2.4 曲线与方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

2.4曲线与方程 一、知识点 1.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1.曲线上的点的坐标都是方程的解； 2.以方程的解为坐标的点都在曲线上， 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程. 2.两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到. 3.轨迹方程的求法 曲线一般都可以看成动点按某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. （1）直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. （2）定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）. （4）点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. （5）交轨法（交集法） 交轨法，也称交集法，适用于所求轨迹上的动点可以看作是两条相关联的动曲线（或直线）的交点. （6）参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 二、题型训练 1.曲线方程的概念 例1.若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（ ） 例2.下列点在曲线上的是（ ） A. B. C. D. 例3.若点，都在方程表示的曲线上，则实数________. 例4.方程表示的是（ ） A.一条直线和一条曲线 B.两条直线 C.两个点 D.以上答案都不对 练习： 1.“点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 3.若曲线经过点和，则________，__________. 4.已知圆的方程为，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ） A.就是圆 B.过点且与圆相交的圆 C.可能不是圆 D.过点且与圆同心的圆 5.已知方程① ；② ；③ ；④ ，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的交平分线的方程的序号是_________. 6.方程表示（ ） A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条线段 D.两条线段 7.方程表示的曲线是_________. 8.方程表示的图形是__________. 9. 设方程表示的曲线是（ ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 10.下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 11.方程表示的曲线是（　　） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 2.根据曲线方程研究曲线的性质 例5.（多选）已知曲线，则曲线（ ） A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称 例6.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（ ） A． B． C． D． 例7.方程表示的曲线是（ ） 练习： 1.方程表示的曲线是（ ） 2.（多选）在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于，记点的轨迹为曲线，则下列命题中真命题有（ ） A.曲线经过坐标原点 B.曲线关于轴对称 C.曲线关于轴对称 D.若点在曲线上，则 3.方程表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为________，面积为__________. 4. .已知曲线．给出下列结论： ①曲线是中心对称图形； ②曲线是轴对称图形； ③曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④设为坐标原点，则曲线上存在点，使得． 其中，所有正确结论的序号是________． 5. （多选）已知曲线，则（ ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线关于轴对称 C．或 D． 6. （多选）已知曲线，则（    ） A．上两点间距离的最大值为 B．若点在内部，则 C．若与直线有公共点，则 D．若与圆有公共点，则 7. （多选）曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（    ） A．曲线关于坐标轴对称 B．周长的最小值为 C．点到轴距离的最大值为 D．点到原点距离的最小值为 3.曲线的交点问题 例8. 曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A． B． C． D． 例9. 若曲线与曲线的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 练习： 1.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 3. 曲线和公共点的个数为（ ） A． B． C． D． 4. 直线与曲线的公共点的个数是（    ） A． B． C． D． 5. 曲线与交点的个数为（    ） A． B． C． D． 6. 方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是______． 7. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双组线．曲线是双纽线，则下列结论错误的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 4.轨迹方程问题 例10.与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 例11.在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 例12.动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 例13.设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 例14. 设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 例15.在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 例16.平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 练习： 1.平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 2.一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 3.已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 4.设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 5.已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 6. 