2.4 曲线与方程（讲义）数学人教B版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦平面解析几何中“曲线与方程”核心知识点，从曲线与方程的双向对应关系定义出发，系统梳理求曲线方程的步骤，搭建从概念理解到轨迹方程求解的学习支架，衔接后续应用题型。 该资料融入星形线、心形图等现实曲线案例，引导学生用数学眼光观察图形特征，通过例题与随学随练培养逻辑推理的数学思维，以方程精准表达曲线关系提升数学语言能力。课中助力分层教学，课后通过基础与素养题帮助学生查漏补缺。

第二章 平面解析几何 2.4　曲线与方程 课标要点 1.了解曲线与方程的对应关系，领会曲线的方程与方程的曲线的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法． 学习重难点 重点： 1. 曲线与方程的概念.2.求动点的轨迹方程． 难点： 1.分析、判断曲线与方程的关系.2.求动点的轨迹方程． 知识点一 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 随学随练 1．若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】 ，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 知识点二 点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 随学随练 3．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与轴的交点及坐标原点所围成的直角三角形的面积， 由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面积. 【详解】如图所示，设，线段的中点为， 因为曲线关于点对称， 所以可将曲线与轴，轴围成的区域割补为直角三角形的区域， 于是曲线与轴，轴围成的区域面积就是直角三角形的面积， 即； 根据对称性，可得曲线与轴，轴围成的区域面积为， 又曲线所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为， 所以曲线所围成的“心形”区域的面积等于. 故选：C. 4．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（    ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A．② B．③ C．①② D．②③ 【答案】D 【分析】利用“伴随点”的定义可判断①；在圆上任取一点，推导出其“伴随点”仍在该圆上，可判断②；在曲线上取两点、，推导出这两点的“伴随点”在曲线上，可判断③. 【详解】对于①，取点，若点不是原点，则， 设点的“伴随点”为，则， ， 即点的伴随点为，①错； 对于②，在圆上任取一点， 则点的伴随点为，即点， 因为，即点在圆上， 所以圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身，②对； 对于③，在曲线上取两点、，这两点关于轴对称， 点的“伴随点”为，点的“伴随点”为， 点、都在“伴随曲线”上，且点、关于轴对称，故曲线关于轴对称，③对. 故选：D. 题型曲线与方程的定义 ▌例1已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据对称性分析可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，再说明若曲线在坐标轴上有交点，则交点也为4个，不会出现2个，并举例说明4个交点的可能. 【详解】对于， 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于y轴对称； 用替换可得：， 即，方程不变，可知曲线关于x轴对称； 综上所述：曲线关于x、y轴对称； 同理可知：曲线关于x、y轴对称； 且，可知原点不为公共点， 结合对称性可知：曲线的公共点的个数不可能为奇数，故AC错误； 根据对称性：不妨假设， 若曲线在第一象限内有交点，根据对称性可知：每个象限内均有交点，即交点个数为4的倍数； 若曲线在坐标轴上有交点，不妨设为曲线的公共点， 则，解得， 此时曲线，曲线， 显然也为曲线的公共点， 结合对称性可知：此时至少有4个公共点，即曲线不可能有2个交点，故B错误； 例如， 则曲线，曲线， 令，则，解得， 即，解得或或或， 即交点为，为4个，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：分析方程的对称性，结合对称性可知交点个数必为偶数. ▌对点练1-1．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】先根据图像的对称性找出整点，再判断是否还有其他的整点在曲线上；找出曲线上离原点距离最大的点的区域，再由基本不等式得到最大值不超过；在心形区域内找到一个内接多边形，该多边形的面积等于3，从而判断出“心形”区域的面积大于3. 【详解】对于①，将换成，方程不变，所以图形关于轴对称， 当时，，即曲线经过，， 当时，方程变为， 由解得， 所以只能取整数解1， 当时，方程变为， 解得或，即曲线经过，， 由对称性得曲线还经过，， 故曲线一共经过6个整点，，，，，，，故①正确； 对于②，当时，由得， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过， 由对称性可得曲线上任意一点到原点的距离不超过，故②错误； 对于③，如图： 在轴上方图形面积大于矩形面积， 在轴下方图形面积大于等腰直角三角形面积， 因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，比如对称性，整点，内接多边形是解决本题的关键. 题型求动点的轨迹方程 ▌例1设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线 【答案】D 【分析】由条件可得，即可得答案． 【详解】因为，所以动点M的轨迹是射线． 故选：D ▌对点练1-1曲线的图像（     ） A．关于轴对称 B．关于原点对称,但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称 【答案】D 【分析】构造二元函数，分别考虑与、、、、的关系，即可判断出相应的对称情况. 【详解】A．，所以不关于轴对称； B．，， 所以关于原点对称，也关于直线对称； C．，所以不关于轴对称； D．，所以关于直线对称，同时也关于直线对称. 故选：D. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合应用，难度一般.若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于轴对称，则将曲线中的换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变；若曲线关于原点对称，则将曲线中的换成、换成，此时曲线的方程不变. 基础通关 1．（25-26高二下·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（    ） A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题 【答案】A 【分析】由向量模长公式得到曲线方程，对于命题（1）通过对称性判断，对于命题（2）通过特殊点判断即可. 【详解】由题意， 又， 由模长公式得： ， 平方整理得曲线方程：， 命题（1）：当 时，，（双纽线，图象横卧的8字）， 当时，可得，即图象过原点， 当时，可得， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，上式成立，即点对应的曲线关于轴对称， 将换成，换成，上式成立，即点对应的曲线关于原点对称， 图①符合，故命题（1）是真命题， 命题（2）：当时，令， 得：，关于的方程无解， 即点对应的曲线与轴没有交点，图②不符合，命题（2）是假命题. 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】设出点的坐标，根据题意可求出点的轨迹方程，将分别替换为看曲线方程是否仍成立可判断①；联立与曲线方程得到方程组，根据方程组解的情况可判断②；曲线上的点到原点的距离，消参后由基本不等式可得距离的最小值，从而可判断③；直线与曲线只有一个交点，从而可判断④． 【详解】由题意知直线的斜率均存在，故可设， 由得，去分母后可得， 即点的轨迹（曲线）方程为. 对于①，将分别替换为得，方程不变， 故曲线关于原点中心对称，①正确. 对于②，联立与得， 解得，但需满足，即， 由得， 所以当时，曲线与直线有交点； 当时，曲线与直线没有交点， 故②错误. 对于③，曲线上的点到原点的距离， 由得，所以， 所以， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，此时，即曲线上的点到原点的距离的最小值不是，所以③错误. 对于④，因为曲线的方程可转化为， 取直线，将代入得， 即存在直线与曲线有且仅有一个交点，故④正确． 3．（25-26高二上·上海·期末）若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为“孤立曲线组”，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为“孤立曲线组”；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为“孤立曲线组”.则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】C 【分析】结合图像判断即可. 【详解】命题①，若双曲线和双曲线没有公共点，结合双曲线弯曲的方向，则有如图两种情况，总存在双曲线使得为“孤立曲线组”，①正确； 命题②，若抛物线和抛物线没有公共点，结合抛物线弯曲的方向，则有如图两种情况，总存在抛物线使得为“孤立曲线组”，②正确. 4．（2026·云南昆明·模拟预测）1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（   ） A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B．笛卡尔叶形线关于直线对称 C．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4 【答案】ABD 【分析】令，计算可判断A；将点代入方程计算可判断B；结合题意根据B，令，得出点坐标计算可判断C；结合基本不等式计算可判断D. 【详解】对于A，在中，令，得，令，得， 所以笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点，故A正确； 对于B，在中，将点代入可得， 显然方程不变，所以笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，方程， 由B可知，笛卡尔叶形线关于直线对称， 将代入曲线可得，解得，即， 此时点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，，故C错误； 对于D，当时，方程， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得，此时， 经检验，点在曲线上，所以的最大值为4，故D正确. 5．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（       ） A．当时， B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C．当，时，的最小值为 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，求出各顶点的坐标，计算，可判断A；利用点到平面的距离的向量公式，即可判断B；将折线距离和转化为平面内两点间距离即可判断C；利用点到平面的距离公式，结合点的轨迹，利用数形结合，即可判断D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 因为，∴ 对于A，当时，，此时,，，得，， 所以直线与平面垂直，故A正确； 对于B，由选项A知，向量也是平面的一个法向量，当，，时，，，则点到平面的距离，所以P到平面的距离的最小值是，故B不正确； 对于C，当，时，，， 故， 故 令，则 如图所示，， 显然当三点共线时，取得最小值， 最小值为，当且仅当，即时，等号成立，此时 则的最小值为，故C正确； 对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），设点在平面内的投影为点， 因为，所以点是的中心， ，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上， 点到三边的距离为， 此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD. 6．在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 【答案】ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A，根据椭圆的定义判断B，设求出轨迹方程，即可判断C、D. 【详解】因为，，所以， 对于A：因为，所以点是以为焦点的双曲线，故A正确；对于B：因为，所以点的轨迹为线段，故B错误； 对于C：设，则， 因为，所以，整理得，所以点的轨迹是一条直线，故C正确； 对于D：因为，即，所以点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：ACD 7．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 【答案】ACD 【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，再运用曲线的对称性、放缩解决曲线所围图形面积以及整点的概念，分别分析每个选项. 【详解】对于A，先求曲线方程，设曲线上一点（）， 由已知，即. 若点在曲线上，则也满足曲线方程， 所以曲线关于直线对称，A选项正确. 对于B，将代入曲线方程，得，即，，此时方程为，B选项错误. 对于C，，则， 所以C在以圆心为O，半径为的圆内，结合图形知道，C选项正确. 对于D，由于，所以， 由曲线的对称性可知，要使曲线上有5个整点， 则曲线在第一象限内有两个整点，当整点为时，， 此时整点都在曲线上，其有3个整点，不满足题意; 当整点为时，，此时整点均在曲线上， 且均不在曲线上，其有5个整点，满足题意，D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是找准图形的信息，求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解. 8．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（    ） A．曲线C关于直线和都对称 B．曲线C上的点到和到直线的距离相等 C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 【答案】BCD 【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可. 【详解】对于A，曲线C：中，，所以不关于直线对称，故错误； 对于B，设C上一点，则，而，故正确； 对于C，，， 所以，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是，故正确； 对于D，到点的距离， 故曲线C位于圆的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于． 故选：BCD. 9．已知，则（    ） A．与均有公共点的直线斜率最大为 B．与均有公共点的圆的半径最大为4 C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆 D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆 【答案】AD 【分析】根据相似比即可结合锐角三角函数求解A，根据圆的性质即可判断B，根据距离公式即可求解轨迹方程，进而可判断CD. 【详解】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线， 由两圆半径之比为，，可知切线与轴交于， 设切线的倾斜角为，选项正确. 与均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误. 向引切线，设切线长相等的点为,则， 所以，化简得直线，选项错误. 设的圆心分别为，点对切线的夹角等于点对切线的夹角， 于是由相似三角形知， 设，则， 可得到点的轨迹是一个圆，选项D正确. 故选：AD 10．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 【答案】 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设交点， 所以， 因为，所以， 整理得， 所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以交汇点G形成的轨迹长度为. 素养提升 11．（2026·北京平谷·一模）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】先求出点P的轨迹方程，将原点O代入轨迹方程即可判断①；由点位于直线的右侧和即可求解判断②；由时求出y即可判断③；由x的取值范围将x的整数取值代入轨迹方程求出y即可判断④. 【详解】点到点的距离为，到直线的距离为， 则，即点的轨迹方程为， 将点代入点P的轨迹方程得， 所以点过坐标原点，①正确； 因为点位于直线的右侧，所以， 又， 所以，②正确； 对于③：在中， 当时，化简得， 当点在第一象限时，取，则， 所以点在第一象限内，的最大值一定大于，故③不正确； 因为，令， 所以点共经过这3个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 【答案】/ 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则，， 从而点的轨迹长度为. 13．若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________． 【答案】 【分析】根据曲线的对称性，只需要分析第一象限的情况，故，，根据三角函数的有界性求出最值即可 【详解】设上任意的一点， 将代入方程，方程不变， 所以曲线关于 x轴、y轴、原点以及直线对称， 不妨设，， 代入得 ， 所以， 由，得， 即 又，即， 当且仅当时，，此时曲线上的点到原点的最小距离， 即该圆半径的最小值为， 故答案为： 14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 【答案】 【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，直接写出方程即可. 【详解】如图，以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 则其方程为. 故答案为：. 15．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则__________.（写出满足条件的一个的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据动点轨迹定义求出轨迹方程，依题意得出两圆有公共点，由两圆位置关系的判定方法可求得的取值范围，在其中任意取值即得. 【详解】 不妨设点，因满足，则，化简得：， 即点的轨迹方程为，依题意点又在圆上, 如图，两圆必有公共点，须使，（由图知圆C半径），而， 解得：.故可取区间内的任何数. 故答案为：3（答案不唯一） 17．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】根据向量关系写出点 的坐标，再依次求出点 、直线 及直线 的方程，从而得到点 的参数坐标，消去参数即可得到轨迹方程． 【详解】取 的一种情形 因为 ，且 ，所以 点 ， 在 轴上的投影分别为 又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以 直线 经过 ，，故其方程为 直线 的方程为 因此直线 与 的交点为 设 ，则 消去参数 ，得 因为 ，所以 ． 反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ． 故点 的轨迹方程为 18．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 【答案】①④ 【分析】以替换，以替换方程不变判断①；根据方程求出的范围判断②；由两曲线的对称性判断③；联立方程组判断④． 【详解】以替换，以替换，得，即， 所以曲线关于原点对称，故①正确； 由，得， 所以，解得，. 故②不正确. 当时，可化为. 由，得，. 所以当且仅当时，. 此时，所以方程组无解， 即曲线与曲线在第一象限无交点， 又曲线与坐标轴无交点，且曲线与曲线均关于轴和轴对称， 所以曲线与曲线无交点，故③不正确. 由，得，. 所以曲线是不封闭图形. 由，得，即， 显然方程无解，所以曲线与圆无公共点. 故④正确. 19．（25-26高二下·上海徐汇·期末）平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】因为曲线过原点，且已知的坐标，所以先利用卡西尼卵形线的定义，代入原点坐标求出距离之积的常数，得到. 已知与的乘积为定值，所以利用基本不等式求该函数的最小值，验证等号成立的条件是否满足曲线的约束。 【详解】由题意，曲线过原点，，，则 ，， 根据定义，对曲线上任意点，有 ， 由基本不等式得：， 等号成立当且仅当，结合，得，，满足三角不等式，存在这样的点，等号可取。 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点和点的坐标，因为是的中点，所以利用中点坐标公式建立与的坐标关系；又因为在圆上，将的坐标代入圆的方程，即可得到点的轨迹方程。 （2）先求出圆与点的轨迹的交点、，利用圆系方程，设出过两点的圆系方程，再将点的坐标代入求出参数，得到所求圆的方程. 【详解】（1）设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得，   故过三点的圆的方程为. 试卷第2页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章 平面解析几何 2.4　曲线与方程 课标要点 1.了解曲线与方程的对应关系，领会曲线的方程与方程的曲线的概念.2.熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.3.掌握求动点轨迹方程的方法． 学习重难点 重点： 1. 曲线与方程的概念.2.求动点的轨迹方程． 难点： 1.分析、判断曲线与方程的关系.2.求动点的轨迹方程． 知识点一 曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上． 则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 随学随练 1．若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A． B． C．2 D． 知识点二 点的轨迹方程 曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程． 随学随练 3．曲线和曲线组合围成“心形图”（如下图所示），记“心形图”为曲线，曲线所围成的“心形”区域的面积等于（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”是；当是原点时，定义的“伴随点”是它自身；定义曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线为曲线的“伴随曲线”.则下列命题中，真命题的序号是（    ） ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在坐标原点的单位圆的“伴随点曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称. A．② B．③ C．①② D．②③ 题型曲线与方程的定义 ▌例1已知点集分别表示曲线，其中实数满足，则的公共点的个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌对点练1-1．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线上存在有点到原点的距离超过； ③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①②③ C．①② D．①③ 题型求动点的轨迹方程 ▌例1设是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（    ） A．双曲线 B．直线 C．线段 D．射线 ▌对点练1-1曲线的图像（     ） A．关于轴对称 B．关于原点对称,但不关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称，关于直线对称 基础通关 1．（25-26高二下·上海奉贤·期末）在平面直角坐标系中，已知定点、，设动点满足，其中 ，. 命题（1）：当 时，点 对应的曲线大致图像如下图①. 命题（2）：当时，点 对应的曲线大致图像如下图②. 下列判断正确的是（    ） A．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 B．命题（1），命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1），命题（2）都是真命题 2．（25-26高二下·上海宝山·期末）已知，，，连接动点与、形成的直线斜率记为、，且满足．设点的轨迹为曲线．有以下命题： ①曲线关于原点中心对称； ②曲线与直线恒有交点； ③曲线上的点到原点的距离的最小值为； ④存在直线与曲线有且仅有一个交点． 其中正确的命题序号为（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 3．（25-26高二上·上海·期末）若平面曲线中任意两条曲线都没有公共点，则称为“孤立曲线组”，有以下两个命题：①若双曲线和双曲线没有公共点，则存在双曲线使得为“孤立曲线组”；②若抛物线和抛物线没有公共点，则存在抛物线使得为“孤立曲线组”.则（    ） A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题 C．①为真命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 4．（2026·云南昆明·模拟预测）1688年，笛卡尔根据塔索研究的一簇花瓣与叶形曲线特征，提出了笛卡尔叶形线方程，则下列选项中正确的是（   ） A．笛卡尔叶形线与坐标轴只有一个交点 B．笛卡尔叶形线关于直线对称 C．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为 D．当时，若点是笛卡尔叶形线上第一象限内的点，则的最大值为4 5．已知正方体的棱长为1，动点P满足（，，），下列说法正确的是（       ） A．当时， B．当，，时，则P到平面的距离的最小值是 C．当，时，的最小值为 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 6．在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则点的轨迹是双曲线 B．若，则点的轨迹是椭圆 C．若，则点的轨迹是一条直线 D．若，则点的轨迹是圆 7．如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值（），则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线经过点，其方程为 C．曲线围成的图形面积小于 D．存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） 8．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l和x，y轴的非负半轴交于A，B两点，若恒成立，则l始终和曲线C：相切，关于曲线C的说法正确的有（    ） A．曲线C关于直线和都对称 B．曲线C上的点到和到直线的距离相等 C．曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是 D．曲线C和坐标轴围成的曲边三角形面积小于 9．已知，则（    ） A．与均有公共点的直线斜率最大为 B．与均有公共点的圆的半径最大为4 C．向引切线，切线长相等的点的轨迹是圆 D．向引两切线的夹角与向引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆 10．（25-26高三下·上海浦东新·期中）某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米． 素养提升 11．（2026·北京平谷·一模）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4． 给出下列四个结论： ①点过坐标原点； ②； ③若点在第一象限内，的最大值为1； ④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确结论的序号是______． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 13．若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________． 14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾(1615-1660)设计的 一种作图工具，如图 ， 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆 通过 处的铰链与 道接， 上的栓子 可沿滑槽 滑动，当点 在滑槽 内作往复移动时，带动点 绕 转动，点 也随之而运动，记点 的运动轨迹为 ，点 的运动轨迹为 . 以 为坐标原点， 方向为 轴正方向，如图建立平面直角坐标系，若 ，且 ，则 的方程为_____. 15．在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是________． 16．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则__________.（写出满足条件的一个的值即可） 17．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 18．（25-26高二下·上海·期末）关于曲线，则以下结论正确的为 ______（填序号）. ①曲线关于原点对称； ②曲线中； ③曲线与曲线有4个交点，这4点构成正方形； ④曲线是不封闭图形，且它与圆无公共点. 19．（25-26高二下·上海徐汇·期末）平面上到两个不同的定点，的距离之积为非零常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．如图所示，曲线 是一条过坐标原点的卡西尼卵形线，其中两定点，．若点 为曲线 上的任意一点，则的最小值为____________． 20．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $