11.2 锥体（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C组及高考链接的四级设计，实现锥体知识从概念辨析到高考应用的完整巩固路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|锥体结构特征、展开图、体积与表面积基础计算|以选择填空为主，如棱锥结构特征判断、圆锥展开图最短距离，强化概念理解与基本运算| |B组能力进阶|复杂截面、体积分割、空间距离综合问题|结合几何直观，如正三棱锥截面周长最小值，提升推理与空间想象能力| |C组思维拔高|动态几何体、体积最值、跨情境应用|设置正四面体液体高度等开放题，发展创新意识与问题解决能力| |拓展链接高考|高考真题再现|直接选用棱台体积、圆锥侧面积等高考题，衔接升学要求，培养应用意识|

分层作业 11.2 锥体 目 录 A组 巩固过关 题型01棱锥的结构特征 题型02圆锥的结构特征 题型03棱锥的展开图 题型04棱锥的截面问题 题型05圆锥的展开图及最短距离问题 题型06锥体的体积 题型07棱锥的侧面积和表面积问题 題型08圆锥的侧面积和表面积问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )棱锥的结构特征 1．下列说法正确的是________． ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台． 【答案】③ 【详解】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体，因此棱台的各侧棱延长线交于一点，③正确； 棱台的各条侧棱交于一点，若梯形的腰不相交于同一点，该几何体并非棱台，故④错误． 2．已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 【答案】B 【详解】有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 故根据棱锥的定义可知该几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥． 故选：B. 3．观察如图所示的四个几何体，其中判断错误的是（   ） A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 【答案】B 【详解】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误． 故选：B． 4．已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则______.（用含的式子表示） 【答案】 【详解】设该棱锥为棱锥，则，， 则，即， 故答案为：. ( 题型0 2 )圆锥的结构特征 5．下列几何体表示圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱. 故选：C. 6．正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 【答案】C 【详解】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选:C. 7．下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 【答案】D 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 8．在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】B 【详解】由题意知，为等腰三角形，，D为BC的中点，所以，所以满足：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，该几何体为圆锥. 故选：B. ( 题型0 3 )棱锥的展开图 9．画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 【答案】 图①沿着棱，，展开，得平面展开图如图所示． 图②沿着棱展开，得平面展开图如图所示． 【详解】略 10．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 11．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 12．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. ( 题型0 4 )棱锥的截面问题 13．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 14．如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作,    分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，故四边形为平行四边形， 即截面是平行四边形，②错误； 设M为的中点，连接， 则，平面， 故平面，平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为,即截面的面积为，③正确； 由于截面与侧面的交线为，且, 平面,平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，④正确， 故选：C 15．如图，一个盛满水的可以转动的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______. 【答案】 【详解】如图，因，则，又因为， 得与相似，所以， 设点到平面的距离分别为，则. 要使容器盛水最多，水面只能与平面平行， 所以所装水体积就是几何体的体积. 所以， 得 故答案为：. 16．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 【答案】 【详解】取的中点，连接，，则在上且， 过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、）， 取、的三等分、（靠近、），连接、、， 则且，且， 且，且， 所以且，且， 所以四边形即为所求截面， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，所以四边形为矩形， 所以截面面积为. 故答案为： 17．如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为______. 【答案】 【详解】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、， 因为为的中点，所以且，又， 所以，，所以、、、四点共面，即为截面， 又，其中， ， 所以， 即截面截得四棱锥上部分的体积为，则下部分的体积为， 所以平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为. 故答案为： ( 题型0 5 )圆锥的展开图及最短距离问题 18．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为，母线长为，则， 由圆锥的侧面展开图为半圆得：，解得， 所以圆锥的高与底面半径的比值为：． 19．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 20．已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________． 【答案】16 【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 21．一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．点A，B在底面圆周上，且底面圆中的弦长，则沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为__________． 【答案】4 【详解】如图，， 三角形中，，∴，所以， ∵底面周长为， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，得， 所以弧是展开图弧长的，所以展开图中对应的是边长为4的等边三角形， 所以沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为； 22．如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. ( 题型0 6 )锥体的体积 23．已知某圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图，，，， 所以． 24．已知三棱锥中，，，，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作平面，垂足为. 因为，故，即为的外心. 在中，由余弦定理得 ， 又，故， 则. 设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以. 在中，. 所以三棱锥的体积为. 25．已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由平行六面体的体积为8，得， 设到平面的距离为，由，得， 而的面积为，解得， 所以到平面的距离为. 26．图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体，其体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】6 个全等正三角形拼接成的六面体，可看作两个底面重合的正四面体上下拼接而成，棱长 (), 六面体的每条棱都是 6(),，中间截面为等边三角形， 设上面的正四面体的顶点为P，P在底面的正投影是O，则O是底面等边三角形的中心， 所以 (), 所以上面的正四面体的高 (), 所以上面的正四面体的体积 () 所以六面体的体积为() 27．已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】分别是的中点，因此，相似比为， 面积比为相似比的平方，即. 由得，和都在直线上， 因此两点到平面的高之比等于. 三棱锥即，原三棱锥即， 体积比为. 已知，因此. 28．已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，则，则， 圆锥的母线长为，则圆锥的高为， 所以该圆锥的体积. ( 题型0 7 )棱锥的侧面积和表面积问题 29．若正方体的棱长为1，则三棱锥的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以,即三棱锥的每一个面都是等边三角形且边长为， 所以三棱锥的表面积. 30．如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【详解】由题意正四棱锥的高，， 所以正四棱锥的斜高， 所以 所以这座金字塔的侧面积，故①正确； 所以这座金字塔的体积，故②正确. 31．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面. 由正八面体的性质可知，，则，， 所以体积，表面积， 所以. 故选：A.    32．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 33．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 【答案】 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 34．一个正六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，求该六棱锥的侧面积. 【答案】 【详解】如图，在正六棱锥中，是底面中心，则平面， 连接，取中点，连接. 根据正六边形性质，是等边三角形， 且底面积， 根据棱锥体积公式，，则， 又，在中，， 于是， 故棱锥的侧面积是. ( 题型0 8 )圆锥的侧面积和表面积问题 35．为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此， 圆锥的高底面，故是直角三角形， 由勾股定理得母线长， . 36．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线， 则圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 由，得，解得， 所以圆锥的体积． 37．底面半径为2的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设母线为. 圆锥侧面积，圆锥底面积 所以圆锥表面积. 38．在中，已知，，，以的一边所在的直线为轴，其它两边旋转一周形成圆锥，则该圆锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，由勾股定理可得： ， 以所在直线为轴旋转所得圆锥的底面半径，母线长， 圆锥表面积为底面积与侧面积之和： 底面积 ，侧面积 ， 因此总表面积. 