设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 7.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8.已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 9.过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 10.已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 11.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 12. 已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 13. 在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 14. 在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 15.如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 16.在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4曲线与方程 一、知识点 1.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线与方程之间具有如下关系： 1.曲线上的点的坐标都是方程的解； 2.以方程的解为坐标的点都在曲线上， 则称曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程. 2.两曲线的交点 己知两条曲线和的方程分别为，，求两条曲线和的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到. 3.轨迹方程的求法 曲线一般都可以看成动点按某种条件运动的轨迹，曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程. （1）直接法 当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质. （2）定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. （3）代入法（相关点法） 若所求轨迹上的动点与另一个已知曲线上的动点存在着某种联系，可把点的坐标用点的坐标表示出来，然后代入已知曲线的方程，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）. （4）点差法 点差法并不是一种求轨迹的通用方法，而是专门用于解决中点弦、弦中点轨迹等问题的一种技巧.它的核心思想是：当一条直线与曲线相交于两点，并且题目条件与这两个点的中点有关时，我们通过将两个交点坐标代入曲线方程再相减，利用平方差公式和中点公式来化简问题. （5）交轨法（交集法） 交轨法，也称交集法，适用于所求轨迹上的动点可以看作是两条相关联的动曲线（或直线）的交点. （6）参数法 如果所求轨迹的动点的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法常选变角、变斜率等为参数. 注意：①参数的取值范围影响着方程中和的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性. 对求动点轨迹方程步骤的几点说明 （1）在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，要首先建立适当的坐标系，坐标系建立得当，可使运算过程简单，所得的方程也较简单. （2）第三步的说明可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中（或）的取值予以剔除. （3）求动点的轨迹与求动点的轨迹方程既有联系又有区别，轨迹通常指的是图形（曲线的形状），而轨迹方程则是一个方程. 二、题型训练 1.曲线方程的概念 例1.若命题“曲线上的点的坐标都是方程的解”是真命题，则下列命题中是真命题的为（ ） 【答案】C 【解析】 根据曲线与方程的关系可知A、B、D错误. 例2.下列点在曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由已知可得或，依次代入各点可判断. 例3.若点，都在方程表示的曲线上，则实数________. 【答案】 【解析】 由题意可知，解得 例4.方程表示的是（ ） A.一条直线和一条曲线 B.两条直线 C.两个点 D.以上答案都不对 【答案】C 【解析】 由已知，得，解得或， 所以方程表示的曲线是两个点和，故选：C. 练习： 1.“点在曲线上”是“点的坐标满足方程”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 点在曲线上，其坐标不一定满足方程，但当点的坐标满足方程时，点一定在曲线上. 2.“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”是“曲线的方程是”的__________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 是曲线的方程必须同时满足一下两个条件：①以的解为坐标的点都在曲线上；②曲线上的点的坐标都符合方程. 3.若曲线经过点和，则________，__________. 【答案】； 【解析】 把点，的坐标代入已知方程得，解得 4.已知圆的方程为，点在圆外，点在圆上，则表示的曲线是（ ） A.就是圆 B.过点且与圆相交的圆 C.可能不是圆 D.过点且与圆同心的圆 【答案】D 【解析】 由点在圆上知.由在圆外知为大于的常数，即，则表示的曲线过点且与圆同心的圆. 5.已知方程① ；② ；③ ；④ ，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的交平分线的方程的序号是_________. 【答案】① 【解析】 ①是正确的；②不正确，如点在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程；③不正确，如点满足方程，但它不在曲线上；④不正确，如点在曲线上，但其坐标不满足方程. 6.方程表示（ ） A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条线段 D.两条线段 【答案】A 【解析】 方程得或，且满足， 即或， 所以方程表示一条线段和半个圆， 故选：A. 7.方程表示的曲线是_________. 【答案】射线和直线 【解析】 由得或， 即或， 所以方程表示的曲线是射线和直线. 8.方程表示的图形是__________. 【答案】两条射线和 【解析】 原方程等价于，即和 9. 设方程表示的曲线是（ ） A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线 C．一个圆 D．一条直线 【答案】D 【解析】 由，可得， 则由，可得， 则方程表示的曲线是一条直线. 故选：D 10.下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】 A选项，中，中，所以不是相同曲线. B选项，中，中，所以不是相同曲线. C选项，，是相同曲线，C选项正确. D选项，中，中，，所以不是相同曲线. 故选：C 11.方程表示的曲线是（　　） A．—个圆 B．两个圆 C．一个半圆 D．两个半圆 【答案】D 【解析】 方程可化为， 因为， 所以或， 若时，则方程为； 若时，则方程为， 故选：D 2.根据曲线方程研究曲线的性质 例5.（多选）已知曲线，则曲线（ ） A.关于轴对称 B.关于轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线对称 【答案】ABCD 【解析】 曲线，则，，都成立， 故曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称. 取曲线上任意一点关于直线对称的点为，成立，故选：ABCD. 例6.如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线围成的平面区域的直径为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由曲线的方程可知：若点在曲线上，则均在曲线上，所以曲线关于轴以及坐标原点对称， 到坐标原点的距离为， 由于，故当时，， 根据对称性可知：该曲线上两点间的距离的最大值为，故直径为3， 故选：C 例7.方程表示的曲线是（ ） 【答案】D 【解析】 由题意，方程可化为或，即或，结合反比例函数的图像与性质可得D. 练习： 1.方程表示的曲线是（ ） 【答案】D 【解析】 因为圆表示圆心在原点，半径为的元，又，所以图像在第二、四象限，且不与轴、轴相交，故选D. 2.（多选）在平面直角坐标系中，动点到两个定点和的距离之积等于，记点的轨迹为曲线，则下列命题中真命题有（ ） A.曲线经过坐标原点 B.曲线关于轴对称 C.曲线关于轴对称 D.若点在曲线上，则 【答案】BCD 【解析】 设，则，化简可得， 当时，等式不成立，A错误； 易知点，均在曲线上，B，C正确； 又，且，所以， 所以，D正确， 故选：BCD. 3.方程表示的曲线围成的图形对称中心的坐标为________，面积为__________. 【答案】； 【解析】由得，画出图形即可. 4. .已知曲线．给出下列结论： ①曲线是中心对称图形； ②曲线是轴对称图形； ③曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④设为坐标原点，则曲线上存在点，使得． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】 对①，设曲线上任意点坐标为，则其关于原点对称点为. 将代入曲线得：， 故在曲线上，故①正确. 对②，设曲线上任意点坐标为，则其关于对称点为， 将点代入曲线得：， 所以曲线关于对称，故②正确. 对③，，，解得， 即可以取的整数为. 当时，，过点， 当时，，解得，舍去. 当时，，解得，舍去. 当时，，解得或，过点， 当时，，解得或，过点， 所以曲线恰好经过6个整点，，，，，， 故③正确. 对④，设，因为，所以， 因为，所以. 又因为，所以，满足， 故曲线上存在点，满足，故④正确. 故答案为：①②③④ 5. （多选）已知曲线，则（ ） A．曲线关于坐标原点对称 B．曲线关于轴对称 C．或 D． 【答案】ACD 【解析】 因为点在曲线上， 所以点满足， 所以A正确； 若，因为点不满足C的方程， 所以B错误； 因为， 所以， 所以， 所以或，所以C正确； 设，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以D正确． 故选：ACD 6. （多选）已知曲线，则（    ） A．上两点间距离的最大值为 B．若点在内部，则 C．若与直线有公共点，则 D．若与圆有公共点，则 【答案】BC 【解析】 曲线的图象是由半圆和此半圆分别关于轴、轴、原点对称的图象组合而成，如图所示：    对于A，曲线上两点间距离的最大值为， 故A错误； 对于B，由得， 由得， 所以当点在内部时，有，故B正确； 对于C，由曲线的图象可知， 当直线与半圆相切时，截距最大， 则由得或（舍去）， 当直线与半圆相切时，截距最小， 则由得或（舍去）， 所以若与直线有公共点，则，故C正确； 对于D，曲线：与坐标轴的交点为，， 当圆过点和时，最小，最小值为2， 当圆过点时，最大，最大值为， 所以若与圆有公共点，则，故D错误. 故选：BC 7. （多选）曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（    ） A．曲线关于坐标轴对称 B．周长的最小值为 C．点到轴距离的最大值为 D．点到原点距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 解：设得：，得， 由于方程中的次数均为偶数，故其图象关于坐标轴对称，故正确； 因为的周长为，故B正确； 展开方程得：关于的一元二次方程有解， ，所以，所以，故C错误； 将方程化为关于的一元二次方程有解， ，恒成立， 因为，所以， 所以 所以，所以点到原点距离的最小值为，故D成立. 故选：ABD 3.曲线的交点问题 例8. 曲线与曲线的公共点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 与联立得：， 整理得：， 其中，故两曲线有2个公共点. 故选：C 例9. 若曲线与曲线的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 曲线可得或 曲线, 由，可得; 那么，即, 圆心为，半径为1，作出图象如下， 通过图象可知与曲线交于A，只有一个交点; 那么与曲线必有2个交点; 直线恒过(0，3）点， 当直线与曲线相切于B点时，可得，解得或舍； 当直线恰好过A点时，可得 ; 所以恰有三个不同的交点，则k的取值范围为 故选：B 练习： 1.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示，曲线即，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线的距离等于半径，可得或，当直线过时，直线与曲线有两个公共点，此时， 结合图像可知. 2.直线与曲线仅有一个公共点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 如图，曲线，即，表示以为圆心，为半径的半圆，该半圆位于直线上方.直线恒过定点，由圆心到直线的距离，解得.由图可知，当直线经过点时，直线的斜率为，当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上所述的取值范围是. 3. 曲线和公共点的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由可得，曲线表示圆的上半圆， 如下图所示： 因为原点到直线的距离为， 所以，曲线与直线相切，且切点在第一象限. 故选：C. 4. 直线与曲线的公共点的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当时，曲线的方程为 当时，曲线的方程为， ∴曲线的图象如图， 在同一坐标系中作出直线的图象， 可得直线与曲线交点个数为3个． 故选：C 5. 曲线与交点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 当时，将代入：关于x的方程有两个不等正根，所以两个曲线有两个交点； 当时，：，无解； 当时，：，，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点； 当时，：，，关于x的方程有一个正根一个负根，所以两个曲线有一个交点； 综上所述：两个曲线交点个数为4. 故选：D 6. 方程有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 由可得， 所以，曲线与曲线有两个公共点，它们关于y轴对称， 对于曲线，，可得， 整理可得，由可得， 即曲线为圆的下半圆， 由可得，其中， 联立可得， 若方程在时有唯一根，则， 此时方程只有唯一的实根，不合乎题意， 所以，方程在只有唯一的根， 因为二次函数在时单调递减， 只需，解得. 故答案为：. 7. 中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双组线．曲线是双纽线，则下列结论错误的是（    ） A．曲线的图象关于原点对称 B．曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过 D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 【答案】B 【解析】 把代入得，所以曲线C的图象关于原点对称，故A正确； 令解得，或，即曲线经过， 结合图象，， 令，得，令，得， 因此结合图象曲线C只能经过3个整点，，故B错误； 可得， 所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离，即都不超过3，故C正确； 直线与曲线一定有公共点， 若直线与曲线C只有一个交点， 所以，整理得， 则，解得．故D正确． 故选：B． 4.轨迹方程问题 例10.与点和点连线的斜率之和为的动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设动点，由，即，整理可得. 例11.在第四象限内，到原点的距离等于的点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由定义可知点的轨迹是半径为的圆在第四象限内的部分，所以 例12.动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设点，则由题意可知，即，化简可得 例13.设动点是曲线上任意一点，定点，点分所成的比为，则点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设点，，则，，易知，即，即，又，所以，即. 例14. 设圆，过原点作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程. 【答案】 【解析】设弦的中点为，弦的两个端点分别为，， 则，，作差可得，且，， 由弦过点，则， 化简可得，即，即. 例15.在平面直角坐标系中，，，动点和分别位于轴正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 设，，， 因为，所以. 已知，，则直线，即 又，，则，即， 又，则和的交点的轨迹方程为， 即， 又当时，不满足动点和分别位于轴正半轴和负半轴上， 所以 例16.平面直角坐标系中曲线上任意一点 ，均满足 （为参数），求曲线的方程. 【答案】 【解析】 由，则，所以. 练习： 1.平面内有两定点，，且，动点满足，则点的轨迹是（ ） A.线段 B.半圆 C.圆 D.直线 【答案】C 【解析】 以的中点为原点，以所在的直线为轴建立直角坐标系，则，， 设动点，则，所以. 2.一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】 设动点，则动点到直线的距离为，到点的距离为， 则，即. 3.已知曲线是动点到两定点，距离之比为的点的轨迹. （1）求曲线的方程； （2）求过点，且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 （1）设点，由及两点间的距离公式， 得，平方整理可得； （2）由（1）可得，其圆心为，半径为， 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为， 则，解得，此时切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足于圆相切. 4.设，分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为_________. 【答案】 【解析】 设，，， 则的中点，所以，， 又， 即. 5.已知圆，点，点在圆上移动，且动点满足，求动点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设动点，，，， 由，所以，即， 又点在圆上，即 所以， 即 6. 设圆外切，又与轴相切的圆的圆心的估计方程是（ ） A. B. 和 C. D. 和 【答案】D 【解析】 设动圆圆心为，动圆半径为，定圆圆心为，半径，由题意得，又，所以，故，化简可得.当时，，当时，. 7.动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设连线的中点为，因为动点与定点连线的中点为， 所以，即， 又点在圆上，即， 即，即. 8.已知点，两点，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设点，，，， 则，，， 则，即 9.过原点作圆的弦. （1）求弦中点的轨迹方程； （2）延长到，使，求点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，则点，因为点的坐标满足， 所以，即； （2）设点，则点，所以， 即，所以点的轨迹方程为. 10.已知，，动点满足. （1）求点的轨迹方程； （2）在直线上求一点，使过点能作轨迹的两条互相垂直的切线. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设点，由，得，即； （2）设点，设切线与圆相切于，两点，由题意可知四边形为正方形，且， 所以，解得，即 11.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离之比均为. （1）求曲线的方程； （2）设点，过点作两条相异直线分别于曲线相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补，求线段长的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）设曲线上的任意一点为，由题意得，整理可得； （2）由题意可知，直线，的斜率均存在，且互为相反数， 因为点，故可设直线的方程为， 由，消去得， 因为在圆上，所以一定是该方程的解， 所以，同理. 所以， 所以直线的斜率为定值，设直线的方程为， 则圆的圆心到直线的距离， 所以， 所以当时，. 12. 已知，，若动点满足直线与直线的斜率之积为，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，因为，所以， 又因为直线与直线的斜率之积为，所以， 整理得. 故选：C. 13. 在平面直角坐标系中，，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________. 【答案】 【解析】 设，由题意可得， 整理得，故动点的运动轨迹方程为， 如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部， 所以， 当且仅当在线段上时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：； 14. 在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程； 【答案】 【解析】 设，线段的中点， 因为为线段的中点，， ， ，即，得. 所以点的轨迹方程是． 15.如图，已知曲线的动弦垂直交轴于点，曲线与轴的交点，，试探求与交点的轨迹方程. 【答案】 【解析】 设直线与交于点. 设，，，， 则，， 两式相乘可得， 又在曲线上，即， 代入可得. 16.在直角坐标系中，曲线上任意一点均满足（为参数），点为曲线上一点，点满足，点的轨迹为曲线，求的方程. 【答案】 【解析】 由，即， 可得， 设点，，且， 又，即， 所以，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $