题，借助得到，以及椭圆的长轴长概念得解. 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与椭圆没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】直线与椭圆联立方程进行消元, ，求解即可. 【详解】由，可得， 因为直线与椭圆没有公共点， 故，故或， 则的取值范围为， 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若对任意实数 ，直线 与焦点在 轴上的椭圆 至少有一个交点，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆至少有1个公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故． 故答案为：. 题型五 应用韦达定理求参数 1．（24-25高二下·陕西安康·期末）已知为椭圆的一个焦点，且经过点，设直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，其中为坐标原点． (1)求的方程； (2)用表示的值． 【答案】(1) (2) 【分析】把点代入到椭圆方程中，再结合焦点坐标，可得到椭圆方程. 联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得，利用点坐标写出，再代入计算，即可得到答案. 【详解】（1）依题意可得，解得， 从而可得. （2）由题意，联立得， ， 设，所以． 所以， 所以． 题型六 求椭圆的弦长 1．（24-25高二上·上海·期末）已知动点与平面上两定点，连线的斜率的积为定值，试求： (1)动点的轨迹的方程； (2)求直线与（1）中曲线相交所得弦的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解. 【详解】（1）设，， 所以，整理为，； （2）设直线与曲线的两个交点分别为，， 联立，得，得，， 所以弦长. 2．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知椭圆：的一个顶点为，且离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于两点，求； (3)若直线：与椭圆交于、两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的顶点求得，再根据离心率求解，由此求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可求解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及中垂线的性质求解即可. 【详解】（1）因为椭圆：的一个顶点为，所以， 因为椭圆的离心率为，所以， 所以椭圆的方程为； （2）设，，联立消去得，， 显然，，， 则； （3）设，， 联立消去得，， 由得，则， 设线段的中点为，则，所以， 则线段的中垂线方程为, 因为，所以在线段的中垂线上，即,解得，满足， 所以. 题型七 椭圆的通径问题 1．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设，令椭圆为且，结合已知有、求椭圆参数，即可得方程. 【详解】由题设，令椭圆为且，其中， 令，则，可得， 由，即，故， 所以，可得（负值舍），则， 故椭圆方程为. 故选：B 2．（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．椭圆离心率为 C．圆与圆相切 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】AB选项，根据通径长得到，进而求出，由椭圆定义判断A，由离心率定义得到B错误；C选项，由圆心距和半径的关系判断C；D选项，设点，其中，可得，化简得到，当时，取得最大值，，进而求出的最大值. 【详解】AB选项，由通径长，得．所以， 由椭圆的定义，可得，所以A正确； 椭圆离心率，所以B不正确； C选项，圆N的圆心为，半径，圆圆心为，， 因为，所以两圆相内切；C正确； D选项，设点，其中，则满足，可得， 则 ， 当时，取得最大值，， 故，所以D不正确． 故选：AC 题型八 根据弦长求参数 1．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的对称性结合点在椭圆上计算求解. 【详解】直线与椭圆交于，两点，， 则，点在椭圆上可得，即得， 所以的离心率为. 故答案为：. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，消得到，结合条件，利用韦达定理和弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由题可得，则， 又由得 ，则， 所以椭圆的方程为. （2）设直线与椭圆交于，两点， 联立方程组，消得到， 则， 由于，又， 则，整理得到，解得， 又时，，所以满足题意. 题型九 椭圆的焦半径与焦点弦问题 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得，进一步得，从而，由得离心率，利用求解即可. 【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：， 由椭圆上任意点及左、右焦点、， 得 ； 同理，； 根据椭圆方程知，，即， 故椭圆两个焦半径为，， 如图,设的内切圆与三边切于点， 由圆的性质可知， 则， 又，所以，所以，又， 则，由得，所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故选：D 2．（2025高二上·全国·专题练习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点为，且与椭圆相交于两点，设椭圆的左焦点为，求的面积． 【答案】 【分析】根据点斜式写出直线方程，再联立椭圆方程求出弦长，利用点到直线的距离公式求出高，求解面积。 【详解】由椭圆方程知右焦点，利用点斜式，则直线方程为， ,化简得：,故,,则, 求出, 椭圆的左焦点为，所以的高为，所以的面积为． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为，且的最小值为． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，记直线、的斜率分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义个焦半径公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分两种情况讨论，①直线与轴重合，求出的值；②直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求出的取值范围，综合可得答案. 【详解】（1）因为是椭圆上任意一点，且的周长为，则，可得， 设点，则且，所以，， 易知，则 ， 所以，的最小值为，所以，，解得，则， 因此，椭圆的方程为. （2）如下图所示： 若直线与轴重合时，此时，，则， 若直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以， . 综上所述，的取值范围是. 题型十 中点弦坐标、方程、斜率等问题 1.（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可求出直线的斜率为，设点，利用点差法和题设条件可推得，结合，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 2．（多选）（24-25高二上·河北邢台·期末）已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用点差法解方程求出，设点，得，计算并消元，将其整理成，结合，即可求得的取值范围即可. 【详解】如图， 设，因点在椭圆上，则有：， 两式相减，化简得：， 依题意，，代入上式，解得：，即椭圆方程为：. 设点，则，即， 则， 因，则，故. 故选：BCD. 3．（24-25高二下·上海·期中）若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】设出中点弦的端点，的坐标，代入椭圆方程，再利用中点的坐标即可求出直线的斜率，从而得解. 【详解】设，，依题意，点，在椭圆上， 所以，两式相减得，， 即，变形得， 因为的中点为，所以，， 设直线的斜率为， 所以， 所以直线的方程为，化为斜截式方程为. 故答案为：. 题型十一 弦中点与弦的方程、斜率 1．（24-25高二上·湖北·期末）若斜率为1的直线与椭圆交于两点，则弦的中点坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，弦的中点坐标为，利用点差法列方程组，结合条件推得，逐一检验选项，并考虑点在椭圆内即得. 【详解】设，则， 两式相减得：（*）， 设弦的中点坐标为，则， 因直线的斜率为1，即， 分别代入上式（*），整理得：. 将选项逐一代入检验知，A，D满足，但是，点在椭圆外，不合要求. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用点差法求解，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，将交点坐标代入圆锥曲线方程，然后作差，从而得到直线斜率与中点坐标之间的关系. 【详解】设，，因为，两点在曲线上，所以有： 用式减去式可得： 因为点是线段的中点，根据中点坐标公式：可得： ,即，. 代入可得： 化简得：，可得： 而就是直线的斜率，所以直线的斜率为. 故选：B. 3．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件得出，化简即可. （2）设直线方程，与抛物线方程联立，得出和，再利用中点坐标公式即可求得. 【详解】（1）设，则由题意可得， 化简得，故的方程为. （2）由题意可知，直线的斜率不为0， 故设直线，， ，得， 则， 则， 因线段的中点坐标为， 则，， 解得，经检验，满足， 则直线的方程为. 题型十二 中点弦坐标或中点弦方程与椭圆的性质 1.（24-25高二下·山西·开学考试）已知椭圆的焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用点差法，结合直线的斜率求得，再根据焦距列式求解即可. 【详解】设，则且， 故，故，即， 故，又，所以，所以，所以，即， 因此椭圆的短轴长为. 故选：B 2．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法,结合斜率公式即可求解. 【详解】设,则且， 故，故, 故，即， 因此， 故选：D 3．（24-25高二上·辽宁丹东·期末）已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点差法结合直线斜率可求出，即可得到椭圆的离心率. 【详解】 由题意得，. 设，则， ∵点在椭圆上，∴， 两式相减得，，即， ∴，∴， ∴C的离心率. 故选：B. 题型一 椭圆中图形的面积问题 1.（24-25高二下·北京·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与交于，两点，若的面积是面积的2倍，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知面积关系可得，即可求解. 【详解】如下图示，若的面积是面积的2倍，则， 由题设知，且，故， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】根据条件判断四边形为矩形.，利用勾股定理和椭圆的定义列出方程组，计算即得四边形的面积. 【详解】 如图，因关于原点对称，则，又， 则四边形为平行四边形，因，故四边形为矩形. 设，则， 于是，解得. 故四边形的面积为. 故答案为：12. 题型二 椭圆中的参数范围问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且.若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围. 【答案】 【分析】设，，则，借助点A，B，E均在椭圆C上可得，联立直线与椭圆方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理代入计算可用表示出m，即可得m的取值范围. 【详解】设，，则. 四边形OAED为平行四边形， ，. 点A，B，E均在椭圆C上， ，，， ，化简可得. . 由消去y，得. 显然. ，. ，， 因为，所以，即， 所以，即，. 2．（24-25高二下·河北·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过两点． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． ①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）对于椭圆方程，可设出椭圆的标准方程，将已知点代入求解； （2）对于直线与椭圆相交问题，联立直线与椭圆方程，利用判别式和韦达定理来确定参数的取值范围. 【详解】（1）设的方程为，             则解得，                        所以E的方程为. （2）联立得．               ，化简得．               ①因为，所以，解得， 所以的取值范围为．               ②设，则．                                    ，                         化简得，                即，               所以，解得， 所以的取值范围为． 题型三 椭圆中的最值问题 1．（2025·宁夏吴忠·二模）椭圆上的点到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】方法一：切线法，将点到直线的距离的最值转化为平行线之间的距离，设与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆联立方程组，由，求得，得解；法2，利用圆锥曲线的参数方程设点，然后用点到直线的距离公式表示出所求距离，结合三角函数的值域求解 【详解】方法一：切线法，设直线与直线的距离为， 将代入，得关于的方程， 所以，解得， 当时，，即所求最小值． 方法二：参数法 设椭圆上任意一点为，， 则点到直线的距离， 当，即时，. 故答案为：. 2．（23-24高二下·浙江温州·期末）椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值. 【详解】由可得， 由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为， 求导得，因此， 故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于， 故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（）， ，故的最小值为到的距离， 故答案为： 3．（24-25高二下·贵州毕节·期末）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程； (2)动点的轨迹与两条坐标轴的正半轴分别交于，两点，当与，不重合时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义列方程并化简即可得解； （2）不妨设，，由题意得，且直线的方程为，当设与直线平行的直线的方程为经过点且与椭圆相切，此时的面积取得最大值. 【详解】（1）由题意得， 化简得. 所以动点的轨迹方程为； （2）不妨设，， 所以，且直线的方程为. 设与直线平行的直线的方程为， 由化简得. 令得. 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为； 当时，直线的方程为， 直线与直线间的距离为. 因为，所以的面积的最大值为 . 题型四 椭圆中直线过定点问题 1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点，设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，则直线HN过定点 ． 【答案】 【分析】设出椭圆方程，将两给定点代入待定系数求解可得椭圆方程；再设出直线方程，与椭圆C的方程联立，设，分斜率是否存在两种情况讨论，依次用坐标表示出坐标，求解直线方程，进而利用韦达定理关系式探求定点可得. 【详解】设椭圆E的方程为， 由椭圆过点， 则，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 直线的方程为，即. ①若过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 方程中，令， 可得，，在直线AB方程中， 令可得， 由得到. 则HN方程：，直线过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， ， 解得或. 由韦达定理可得， 所以， 且 ， 联立可得 则直线， 将点代入整理得， 将韦达定理所得各式代入可得 ， 即， 化简得显然成立， 综上可得，直线HN过定点 故答案为：.    题型五 椭圆中的定值问题 1．（24-25高二下·北京顺义·期中）在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． (1)求椭圆E的长轴长及离心率； (2)证明：M，N两点横坐标之和为． 【答案】(1)长轴长为6，离心率为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆方程求，再根据椭圆的性质，即可求解； （2）首先直线与椭圆方程联立，表示根与系数的关系，并利用点的坐标，分别表示直线和，并求点的坐标，利用韦达定理表示点的横坐标之和，即可证明. 【详解】（1）由椭圆方程得，，； 所以， 所以，； 所以椭圆长轴长为6，离心率为． （2）设点，，，， 设直线，联立方程 ， 消去y可得： 则；； 椭圆上顶点A坐标为， 所以直线；直线； 将，分别代入直线AB、AC 解得；； 所以 所以 将、代入 解得，得证． 题型六 椭圆中的定直线问题 1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线AD与直线BC交于点Q．证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可求出，得到椭圆方程； （2）设直线的方程并与椭圆方程联立，利用点坐标求出直线方程，联立计算得出为定值，即可求得为定值. 【详解】（1）将点坐标代入椭圆方程中得，即， 因，所以，故椭圆的标准方程为． （2）由题易知的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由，得， 则，，， 又， 则直线AD的方程为，直线BC的方程为， 联立，方程可得， 得，故点在定直线上． 题型七 椭圆中向量点乘问题 1．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将已知点代入方程求参数，即可得椭圆方程； （2）由题意，联立椭圆并应用韦达定理得，，进而求得，最后应用向量数量级的坐标运算求结果. 【详解】（1）由题意，故椭圆方程为； （2）由题意，联立椭圆方程得， 整理得，显然，则，， 所以， 由. 题型八 椭圆中向量共线比例问题 1．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）已知曲线的左、右焦点分别为、，是曲线上一动点. (1)求的周长； (2)过的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由曲线的标准方程求得、，再利用椭圆的定义即可得解； （2）由题意设直线的方程为，联立方程，结合韦达定理得到、， 再由得到，从而求得的值，由此可得直线的方程； 【详解】（1）因为曲线，该曲线为椭圆，且，，则， 所以，，故的周长为. （2）若直线与轴重合时， 若点为椭圆的左顶点，则、、， 则，，此时，， 若点为椭圆的右顶点，同理可知，. 设直线的方程，设点、， 联立，消去，得， 恒成立， 由韦达定理得：，， 因为，， 所以，则， 从而有，可得，， 即，可得，即， 所以直线的方程为. 题型九 椭圆中存在性、探索问题 1．（24-25高二下·上海·期末）已知椭圆：的左、右焦点为、. (1)已知为的上顶点，求的周长； (2)已知直线交于，两点，若，求直线的方程； (3)已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)或； (3)存在. 此时，. 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长. （2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程. （3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据，列出关于的方程求解即可做出结论. 【详解】（1）由椭圆方程可得：，， 则. 所以有，，. 由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为. （2）设点，. 由可得： ，，三点共线且，即， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足； 所以直线过点，且斜率不为， 设直线方程为. 联立方程组，整理得：， 则，由韦达定理可得，结合可得：或， 则直线的方程为或， 即或. （3）设点，. 联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得， 由韦达定理可得， 则， ； 线段的中点坐标为. 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得. 设为轴上一点，假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 则，. 又因为，， 所以 即，整理得：， 因为,所以. 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，. 1．（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处的铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动．当点D在滑槽AB内做往复移动时，带动点N绕O转动，点M也随之而运动．记点N的运动轨迹为，点M的运动轨迹为．若，，过上的点P向作切线，则切线长的最大值为 ．    【答案】 【分析】先建立平面直角坐标系，分别求得、的方程，再利用切线长定理求得切线长的表达式，进而求得该切线长的最大值. 【详解】以滑槽AB所在的直线为x轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．    因为，所以点N的运动轨迹是以O为圆心，半径为1的圆， 其方程为． 设点，，， 依题意，，且， 所以，且， 即，且． 由于t不恒等于0，于是，故，， 代入，可得， 故曲线的方程为．设上的点， 则， 则切线长为，故切线长的最大值为． 故答案为：. 2.（24-25高二上·上海·单元测试）椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先设，分别求出直线，的方程，再由角平分线的性质，得到，结合的取值范围即可得的取值范围； 【详解】 设，则． 又，， 所以直线，的方程分别为， ． 由点到两直线的距离相等得，， 所以． 因为，， 所以，所以， 因此． 故答案为：. 3．（24-25高二下·北京东城·期末）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，已知点. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两个不同的点，（均异于点）.若直线，的斜率互为相反数，求直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解. 【详解】（1）由椭圆过点，则， 由椭圆的离心率为，得，则， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率存在，设方程为， 由消去得，显然， 设，则， 直线的斜率分别为，由， 得，即， 整理得， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）根据椭圆定义得到点P的轨迹为以为焦点的椭圆，求出，得到轨迹方程； （2）l的方程为，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，求出k的取值范围； （3）时，，联立，求出交点坐标，得到答案. 【详解】（1）设，则， 所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆， 其中，故， 故轨迹C的方程为； （2）过点且斜率为k的直线l的方程为， 联立与得，， ，解得或， 故斜率k的取值范围是或； （3）时，，联立得， ，解得或， 当时，，当时，， 故或. 5．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 6．（2025·四川·三模）动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）是否存在实数，使得点在线段的中垂线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在 【分析】（1）根据题意，得到，化简整理，即可得到曲线的方程； （2）设，联立方程组，得到，（ⅰ）结合弦长公式，求得，进而求得的取值范围； （ⅱ）由（i）得到的中点坐标为，求得，结合点在线段的中垂线上，可得，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为动点与定点的距离和点到定直线的距离的比是常数， 可得，化简整理得，即曲线的方程为. （2）解：联立方程组，整理得， 设，可得， 且，所以， （ⅰ）由弦长公式，可得， 即， 因为，所以，的取值范围为； （ⅱ）由且， 可得的中点坐标为， 所以的斜率， 因为点在线段的中垂线上，可得，解得， 所以存在，使得点在线段的中垂线上. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$