39．已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形：圆锥底面圆的直径与轴截面的底边等长， 因此底面半径，底面圆周长； 圆锥的母线长与轴截面的边长等长，即. 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形面积公式为， 代入数值计算得侧面积. 40．若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设底面圆的半径为r，则母线长为2r，得侧面积是， 所以圆锥的表面积为， 轴截面是一个正三角形，边长为2r， 则其面积为， 所以面积之比是. 41．如图所示，圆锥倒放在一个平面上，是直径，，将圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置，则圆锥的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意知，底面直径，则，解得， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为，弧长为底面周长， 圆锥绕顶点在平面上滚动，每滚动一圈（即底面转动一周）， 圆锥绕轴转过的角度对应的弧长等于底面周长， 由圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置， 则说明圆锥绕顶点转动圈底面周长的距离后，刚好在平面上转满一周， 即倍的底面周长等于以母线为半径的圆周长， 所以有， 所以圆锥的侧面积为. 1．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近点的三等分点，且，则三棱锥的体积为________． 【答案】/ 【详解】由题意得，， 设点是的外心，连接，则平面， 因为平面，所以， 设， 则在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，所以， 即，得， 则在中利用余弦定理得，则， 则在中利用正弦定理得，得， 则在中， 则.    2．在三棱锥中，已知，，，且，，，则以为底面时，三棱锥的高为_____． 【答案】/ 【详解】如下图所示： 在三棱锥中，已知，，，，，， 由勾股定理可得，解得， 因为，、平面，所以平面， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得， 所以以为底面时，三棱锥的高为. 3．在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 【答案】 【详解】因为， 可知，均为等边三角形，其面积均为， 取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面，则， 由题意可知：，则，可知与全等， 在中，边上的高， 则的面积为， 所以四面体的表面积为. 4．已知圆锥顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线且，，则三棱锥体积的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，圆锥的高，底面半径， 根据勾股定理得母线长，. 已知，因此直角的面积为： ， . 所以底面圆内弦的长度为，恰好等于底面圆的直径，因此为底面圆的直径. 又因为三棱锥的体积等价于以为顶点、为底面的三棱锥的体积， 即，其中是点到平面的距离. 因为为底面圆的直径，所以平面为圆锥的轴截面，所以平面平面， 点在圆锥底面上运动，所以点到轴截面的距离等于点到直线的距离， 点在圆锥底面上运动，为底面圆的直径，所以点到的距离最大值就是，即. 所以，因此三棱锥体积的最大值为. 5．已知是边长为2的等边三角形，点P是平面外的一点，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是____． 【答案】 【详解】 是边长为2的等边三角形，， 取的中点，连接， 因为，且是的中点，所以， 因为是等边三角形，且是的中点， 所以，，， 又平面，且，所以平面， 因为平面， 所以平面平面，且平面平面， 过作于， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成角就是， 在中，，， 由， 得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以． 1．一个棱长为12的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为9，9，8．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ） （参考数据：，） A．0.63 B．1.42 C．2.74 D．3.68 【答案】B 【详解】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为， 由题意可得， 如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 2．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，过的平面分别交，于，.若平面将三棱锥分成体积相等的两部分，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 设，则，， 连接，则， 不妨设 因为平面，平面，所以，， 又因为，，所以平面， 则点到平面的距离， ，， ， 所以， ， 点到平面的距离， 所以， 所以， ，， 由题意知， 即，解得或（舍去）， 即，又，所以.    3．四面体 的体积为 ，则下列说法错误的有（    ） A．若该四面体有 1 条棱的长为 6，其余 5 条棱的长为 4，则 B．若该四面体有 5 条棱的长为 2，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【详解】 对于B选项，如图1，， 取的中点，连接， 则，且， 所以为二面角的平面角， 当时，，B正确； 对于C选项，如图2，在中，，， 所以的高，则的面积为， 故当平面时，，C正确； 对于D选项，如图3，当，平面时，，D错误； 对于A选项，如图4，， 分别取的中点，连接， 则，且，， 平面，所以平面， 在中，，， 所以，A正确. 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 4．（2026·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________． 【答案】 【详解】 法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，. 在中，， 故底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 在中，由余弦定理得， 且，故. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得， 且，故，. 所以底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【答案】(1) (2) 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    【分析】 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 11.2 锥体 目 录 A组 巩固过关 题型01棱锥的结构特征 题型02圆锥的结构特征 题型03棱锥的展开图 题型04棱锥的截面问题 题型05圆锥的展开图及最短距离问题 题型06锥体的体积 题型07棱锥的侧面积和表面积问题 題型08圆锥的侧面积和表面积问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )棱锥的结构特征 1．下列说法正确的是________． ①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④有两个面互相平行，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台． 2．已知由五个面围成多面体，有且只有四个面是三角形，则这个几何体为（   ） A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥 3．观察如图所示的四个几何体，其中判断错误的是（   ） A．①是棱柱 B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 4．已知某棱锥的顶点个数为，棱的条数为，则______.（用含的式子表示） ( 题型0 2 )圆锥的结构特征 5．下列几何体表示圆锥的是（    ） A． B． C． D． 6．正方形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为 （    ） A．由两个圆台组成 B．由一个圆锥和一个圆台组成 C．由两个圆锥组成 D．由两个棱台组成 7．下列说法正确的是（    ）． A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高 8．在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为（    ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 ( 题型0 3 )棱锥的展开图 9．画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）． 10．已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 11．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 12．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )棱锥的截面问题 13．在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 14．如图所示，棱长为1的正四面体形状的木块，点是的中心，过点将木块锯开，并使得截面平行于和，则下列关于截面的说法正确的个数为（    ） ①截面是矩形；②截面不是平行四边形；③截面的面积为；④截面与侧面的交线平行于侧面.    A．1 B．2 C．3 D．4 15．如图，一个盛满水的可以转动的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______. 16．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 17．如图，已知四棱锥的底面为矩形，为的中点，平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为______. ( 题型0 5 )圆锥的展开图及最短距离问题 18．已知圆锥的侧面展开图为半圆，则圆锥的高与底面半径的比值为（   ） A． B． C．2 D．1 19．已知圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿着圆锥的表面爬到点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．4 C． D．6 20．已知圆锥底面半径为6，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________． 21．一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．点A，B在底面圆周上，且底面圆中的弦长，则沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为__________． 22．如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )锥体的体积 23．已知某圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的体积为（     ） A． B． C． D． 24．已知三棱锥中，，，，则它的体积为（   ） A． B． C． D． 25．已知平行六面体的体积为8，的面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 26．图中组合体是由6个边长为的全等正三角形拼接而成的六面体，其体积为（ ） A． B． C． D． 27．已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为___________. ( 题型0 7 )棱锥的侧面积和表面积问题 29．若正方体的棱长为1，则三棱锥的表面积是（     ） A． B． C． D． 30．如图，埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．已知该金字塔高约为146.5m，底面边长约为232m，设这座金字塔的侧面积为，体积为，给出如下算式：①；②．则（   ） A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 31．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（   ）    A． B． C． D． 32．如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 33．如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分；多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为1，且侧棱长为，则棱锥侧面积为______. 34．一个正六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，求该六棱锥的侧面积. ( 题型0 8 )圆锥的侧面积和表面积问题 35．为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 36．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 37．底面半径为2的圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则它的表面积为（   ） A． B． C． D． 38．在中，已知，，，以的一边所在的直线为轴，其它两边旋转一周形成圆锥，则该圆锥的表面积为（     ） A． B． C． D． 39．已知某圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 40．若一个圆锥的轴截面是一个等边三角形，则该圆锥的表面积与轴截面面积之比是（   ） A． B． C． D． 41．如图所示，圆锥倒放在一个平面上，是直径，，将圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置，则圆锥的侧面积为（     ）    A． B． C． D． 1．在正三棱锥中，，为的中点，为上靠近点的三等分点，且，则三棱锥的体积为________． 2．在三棱锥中，已知，，，且，，，则以为底面时，三棱锥的高为_____． 3．在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______. 4．已知圆锥顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线且，，则三棱锥体积的最大值是（     ） A． B． C． D． 5．已知是边长为2的等边三角形，点P是平面外的一点，，直线与平面所成的角为，则三棱锥体积的最大值是____． 1．一个棱长为12的正四面体状封闭玻璃容器（壁厚忽略不计）内装有少量液体．如图，当容器倾斜至某一位置时，液面与过同一顶点的三条棱相交，交点到该顶点的距离分别为9，9，8．若将该容器放在一个水平桌面上，底面贴合桌面，则液面距离桌面的高度大约为（     ） （参考数据：，） A．0.63 B．1.42 C．2.74 D．3.68 2．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，过的平面分别交，于，.若平面将三棱锥分成体积相等的两部分，则（   ）    A．1 B．2 C． D． 3．四面体 的体积为 ，则下列说法错误的有（    ） A．若该四面体有 1 条棱的长为 6，其余 5 条棱的长为 4，则 B．若该四面体有 5 条棱的长为 2，则 C．若 ，则 D．若 ，则 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为的菱形，上、下底面的边长分别为2，3，该棱台的高为，则其体积为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的体积为，，，则与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2026·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，该三棱锥的底面积为________，体积为________． 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 11.2 锥体 参考答案 ( 题型0 1 )棱锥的结构特征 1．【答案】③ 【详解】棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②错误； 棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的几何体，因此棱台的各侧棱延长线交于一点，③正确； 棱台的各条侧棱交于一点，若梯形的腰不相交于同一点，该几何体并非棱台，故④错误． 2．【答案】B 【详解】有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥， 故根据棱锥的定义可知该几何体有四条侧棱，该几何体是四棱锥． 故选：B. 3．【答案】B 【详解】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误． 故选：B． 4．【答案】 【详解】设该棱锥为棱锥，则，， 则，即， 故答案为：. ( 题型0 2 )圆锥的结构特征 5．【答案】C 【详解】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱. 故选：C. 6．【答案】C 【详解】由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选:C. 7．【答案】D 【详解】对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的是两个圆锥的组合体，A错误； 对于B，当以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，B错误； 对于C，圆锥只有一个底面，C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，D正确. 故选：D 8．【答案】B 【详解】由题意知，为等腰三角形，，D为BC的中点，所以，所以满足：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，该几何体为圆锥. 故选：B. ( 题型0 3 )棱锥的展开图 9．【答案】 图①沿着棱，，展开，得平面展开图如图所示． 图②沿着棱展开，得平面展开图如图所示． 【详解】略 10．【答案】D 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 11．【答案】C 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 12．【答案】C 【详解】如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内． 由题意可知，， 设，则， 所以，所以． 由余弦定理可得， 则，即细绳的最短长度为． 故选：C. ( 题型0 4 )棱锥的截面问题 13．【答案】C 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 14．【答案】C 【详解】由题意可知，点是的中心，过点P作,    分别交于，作交于G，设平面与交于点H， 由于平面，平面，故平面， 同理平面，即四边形即为截面， 由于平面，平面平面，平面， 故，同理，故四边形为平行四边形， 即截面是平行四边形，②错误； 设M为的中点，连接， 则，平面， 故平面，平面， 故，而，，故， 即平行四边形为矩形，即截面是矩形，①正确； 因为点是的中心，则， 故， 故矩形的面积为,即截面的面积为，③正确； 由于截面与侧面的交线为，且, 平面,平面，故平面， 即截面与侧面的交线平行于侧面，④正确， 故选：C 15．【答案】 【详解】如图，因，则，又因为， 得与相似，所以， 设点到平面的距离分别为，则. 要使容器盛水最多，水面只能与平面平行， 所以所装水体积就是几何体的体积. 所以， 得 故答案为：. 16．【答案】 【详解】取的中点，连接，，则在上且， 过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、）， 取、的三等分、（靠近、），连接、、， 则且，且， 且，且， 所以且，且， 所以四边形即为所求截面， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以，所以四边形为矩形， 所以截面面积为. 故答案为： 17．【答案】 【详解】设四棱锥的体积为，取的中点，连接、、、， 因为为的中点，所以且，又， 所以，，所以、、、四点共面，即为截面， 又，其中， ， 所以， 即截面截得四棱锥上部分的体积为，则下部分的体积为， 所以平面截得四棱锥上、下两部分的体积比为. 故答案为： ( 题型0 5 )圆锥的展开图及最短距离问题 18．【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为，母线长为，则， 由圆锥的侧面展开图为半圆得：，解得， 所以圆锥的高与底面半径的比值为：． 19．【答案】C 【详解】由题意可知圆锥的底面半径，母线， 侧面展开所得扇形的圆心角，则， 因为是的中点，所以， 则这只蚂蚁爬行的最短距离， 故选：C． 20．【答案】16 【详解】设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长， 则，解得. 21．【答案】4 【详解】如图，， 三角形中，，∴，所以， ∵底面周长为， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，得， 所以弧是展开图弧长的，所以展开图中对应的是边长为4的等边三角形， 所以沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为； 22．【答案】C 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. ( 题型0 6 )锥体的体积 23．【答案】D 【详解】 如图，，，， 所以． 24．【答案】C 【详解】过点作平面，垂足为. 因为，故，即为的外心. 在中，由余弦定理得 ， 又，故， 则. 设的外接圆半径为，由正弦定理得，所以. 在中，. 所以三棱锥的体积为. 25．【答案】D 【详解】由平行六面体的体积为8，得， 设到平面的距离为，由，得， 而的面积为，解得， 所以到平面的距离为. 26．【答案】C 【详解】6 个全等正三角形拼接成的六面体，可看作两个底面重合的正四面体上下拼接而成，棱长 (), 六面体的每条棱都是 6(),，中间截面为等边三角形， 设上面的正四面体的顶点为P，P在底面的正投影是O，则O是底面等边三角形的中心， 所以 (), 所以上面的正四面体的高 (), 所以上面的正四面体的体积 () 所以六面体的体积为() 27．【答案】B 【详解】分别是的中点，因此，相似比为， 面积比为相似比的平方，即. 由得，和都在直线上， 因此两点到平面的高之比等于. 三棱锥即，原三棱锥即， 体积比为. 已知，因此. 28．【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，则，则， 圆锥的母线长为，则圆锥的高为， 所以该圆锥的体积. ( 题型0 7 )棱锥的侧面积和表面积问题 29．【答案】C 【详解】因为正方体的棱长为1， 所以,即三棱锥的每一个面都是等边三角形且边长为， 所以三棱锥的表面积. 30．【答案】A 【详解】由题意正四棱锥的高，， 所以正四棱锥的斜高， 所以 所以这座金字塔的侧面积，故①正确； 所以这座金字塔的体积，故②正确. 31．【答案】A 【详解】如图所示，连接，相交于点，而四边形为正方形，平面. 由正八面体的性质可知，，则，， 所以体积，表面积， 所以. 故选：A.    32．【答案】 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 33．【答案】 【详解】设正六棱锥底面边长为，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为， 又正六棱锥高为1且侧棱长为，根据正六棱锥的性质得，解得， 所以侧面等腰三角形的高， 所以棱锥侧面积为. 故答案为： 34．【答案】 【详解】如图，在正六棱锥中，是底面中心，则平面， 连接，取中点，连接. 根据正六边形性质，是等边三角形， 且底面积， 根据棱锥体积公式，，则， 又，在中，， 于是， 故棱锥的侧面积是. ( 题型0 8 )圆锥的侧面积和表面积问题 35．【答案】B 【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此， 圆锥的高底面，故是直角三角形， 由勾股定理得母线长， . 36．【答案】B 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径均为，圆锥的母线， 则圆柱的侧面积，圆锥的侧面积， 由，得，解得， 所以圆锥的体积． 37．【答案】C 【详解】设母线为. 圆锥侧面积，圆锥底面积 所以圆锥表面积. 38．【答案】C 【详解】在中，，由勾股定理可得： ， 以所在直线为轴旋转所得圆锥的底面半径，母线长， 圆锥表面积为底面积与侧面积之和： 底面积 ，侧面积 ， 因此总表面积. 39．【答案】C 【详解】由题意，圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形：圆锥底面圆的直径与轴截面的底边等长， 因此底面半径，底面圆周长； 圆锥的母线长与轴截面的边长等长，即. 圆锥的侧面展开图为扇形，扇形面积公式为， 代入数值计算得侧面积. 40．【答案】A 【详解】设底面圆的半径为r，则母线长为2r，得侧面积是， 所以圆锥的表面积为， 轴截面是一个正三角形，边长为2r， 则其面积为， 所以面积之比是. 41．【答案】B 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意知，底面直径，则，解得， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，其半径为，弧长为底面周长， 圆锥绕顶点在平面上滚动，每滚动一圈（即底面转动一周）， 圆锥绕轴转过的角度对应的弧长等于底面周长， 由圆锥绕顶点滚动，恰好滚动了圈回到起始位置， 则说明圆锥绕顶点转动圈底面周长的距离后，刚好在平面上转满一周， 即倍的底面周长等于以母线为半径的圆周长， 所以有， 所以圆锥的侧面积为. 1．【答案】/ 【详解】由题意得，， 设点是的外心，连接，则平面， 因为平面，所以， 设， 则在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，所以， 即，得， 则在中利用余弦定理得，则， 则在中利用正弦定理得，得， 则在中， 则.    2．【答案】/ 【详解】如下图所示： 在三棱锥中，已知，，，，，， 由勾股定理可得，解得， 因为，、平面，所以平面， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即， 即，解得， 所以以为底面时，三棱锥的高为. 3．【答案】 【详解】因为， 可知，均为等边三角形，其面积均为， 取的中点，连接， 因为，则， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面，则， 由题意可知：，则，可知与全等， 在中，边上的高， 则的面积为， 所以四面体的表面积为. 4．【答案】B 【详解】由题意，圆锥的高，底面半径， 根据勾股定理得母线长，. 已知，因此直角的面积为： ， . 所以底面圆内弦的长度为，恰好等于底面圆的直径，因此为底面圆的直径. 又因为三棱锥的体积等价于以为顶点、为底面的三棱锥的体积， 即，其中是点到平面的距离. 因为为底面圆的直径，所以平面为圆锥的轴截面，所以平面平面， 点在圆锥底面上运动，所以点到轴截面的距离等于点到直线的距离， 点在圆锥底面上运动，为底面圆的直径，所以点到的距离最大值就是，即. 所以，因此三棱锥体积的最大值为. 5．【答案】 【详解】 是边长为2的等边三角形，， 取的中点，连接， 因为，且是的中点，所以， 因为是等边三角形，且是的中点， 所以，，， 又平面，且，所以平面， 因为平面， 所以平面平面，且平面平面， 过作于， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成角就是， 在中，，， 由， 得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以． 1．【答案】B 【详解】设原正四面体的体积为，液体体积为，正四面体的高为，放正后液面的高度为， 由题意可得， 如图所示，正四面体高， 水平放置后，液面上方的正四面体与原正四面体相似， 则，即， 所以. 2．【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 设，则，， 连接，则， 不妨设 因为平面，平面，所以，， 又因为，，所以平面， 则点到平面的距离， ，， ， 所以， ， 点到平面的距离， 所以， 所以， ，， 由题意知， 即，解得或（舍去）， 即，又，所以.    3．【答案】D 【详解】 对于B选项，如图1，， 取的中点，连接， 则，且， 所以为二面角的平面角， 当时，，B正确； 对于C选项，如图2，在中，，， 所以的高，则的面积为， 故当平面时，，C正确； 对于D选项，如图3，当，平面时，，D错误； 对于A选项，如图4，， 分别取的中点，连接， 则，且，， 平面，所以平面， 在中，，， 所以，A正确. 1．【答案】D 【详解】由题意，得棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 所以该棱台的体积为. 2．【答案】B 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 3．【答案】B 【详解】解法一：分别取的中点，则， 可知， 设正三棱台的为， 则，解得， 如图，分别过作底面垂线，垂足为，设， 则，， 可得， 结合等腰梯形可得, 即，解得， 所以与平面ABC所成角的正切值为； 解法二：将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角， 因为，则， 可知，则， 设正三棱锥的高为，则，解得， 取底面ABC的中心为，则底面ABC，且， 所以与平面ABC所成角的正切值. 故选：B. 4．【答案】 【详解】 法一：底面三角形中，，. 取中点，连接，则，. 在中，， 故底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 在中，由余弦定理得， 且，故. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 法二：在中，已知，. 由余弦定理得， 且，故，. 所以底面面积. 由可知，点在底面上的投影为的外心. 由正弦定理，的外接圆半径， 则高， 三棱锥的体积. 综上，底面面积为，体积为. 5．【答案】(1) (2) 由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    【分析】 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $