11.4 球（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，覆盖球的结构、表面积体积、切接问题等核心知识点，通过题型进阶培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|球的结构特征、截面、表面积体积等单一知识点|基础题型（判断、计算），对应核心概念理解，夯实基础| |B组|几何体与球的综合应用（如柱体、锥体外接球）|中档综合题，结合空间几何模型，培养推理能力| |C组|复杂情境下的球问题（如动态截面、多面体切接）|拔高题，需构建数学模型，发展创新意识| |拓展|高考真题|对接高考题型，强化应用意识，提升应试能力|

分层作业 11.4 球 参考答案 ( 题型0 1 )球的结构特征 1．【答案】C 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 2．【答案】A 【详解】解：根据球的定义知A正确； 因为球的直径必过球心，所以B错误； 因为球的任何截面都是圆面，所以C错误； 球常用表示球心的字母表示，故D错误. 故选：A. 3．【答案】①④ 【详解】由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径, 则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确. 故答案为：①④. ( 题型0 2 )球的截面问题 4．【答案】 【详解】地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬， 则城市哈尔滨所在圆的半径为，故北纬纬线圈的长度为. 故答案为：. 5．（11.4球）已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______． 【答案】 【详解】设正三角形 的中心为 , 如图所示,连接 , 是正三角形 的中心, 平面 球的半径 , 球心 到平面 的距离为 1 , 即 在  中, ,, . 过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小, 此时截面圆的半径为 , 截面面积 . 故答案为：. 6．【答案】D 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 7．【答案】A 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A ( 题型0 3 )求球面距离 8．【答案】B 【详解】如图示，是球面上的三点，设球心为，连结. 任意两点间的球面距离都等于，则，则均为正三角形，所以，所以为边长为的正三角形．依题意有，过三点的小圆周长为，则其半径为，由正弦定理可得，所以 故选：B 9．（13.2球面距离）地球的半径为，在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度相差． （1）甲、乙两地所在纬线的长为______． （2）甲、乙两地的球面距离是______． 【答案】 【详解】第一空：由题知： 北纬纬线圈半径为：，且、所对的圆心角， 所以两点所对的纬线劣弧长为． 第二空：甲乙两地球心角为， 所以、两点间的球面距离为． 故答案为：，. 10．【答案】 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 11．【答案】/ 【详解】如图，分别取的中点，连接，则， 底面，取的中点，连接， 因为，所以即为直三棱柱外接球的球心， 因为，，，所以， ，且， 所以外接球的半径为， 又，所以，即， 所以A、C两点间的球面距离为 ， 故答案为：． 12．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为上海地处东经至， 所以经线对应的两平面所成的二面角的大小为：. （2）因为上海在北纬至之间， 所以纬度差为， 两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为所对应的弧长， 所以， 故纬线所在两平面的距离为. ( 题型0 4 )球的表面积和体积 13．【答案】C 【详解】设两个球的半径分别为，则. 所以这两个球的表面积比为. 14．【答案】C 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以. 15．【答案】C 【详解】因为直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，所得曲面的面积为整个球表面积的， 所以半圆弧扫过区域的面积为， 故选：C 16．【答案】/ 【详解】设球的半径为，则，解得（舍去）， 所以这个球的体积. 故答案为： 17．【答案】 【详解】设球的半径为，如图所示，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故答案为：. ( 题型0 5 )内切球问题 18．【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 19．【答案】 【详解】如图，是正方体的对角面，圆是球与球的大圆， 设球与球的半径分别为，由题意可得，由及相似关系可得， ，故， 所以球的表面积为.    20．【答案】 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接， 则，可得，故， ，，， ，故， 则，解得， 由圆锥表面积公式得： ， ， ， 由球的表面积公式得， 圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，即， ， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得：， 整理得， 即， 化简得，解得， 设底面积为，侧面积为，则． 21．【答案】 【详解】如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面， 由题意知分别是边长为2和4的正三角形， 故，. 圆与相切于,其中分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 则，， 由切线长定理，易得，，则, 则在直角梯形中，为该梯形的高，即为内切球的直径， ， 则内切球的半径为，故内切球表面积为. ( 题型0 6 )长方体、墙角模型的外接球 22．【答案】A 【详解】设球的半径为，由题意可知球的直径与该正方体的体对角线长相等， 故，可得， 故球的表面积为. 23．【答案】C 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 24．【答案】B 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 25．【答案】 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同 而该长方体的体对角线即长方体的外接球的直径，依题，的长分别为7，5，8， 则这个四棱锥的外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. ( 题型0 7 )柱体的外接球 26．【答案】A 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 27．【答案】C 【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 故选：C. 28．【答案】 【详解】如图所示，设底面正的中心为，正三棱柱的外接球球心为， 由正弦定理可得底面的外接圆半径， 由正三棱柱性质可知，则外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 29．【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为： 30．【答案】 【详解】正三角形的外接圆半径为， 四面体的高， 所以圆柱的外接球的半径， 即该球的表面积， 故答案为： 1．【答案】C 【详解】如图所示，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面. 设正四棱锥外接球的球心为，在上，高， 连接，则. ，设，则，. 则在中，， 即，得. 在中，， 即，解得. 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，在上， 高，取中点，连接. ，设，则，. 则. 在中，，即. 设内切球与平面相切于点，与平面相切于点， 则，，. ，即，解得. . 2．【答案】B 【详解】设球的半径为，由球的表面积公式， 解得，即，设圆台的上底面半径为， 依题意，下底面半径为，圆台的高， 则母线长， 又因为球与圆台的两个底面及侧面都相切， 所以母线长，即得，解得， 则圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长, 故圆台侧面积为：. 3．【答案】C 【详解】如图所示：设三棱锥外接球的球心为，半径为， 设的中点分别为，连接，由正方体的性质可知：平面， 根据正方体和球的对称性可知：球心在线段上，设， 设，则， 由余弦定理，得， 在直角中，由勾股定理，得， 同理在直角中，由勾股定理，得， 所以可得：， 所以， 显然当时，有最小值， 所以三棱锥外接球的表面积的最小值为. 4．【答案】/ 【详解】由题意，如图所示，取中点，连接，， 因为与都是边长为的等边三角形，所以，， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 设与的外接圆圆心分别为，， 则，， 同理，， 分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点， 由对称性，，则， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积为，    5．【答案】 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 即该正四棱台的高为， 设外接球球心P到下底面中心O的距离为x，则P到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为R，则． 展开并化简：（负值舍去）， 则， 所以外接球表面积：. 6．【答案】 【详解】将该多面体放入正方体中，如图所示. 由于多面体的棱长为4，所以正方体的棱长为， 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得， 所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点， 其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以， 所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积 7．【答案】 【详解】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. 8．（第11讲立体直观图由点及线面）如图，用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将半径为2cm的球放在这个框架上，若是球上任意一点，则四面体体积的最大值为______． 【答案】． 【详解】解析  因为正三角形边长为6， 设的内切圆的圆心为，半径为，根据三角形内切圆的性质， 所以，所以， 再设球心为点，则，所以点到底面的高的最大值为， 所以四面体体积的最大值为． 故答案为：. 1．【答案】B 【详解】如图，在中，于点， 则，即，所以. 又， 所以以为半径的圆的面积为. 故选：B 2．【答案】 【详解】小球在正方体8个顶角不能到达的空间，相当于8个棱长为1的小正方体整体， 挖去1个完整半径为1的球体剩余部分，即顶角区域不可达体积为， 在球在12条棱上活动不到的空间内，每条棱扣除两端各1长度，剩余棱段长为， 12条棱夹缝整体可等效为3个底面半径1，高为1的圆柱外围正四棱柱空间， 整体挖去3个完整圆柱，所以棱边区域总不可达体积为， 故小球达不到的空间体积为. 3．【答案】 【详解】    设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接， 如图，因为是直角三角形，， 所以是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径， 所以. 因为，，， 所以， 得， 所以，故. 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，且. 在中，，所以，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为：， 故三棱锥外接球的表面积为. 1．【答案】 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 2．【答案】 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 3．【答案】 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 4．【答案】2 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 5．【答案】12 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 11.4 球 目 录 A组 巩固过关 题型01球的结构特征 题型02球的截面问题 题型03求球面距离 题型04球的表面积和体积 题型05内切球问题 题型06长方体、墙角模型的外接球 题型07柱体的外接球 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )球的结构特征 1．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是_________. ( 题型0 2 )球的截面问题 4．已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为_____. 6．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )求球面距离 8． 已知半径为的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则（    ） A． B． C． D． 10．如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    11．已知直三棱柱中的每一个顶点都在同一个球面上，如果,，，那么、两点间的球面距离是______________ 12．已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． ( 题型0 4 )球的表面积和体积 13．已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 14．已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 16．若一个球的表面积是，则这个球的体积是______． 17．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． ( 题型0 5 )内切球问题 18．已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 19．正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________. 20．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 21．若上、下底边长分别为2和4的正三棱台有内切球（与三棱台的每个面都相切），则内切球的表面积为_______． ( 题型0 6 )长方体、墙角模型的外接球 22．已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 23．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 24．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 25．“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. ( 题型0 7 )柱体的外接球 26．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 27．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 28．正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 29．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    30．已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积为_____. 1．在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A．12π B．11π C． D． 4．在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 5．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 6．“阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________． 7．已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 1．球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 2．一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球达不到的空间的体积是_____________． 3．已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 2．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 11.4 球 目 录 A组 巩固过关 题型01球的结构特征 题型02球的截面问题 题型03求球面距离 题型04球的表面积和体积 题型05内切球问题 题型06长方体、墙角模型的外接球 题型07柱体的外接球 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )球的结构特征 1．给出下列命题，其中真命题的个数是（    ） ①球面上四个不同的点一定不在同一平面上； ②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面； ③一个平面截球，截面是一个圆． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】对于①：作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四个点就在同一平面上，故①错误； 对于②：根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故②正确； 对于③：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故③正确. 故选：C 2．下列说法中正确的是（    ） A．球的半径可以是球面上任意一点与球心所连的线段 B．球的直径可以是球面上任意两点所连的线段 C．用一个平面截球，得到的截面可以是正方形 D．球不可以用表示球心的字母表示 【答案】A 【详解】解：根据球的定义知A正确； 因为球的直径必过球心，所以B错误； 因为球的任何截面都是圆面，所以C错误； 球常用表示球心的字母表示，故D错误. 故选：A. 3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是_________. 【答案】①④ 【详解】由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径, 则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确. 故答案为：①④. ( 题型0 2 )球的截面问题 4．已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度（用表示）为_____. 【答案】 【详解】地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬， 则城市哈尔滨所在圆的半径为，故北纬纬线圈的长度为. 故答案为：. 5．（11.4球）已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是______． 【答案】 【详解】设正三角形 的中心为 , 如图所示,连接 , 是正三角形 的中心, 平面 球的半径 , 球心 到平面 的距离为 1 , 即 在  中, ,, . 过点 作球 的截面，当截面与 垂直时，截面圆的半径最小,即截面圆的面积最小, 此时截面圆的半径为 , 截面面积 . 故答案为：. 6．若球被一个平面截得的截面圆的面积为，且球心到该平面的距离为，设为球的球面上的动点，为截面圆圆周上的动点，则，两点间距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得， 所以， 故，两点间距离的最大值为. 7．已知，底面半径的圆锥内接于球，则经过和中点的平面截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图， 设球的半径为，线段的中点为，因为， 所以，解得， 设经过和中点的平面截球所得截面圆的圆心为，半径为，球心到截面的距离， 则，要截面面积最小，则要最小，即要最大， 因为当为点到的距离时最大，此时，又， 所以， 所以， 故截面面积的最小值为． 故答案为：． 故选：A ( 题型0 3 )求球面距离 8． 已知半径为的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图示，是球面上的三点，设球心为，连结. 任意两点间的球面距离都等于，则，则均为正三角形，所以，所以为边长为的正三角形．依题意有，过三点的小圆周长为，则其半径为，由正弦定理可得，所以 故选：B 9．（13.2球面距离）地球的半径为，在北纬圈上有甲、乙两地，它们的经度相差． （1）甲、乙两地所在纬线的长为______． （2）甲、乙两地的球面距离是______． 【答案】 【详解】第一空：由题知： 北纬纬线圈半径为：，且、所对的圆心角， 所以两点所对的纬线劣弧长为． 第二空：甲乙两地球心角为， 所以、两点间的球面距离为． 故答案为：，. 10．如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为________．    【答案】 【详解】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 11．