11.4.2 球的体积-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【解析版】 11.4.2 球的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 1、若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3. 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】288π； 【解析】由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)； 【考点】本题考查仔细阅读“直径”与“半径”之别； 2、把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 （cm） A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 【答案】12； 【解析】由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12； 【说明】本题考查了体积的定义与初步应用； 3、一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 【提示】注意决定正方体与球的几何要素； 【答案】 ； 【解析】由6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝； 【说明】本题说明了正方体、球的侧面积、表面积、体积间的关联； 4、将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 【提示】理解“正方体削成一个体积最大的球”的等价转化； 【答案】； 【解析】根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1， 所以V＝πr3＝π； 【说明】通过阅读理解，用好与等价转化几何条件是解答本题的关键； 5、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3 【提示】注意用好圆柱与球的体积公式； 【答案】B； 【解析】设球的半径为R，则＝＝，故选B； 【说明】本题主要考查了圆柱与球的体积公式； 6、如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】C； 【解析】半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，∴π×(3x)3÷＝3； 【说明】本题主要考查了球的体积公式； 7、火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】8； 【解析】设火星半径为r，则地球半径为2r，＝＝8； 8、一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是 cm3 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】； 【解析】如图, 根据题意，|OO1|=4 cm，|O1A|=3 cm， 所有∴|OA|=R=5(cm)，故球的体积V (cm3).； 9、平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】4π； 【解析】如图，设截面圆的圆心为O′， M为截面圆上任一点， 则OO′＝，O′M＝1. 所以OM＝＝. 即球的半径为. 所以V＝π()3＝4π. 10、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm， 如果不计容器厚度，则球的体积为 cm3 【提示】注意用好球的体积公式； 【答案】π； 【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)， BM＝AB＝×8＝4(cm)． 设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42， 所以R＝5，所以V球＝π×53＝π (cm3)． 【考点】球的截面问题的解题技巧 （1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面 中圆的问题； （2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成 的直角三角形，即R2＝d2＋r2.　 11、圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径 与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)， 则球的半径是________cm. 【提示】注意阅读理解转化； 【答案】4； 【解析】设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r， 则有πr2·6r＝8πr2＋3×πr3，即2r＝8，∴r＝4； 12、如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积；(其中∠BAC＝30°)； 【提示】注意分解与等价； 【解析】过C作CO1⊥AB于O1， 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R. AO1＝AC·sin 60°＝R， BO1＝AB－AO1＝，∴V球＝πR3. V圆锥AO1＝·π·2·R＝πR3， V圆锥BO1＝·π·2·R＝πR3， V几何体＝V球－V圆锥AO1－V圆锥BO1 ＝πR3－πR3－πR3＝πR3. 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【原卷版】 11.4.2 球的体积 班级 姓名 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系；与全国其他一些版本的教材不同； 【本章教材目录】 11.1 柱体 11.1.1 棱柱与圆柱；11.1.2 柱体的体积；11.1.3 柱体的表面积； 11.2 锥体 11.2.1 棱锥与圆锥；11.2.2 锥体的体积；11.2.3 锥体的表面积； 11.3 多面体与旋转体 11.3.1 多面体；11.3.2 旋转体； 11.4 球 11.4.1 球；11.4.2 球的体积；11.4.3 球的表面积 考点一 球的体积公式 设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 1、若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3. 2、把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为 （cm） A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm 3、一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是 4、将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为 5、圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为( ) A．1∶2 B．2∶3 C．3∶4 D．1∶3 6、如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的（ ） A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 7、火星的半径约是地球半径的一半，则地球的体积是火星体积的________倍 8、一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是 cm3 9、平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 10、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm， 如果不计容器厚度，则球的体积为 cm3 11、圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径 与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)， 则球的半径是________cm. 12、如图，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴， 旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积；(其中∠BAC＝30°)； 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$