已知直三棱柱中的每一个顶点都在同一个球面上，如果,，，那么、两点间的球面距离是______________ 【答案】/ 【详解】如图，分别取的中点，连接，则， 底面，取的中点，连接， 因为，所以即为直三棱柱外接球的球心， 因为，，，所以， ，且， 所以外接球的半径为， 又，所以，即， 所以A、C两点间的球面距离为 ， 故答案为：． 12．已知上海地处东经至，北纬至之间，地球半径为6371.004km．求上海所辖区域： (1)经线对应的两平面所成的二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为上海地处东经至， 所以经线对应的两平面所成的二面角的大小为：. （2）因为上海在北纬至之间， 所以纬度差为， 两纬线所在两平面的距离为以地球为半径的圆，角度为所对应的弧长， 所以， 故纬线所在两平面的距离为. ( 题型0 4 )球的表面积和体积 13．已知两个球半径之比为1∶2，则表面积之比为（    ） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5 【答案】C 【详解】设两个球的半径分别为，则. 所以这两个球的表面积比为. 14．已知半径为的球的体积与表面积相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为半径为的球的体积与表面积相等， 所以. 15．将直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，半圆弧扫过区域的面积为（   ） A．12 B．9 C．3 D． 【答案】C 【详解】因为直径为3的半圆绕直径所在的直线旋转，所得曲面的面积为整个球表面积的， 所以半圆弧扫过区域的面积为， 故选：C 16．若一个球的表面积是，则这个球的体积是______． 【答案】/ 【详解】设球的半径为，则，解得（舍去）， 所以这个球的体积. 故答案为： 17．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为cm，深为cm的空穴，则这个球的表面积为___________． 【答案】 【详解】设球的半径为，如图所示，， 所以，解得， 所以球的表面积为， 故答案为：. ( 题型0 5 )内切球问题 18．已知正四面体的顶点均在球O的表面上，其内切球为球M，则球O与球M的表面积之比为（   ） A．3 B．9 C．3π D．9π 【答案】B 【详解】设正四面体的棱长为1，过A作平面的垂线，垂足为F，则F为的中心， 连接并延长交于E，则，，O在上， 因为，所以，所以， 设球O的半径为R，则，即，解得. 设四面体内切球的半径为，则，所以， 所以球O与球M的表面积之比为. 故选：B. 19．正方体的棱长为2，其内切球为球，若球与球及正方体的三个面均相切，则球的表面积为__________. 【答案】 【详解】如图，是正方体的对角面，圆是球与球的大圆， 设球与球的半径分别为，由题意可得，由及相似关系可得， ，故， 所以球的表面积为.    20．已知圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，则底面面积和圆锥侧面积之比为_____． 【答案】 【详解】如图，设母线长为，底面半径为，母线与底面所成角为，内切球半径，连接， 则，可得，故， ，，， ，故， 则，解得， 由圆锥表面积公式得： ， ， ， 由球的表面积公式得， 圆锥的全面积是它的内切球表面积的2倍，即， ， 由同角三角函数的基本关系结合二倍角公式可得：， 整理得， 即， 化简得，解得， 设底面积为，侧面积为，则． 21．若上、下底边长分别为2和4的正三棱台有内切球（与三棱台的每个面都相切），则内切球的表面积为_______． 【答案】 【详解】如图，上底面边上的中线为，下底面边上的中线为. 根据内切球的性质可知，球与三个平面的切点分别在、、上. 考察截面， 由题意知分别是边长为2和4的正三角形， 故，. 圆与相切于,其中分别为棱台上下底面的中心，为斜高， 则，， 由切线长定理，易得，，则, 则在直角梯形中，为该梯形的高，即为内切球的直径， ， 则内切球的半径为，故内切球表面积为. ( 题型0 6 )长方体、墙角模型的外接球 22．已知棱长为的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，由题意可知球的直径与该正方体的体对角线长相等， 故，可得， 故球的表面积为. 23．在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 24．在三棱锥中，两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将三棱锥补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球， 设球半径为，则， 所以，所以球的表面积为. 故选：B． 25．“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 【答案】 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同 而该长方体的体对角线即长方体的外接球的直径，依题，的长分别为7，5，8， 则这个四棱锥的外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. ( 题型0 7 )柱体的外接球 26．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为2，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，是圆锥的锥顶，是圆柱上底面的圆心，是圆柱下底面的圆心，是圆球的圆心，是圆柱上底面和圆球的交点，， 设圆锥和圆柱的高为，则，， 因为，所以， 所以，所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：A. 27．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点， 则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径， 所以， 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 故选：C. 28．正三棱柱底面边长为2，高为3，其外接球的表面积为_______. 【答案】 【详解】如图所示，设底面正的中心为，正三棱柱的外接球球心为， 由正弦定理可得底面的外接圆半径， 由正三棱柱性质可知，则外接球半径， 所以所求外接球的表面积为. 29．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点，直三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则四面体的体积为_____    【答案】 【详解】因为在直三棱柱中，，，， 所以，即为直角三角形，斜边分别为， 取的中点，连接，取的中点， 则为直三棱柱外接球球心， 因为直三棱柱外接球的表面积为， 所以直三棱柱外接球的半径为 所以， 所以， 所以四面体的体积为 故答案为： 30．已知四面体的各个面都是边长为2的正三角形，其三个顶点在圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的外接球的表面积为_____. 【答案】 【详解】正三角形的外接圆半径为， 四面体的高， 所以圆柱的外接球的半径， 即该球的表面积， 故答案为： 1．在正四棱锥中，，则该棱锥的外接球与内切球半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，则平面. 设正四棱锥外接球的球心为，在上，高， 连接，则. ，设，则，. 则在中，， 即，得. 在中，， 即，解得. 如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，在上， 高，取中点，连接. ，设，则，. 则. 在中，，即. 设内切球与平面相切于点，与平面相切于点， 则，，. ，即，解得. . 2．如图，已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，由球的表面积公式， 解得，即，设圆台的上底面半径为， 依题意，下底面半径为，圆台的高， 则母线长， 又因为球与圆台的两个底面及侧面都相切， 所以母线长，即得，解得， 则圆台的上下底面半径分别为1和3，母线长, 故圆台侧面积为：. 3．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是棱C1D1上的一点，则三棱锥外接球的表面积的最小值为（　　） A．12π B．11π C． D． 【答案】C 【详解】如图所示：设三棱锥外接球的球心为，半径为， 设的中点分别为，连接，由正方体的性质可知：平面， 根据正方体和球的对称性可知：球心在线段上，设， 设，则， 由余弦定理，得， 在直角中，由勾股定理，得， 同理在直角中，由勾股定理，得， 所以可得：， 所以， 显然当时，有最小值， 所以三棱锥外接球的表面积的最小值为. 4．在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】/ 【详解】由题意，如图所示，取中点，连接，， 因为与都是边长为的等边三角形，所以，， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 设与的外接圆圆心分别为，， 则，， 同理，， 分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点， 由对称性，，则， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积为，    5．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的高是______，其外接球表面积为______ 【答案】 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 即该正四棱台的高为， 设外接球球心P到下底面中心O的距离为x，则P到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为R，则． 展开并化简：（负值舍去）， 则， 所以外接球表面积：. 6．“阿基米德多面体”又称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示的多面体，是以正方体各棱的中点为顶点构成的阿基米德多面体，该多面体有八个面为正三角形，六个面为正方形、若此多面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为__________． 【答案】 【详解】将该多面体放入正方体中，如图所示. 由于多面体的棱长为4，所以正方体的棱长为， 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得， 所以该多面体外接球的球心为正方体对角线的中点， 其外接球直径等于正方体的面对角线长，即，所以， 所以经过该多面体的各个顶点的球的表面积 7．已知正四棱锥的侧棱和底边长相等，且，球与四棱锥的所有棱均相切，则球的表面积为______． 【答案】 【详解】如图： 设正四棱锥底面中心为， 因为正四棱锥的侧棱和底边长相等，且， 则点到棱的距离为. 又，所以为等腰直角三角形，所以也是等腰直角三角形， 所以点到侧棱的距离. 所以点就是与四棱锥的所有棱均相切的球的球心，且半径为， 所以球的表面积为：. 8．（第11讲立体直观图由点及线面）如图，用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将半径为2cm的球放在这个框架上，若是球上任意一点，则四面体体积的最大值为______． 【答案】． 【详解】解析  因为正三角形边长为6， 设的内切圆的圆心为，半径为，根据三角形内切圆的性质， 所以，所以， 再设球心为点，则，所以点到底面的高的最大值为， 所以四面体体积的最大值为． 故答案为：. 1．球的半径是，距球心处有一光源，光源能照到的地方用平面截去，则截面的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，在中，于点， 则，即，所以. 又， 所以以为半径的圆的面积为. 故选：B 2．一棱长为3的正方体封闭盒子中放有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球达不到的空间的体积是_____________． 【答案】 【详解】小球在正方体8个顶角不能到达的空间，相当于8个棱长为1的小正方体整体， 挖去1个完整半径为1的球体剩余部分，即顶角区域不可达体积为， 在球在12条棱上活动不到的空间内，每条棱扣除两端各1长度，剩余棱段长为， 12条棱夹缝整体可等效为3个底面半径1，高为1的圆柱外围正四棱柱空间， 整体挖去3个完整圆柱，所以棱边区域总不可达体积为， 故小球达不到的空间体积为. 3．已知三棱锥中，是直角三角形，为的中点，，则三棱锥外接球的表面积为_____． 【答案】 【详解】    设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接， 如图，因为是直角三角形，， 所以是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径， 所以. 因为，，， 所以， 得， 所以，故. 因为，为的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在直线上，且. 在中，，所以，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为：， 故三棱锥外接球的表面积为. 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 2．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是________． 【答案】 【详解】设球的半径为. 当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点， 正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；    分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点， 连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为. 综上，. 故答案为： 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则________． 【答案】2 【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱， 设的外接圆圆心为，半径为， 则，可得， 设三棱锥的外接球球心为，连接，则， 因为，即，解得. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 （1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； （2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解； （3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长； （4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； （5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点． 【答案】12 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $