10.4 平面与平面的位置关系（分层作业练题型）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到高考衔接，构建“概念理解-综合应用-思维创新”的知识巩固路径，培养空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|面面平行与垂直的判定、性质定理，补全条件，求二面角|基础题型对应单一考点，如证明面面平行（题型01），强化概念理解与基本推理| |B组能力进阶|折叠问题、存在性探究（如线段上找点使面面平行）|综合多个知识点，培养空间观念与逻辑推理，如翻折后面面垂直证明| |C组思维拔高|二面角最值范围、参数求解|探究性问题，发展创新意识，如动点问题中二面角余弦值最大值| |拓展链接高考|高考真题及模拟题|对接高考题型，提升应用意识，如近年高考中二面角求解与平面判定|

分层作业 10.4 平面与平面的位置关系 参考答案 ( 题型0 1 )面面平行的判定定理 1．【答案】平行 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．又因为， 平面，平面， 所以平面平面． 答案：平行 2．【答案】 ，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 【详解】略 3．【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 4．【答案】(1)证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． (2)证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ( 题型0 2 )面面平行的性质定理 5．【答案】D 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 6．（公式定理52平面与平面平行的性质定理【思想方法】）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 【答案】 设平面与交于点， 因为四边形是菱形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面. 又，平面ADM， 所以平面平面. 又平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以结论成立. 【详解】略 7．【答案】(1) 令交于点，连接，在正方形中，，， 又，则，而，平面， 因此平面，而平面，所以. (2) 在正方形中，，在线段上取一点，使得， 由，得，连接，则， 而平面，平面，则平面， 由，得，则， 而平面，平面，则平面， 又，平面，于是平面平面，而平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 8．【答案】 因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面. 【详解】略 ( 题型0 3 )补全面面平行的条件 9．【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【分析】 【详解】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又底面为平行四边形，所以为的中点， 所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面.    10．【答案】存在为中点使面面，理由见解析 【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下： 当为中点，连接， 又是的中点，是的中点， 所以，， 而平面，平面，所以平面， 同理可证面， 又，即平面平面， 综上，为中点时平面平面． 11．【答案】(1)证明：折叠前，四边形是菱形，， 折叠后. 平面， 又平面. (2)存在，分别是的中点，证明如下： 如图，分别取的中点，连结， 在中，分别是的中点，. 分别是的中点，四边形是平行四边形， 平行且等于四边形是平行四边形，. 又平面 平面， 平面平面. 【分析】 【详解】（1）略； （2）在线段上分别存在点，且分别是的中点时，平面平面,证明略. ( 题型0 4 )面面垂直的判定定理 12．【答案】A 【详解】因为，，又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因此在平面内的射影必在平面与平面的交线上． 13．【答案】(1)连接，由与的中点分别为点，可得，在中，，平面，平面，故平面. (2)连接，因为菱形，所以，又，，所以，．因为，为中点，所以． 又，所以，所以中，，故． 又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 14．【答案】(1)证明：如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，，则四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 由平面，平面平面，则； (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，则， 因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 15．【答案】(1)证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． (2)证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 16．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. ( 题型0 5 )面面垂直的性质定理 17．【答案】D 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 18．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由四边形是正方形，可知， 又，，平面，则平面. 而平面，故平面平面. （2）因为，，，平面，则平面， 而平面，则. 由（1）知平面平面，平面平面，平面，且， 故平面. 19．【答案】 【详解】如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. 20．【答案】 【详解】过作于，过作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以，又是的中点， 设，因为翻折后，与重合，所以， 因为，所以，所以， 而， ， 所以，解得． 经检验，此时点在线段上，所以． 21．【答案】(1)证明：平面是菱形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为四边形是矩形，则， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，设，取的中，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以， 又，则面，又面，则， 在和中，， 所以，则，∵是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 因为平面，∴， 又是的中点，∴， 又易知，，所以. 【点睛】 ( 题型0 6 )补全面面垂直的条件 22．【答案】D 【详解】如下图所示，取的中点、的中点，连接、、， 平面，平面，， ，为的中点， ，为的中点，所以，， 、分别为、的中点，，， 平面，平面，， ，平面， 平面，所以，平面平面， 为的中点，为的中点，，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解线段上的点的位置的探索性问题时，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，本题中可充分利用等腰三角形三线合一的性质找出点的位置，再利用面面垂直的判定定理给出证明. 23．【答案】（答案不唯一） 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 24．【答案】（1）证明:连接，， 在正四棱柱中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面， 又平面，所以平面 （2） 【分析】 【详解】（1）略； （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 25．【答案】(1)连接， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 因为底面是菱形，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， (2)点为的中点时，平面平面， 证明如下：因为侧面为正三角形，G为的中点， 所以， 因为平面平面， 平面平面， ，平面， 所以平面， 连接交于点，则点是的中点， 所以， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法 （1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：（客观题常用）； （3）面面垂直的定义（不常用）； （4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于. ( 题型0 7 )求二面角 26．【答案】(1)在直三棱柱中，由平面，平面， 得，由是边长为的正三角形，为的中点， 得，又，平面， 所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为，连接，    在直三棱柱中，由，， 得，又，且平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，则平面， 又平面，因此 ，是二面角的平面角， 是边长为的正三角形，则， ，则，即，解得， ，在中，， 所以二面角的余弦值为. 27．【答案】(1)D、E分别是棱的中点， 是的中位线， ， 平面平面， 平面， 同理平面， 平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由已知平面， ，则， ， 当且仅当时取等号，即三棱锥的体积取最大值， 作，垂足为G，连接，   平面，平面平面， 平面， 平面，． ，平面平面， ，是二面角的平面角 由题可知，，， ． 28．【答案】(1)在四棱锥中，由平面，平面， 得，而，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，得， 则是二面角的平面角，由，，得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 29．【答案】(1)直角梯形中，，为的中点， 所以四边形为正方形，即.所以. 连接，则. 又， 所以，即. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）有平面，又平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，所以. 所以二面角的大小为. 30．【答案】(1) (2)如图，取中点，连接，.      在直角梯形中，，. ∵，，∴，且， ∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面 (3) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，.    由题意可知，平面，. ∵且， ∴四边形是平行四边形，∴且， 同理，且，且. ∵是等边三角形，∴也是等边三角形， ∴四棱锥的高为. ∴四棱锥的体积为， 正三棱柱的体积为. ∴该几何体的体积为. （2）略. （3）如图，过作垂直于，连接.    由(2)可知，，∵平面平面，且平面平面， 又因为，∴平面， 平面，∴，又，， ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， 易知，，由等面积法可得， ∴，∴，∴， ∴二面角的余弦值为. ( 题型0 8 )求二面角的最值范围 31．【答案】/ 【详解】连接、、、，设，连接、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是平面内的一点，且满足，所以点的轨迹为线段， 设正方体的棱长为，则， 因为四边形为正方形，，则为的中点，且， 由勾股定理可得，则， 所以为平面与平面所成角（或补角）， 由图可知，由图可知，当点与点重合时，最大， ，， 因为平面，平面，则，同理， 此时； 当与点重合时，最小，易得， 所以 ， 又因为函数在上单调递减， 所以，则， 而平面与平面所成角为锐角，不妨设为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 32．【答案】(1) 在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    33．【答案】(1) 证明：在菱形中，，， 由余弦定理得，， 即，又由，故， 由翻折性质知，又因为平面 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2)是； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 如图1所示，在上取点，使，连接因， 则有，又，且则有， 因和的两边方向相同，由等角定理得， 由（1）知平面，平面，故可得 ， 在中，由余弦定理可得， ，故. （3） 如图2所示，由（1）得平面平面， 在平面内，过作于， 在平面内，过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面，所以平面， 平面. 即为二面角的平面角，， 在菱形中，易得，故，由平面 知，点在以为圆心的圆弧上， 所以当时，取得最大值1， 此时，因为为锐角，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查面面垂直的判定和二面角的范围，属于难题. 解决的关键在于利用面面垂直找到二面角的平面角并证明，将二面角正切值的最大值问题转化成线段的最值问题，结合图形分析计算即得. 34．【答案】(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． (2)解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． ( 题型0 9 )根据二面角求参数 35．【答案】D 【详解】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 同理， 所以等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角分别为和， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为． 故选：D． 36．【答案】(1)因为侧面，侧面，得 ， 由， 则， 所以，所以， 又交于点B，且都在平面内，故平面. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由已知侧面，平面，知平面平面， 过作于，平面，平面平面， 则平面，因平面，故平面平面， 此时 . （3）上存在点，使得二面角平面角的正切值为. 由（2）知：平面，平面，则， 过P作交于，且都在平面内， 所以平面，则二面角的平面角为或其补角， 设，则，，. 由，则，所以， 由，即， 解得或（舍去）. 所以，所以. 37．【答案】(1)； (2) 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，由（1）知，因此， 又平面，平面，所以平面. (3). 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，在平面内过点作于， 由底面，平面得， 而平面， 则平面，长即为点B到面PAC的距离， 由，得，即，， 所以点B到面PAC的距离为. （2）略 （3）在平面内过点D作于，在平面内过点作于，连接， 由平面，而平面，故，而平面， 则平面，又平面，于是，而平面， 因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角， 且为锐角，，，， 设，由，得，则， ，由，得，， 因此，解得，所以. 1．【答案】A 【详解】如图所示，设的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，， 所以，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又，所以. 2．【答案】/ 【详解】设 ，由 得 ，在 中，， 由余弦定理：，故 ， 由 ，根据勾股定理逆定理，得 ， 因为四边形 是平行四边形，故 且 ，因此 ， 将 沿 折起后，平面 平面 ，且两平面交线为 ， 又 平面 ，且 ，根据面面垂直的性质定理，可得， 过点 作 ，且取 ，连接 、， 由 且 ，可知四边形 是平行四边形，因此： ，且 ； 异面直线 与 所成的角，等于直线 与 所成的角， 即 （或其补角），    由 平面 ，，得 ， 因为 平面 ，故 ，即 为直角三角形， 在 中，，，由勾股定理 折叠前后边长不变，平行四边形对边相等，故 ，因此 ， 在 中，，，， 由余弦定理得， 异面直线所成角的范围为 ，余弦值取正值， 故直线 与 所成角的余弦值为 . 3．【答案】 【详解】设平面平面，过点与平面平行的平面为， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 4．【答案】 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为， 所以， 又， 所以是等腰三角形，可得，，， 因为，所以平面， 又平面，所以， 在中，由勾股定理可得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 5．【答案】 【详解】设，则，过作为垂足， 过作，为垂足． 在中有，， 在中有，， 则． 因为二面角为，所以, 又 ， 则，， 所以． 故答案为：.    6．【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以. 过点作，交于点. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为平面，，所以平面. 因为底面是菱形，所以，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以，所以四边形为正方形. 连接，则. 过点作，交于点，连接. 设，在中，， 在中，. 在中，，， 则. 在中，， 在中， . 因为，， 所以，则为直角三角形，且， 所以即为二面角的平面角，则. 在中，， 所以，则，所以或（舍去）. 故当时，二面角的余弦值为. 1．【答案】D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 2．【答案】1 【详解】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得， 在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又平面，则平面， 平面,故, 故二面角的平面角，即，依题意，，又，， 因此，所以. 故答案为：1 3．【答案】(1)取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面. (2) (3)存在点满足条件，且 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 因为，所以，又， 所以. （3）因为，，所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 取中点，连接，因为，所以，且， 因为，平面，所以平面， 假设线段上存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，且， 连接，由平面，可得， 所以就是二面角的平面角， 因为，为中点，，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍）. 所以存在点满足条件，. 1．（【答案】D 【分析】 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．【答案】C 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 3．【答案】(1) 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 4．【答案】(1)证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 10.4 平面与平面的位置关系 目 录 A组 巩固过关 题型01面面平行的判定定理 题型02面面平行的性质定理 题型03补全面面平行的条件 题型04面面垂直的判定定理 题型05面面垂直的性质定理 题型06补全面面垂直的条件 题型07求二面角 题型08求二面角的最值范围 题型09根据二面角求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )面面平行的判定定理 1．在如图所示的几何体中，三个侧面，，都是平行四边形，则平面与平面的位置关系是______________． 【答案】平行 【详解】因为侧面是平行四边形，所以．因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．又因为， 平面，平面， 所以平面平面． 答案：平行 2．如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】 ，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 【详解】略 3．在矩形中，，.点，分别在，上，且，.沿将四边形翻折至四边形，点平面.求证：平面. 【答案】由条件根据线面平行判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，结合面面平行性质证明结论. 【详解】证明：因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，故平面平面， 而平面，故平面. 4．如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点． 求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明：因为四边形为等腰梯形，，，是线段的两个三等分点， 所以，，， 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，所以，又， 所以，因为为的中点， 所以，即， 同理． 又平面， 所以平面． (2)证明：由（1）知，，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 由已知，， 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为平面不在平面内，所以平面． 又，平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 ( 题型0 2 )面面平行的性质定理 5．如图，是所在平面外一点，平面平面，线段分别交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：平面，得，. 又由等角定理得，故， 根据相似三角形得到面积比为相似比的平方可得： ，即. 故选：D. 6．（公式定理52平面与平面平行的性质定理【思想方法】）如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得. 【答案】 设平面与交于点， 因为四边形是菱形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又，平面，平面，所以平面. 又，平面ADM， 所以平面平面. 又平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以，所以结论成立. 【详解】略 7．如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，为侧棱上的点，且． (1)证明：： (2)已知点是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面． 【答案】(1) 令交于点，连接，在正方形中，，， 又，则，而，平面， 因此平面，而平面，所以. (2) 在正方形中，，在线段上取一点，使得， 由，得，连接，则， 而平面，平面，则平面， 由，得，则， 而平面，平面，则平面， 又，平面，于是平面平面，而平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面； 【答案】 因为，平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面. 【详解】略 ( 题型0 3 )补全面面平行的条件 9．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，交于点，是上一点且平面      (1)证明：为的中点； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，请给出点的位置，并证明，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点 【分析】 【详解】（1）连接，设，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又底面为平行四边形，所以为的中点， 所以为的中点． （2）存在，为中点时，平面平面， 因为为中点，为的中点，所以， 由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于，平面， 所以平面平面.    10．如图平面，是矩形，，，点是的中点，点是边上的任意一点．当是的中点时，线段上是否存在点，使得平面平面，若存在指出点位置并证明，若不存在说明理由． 【答案】存在为中点使面面，理由见解析 【详解】存在为中点，使得平面平面，理由如下： 当为中点，连接， 又是的中点，是的中点， 所以，， 而平面，平面，所以平面， 同理可证面， 又，即平面平面， 综上，为中点时平面平面． 11．如图1，已知菱形的对角线交于点，四边形是平行四边形.将三角形沿线段折起到的位置，如图2所示. (1)求证：； (2)在线段上是否分别存在点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：折叠前，四边形是菱形，， 折叠后. 平面， 又平面. (2)存在，分别是的中点，证明如下： 如图，分别取的中点，连结， 在中，分别是的中点，. 分别是的中点，四边形是平行四边形， 平行且等于四边形是平行四边形，. 又平面 平面， 平面平面. 【分析】 【详解】（1）略； （2）在线段上分别存在点，且分别是的中点时，平面平面,证明略. ( 题型0 4 )面面垂直的判定定理 12．如图，在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 【答案】A 【详解】因为，，又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因此在平面内的射影必在平面与平面的交线上． 13．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，与的中点分别为点，，且，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)连接，由与的中点分别为点，可得，在中，，平面，平面，故平面. (2)连接，因为菱形，所以，又，，所以，．因为，为中点，所以． 又，所以，所以中，，故． 又因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 14．在三棱柱中，四边形为正方形，平面平面，分别为，的中点． (1)若平面平面，求证：； (2)若，求证：平面平面． 【答案】(1)证明：如图，取的中点为，连接，， 因为为的中点，所以，， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 又为的中点，所以，， 所以，，则四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 由平面，平面平面，则； (2)因为平面平面，平面平面， 又四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，则， 因为，，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． (1)证明：． (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． (2)证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 16．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若点，分别为，的中点，求证:平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在菱形中，, 为的中点， 所以，又平面⊥平面，平面∩平面，平面，所以平面. （2）如图，连接 因为为正三角形, 为线段的中点， 所以，由（1）知，又，平面， 所以平面，因为平面，所以. （3）如图，连接，，， 在中，，在菱形中，， 而平面，平面，，平面， 平面，，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 因为平面，，所以平面， 又平面， 所以平面平面，所以平面平面. ( 题型0 5 )面面垂直的性质定理 17．如图，已知是正三角形，和都垂直于平面，且，分别是和的中点，则下列结论错误的是（   ） A．平面 B．平面 C． D．平面平面 【答案】D 【详解】连接，， 因为分别是和的中点，所以且， 又因为垂直于平面，所以平面，B正确； 因为平面，所以， 又因为是正三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以，C正确； 因为，垂直于平面，所以且， 所以四边形是平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 由和为中点可知， 假设平面平面， 又平面，平面平面，则平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，与是正三角形矛盾， 所以平面与平面不垂直，D错误； 故选：D. 18．在三棱柱中，，为的三等分点，侧面为正方形，，. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由四边形是正方形，可知， 又，，平面，则平面. 而平面，故平面平面. （2）因为，，，平面，则平面， 而平面，则. 由（1）知平面平面，平面平面，平面，且， 故平面. 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面平面PAD，证明：平面平面ABCD； 【答案】 【详解】如图，过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为底面是正方形，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. 20．如图所示，在矩形中，点分别在线段上，，沿直线将翻折成，使平面平面分别在线段上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长． 【答案】 【详解】过作于，过作于，连接， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以，又是的中点， 设，因为翻折后，与重合，所以， 因为，所以，所以， 而， ， 所以，解得． 经检验，此时点在线段上，所以． 21．如图，在七面体中，底面是菱形，四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若，平面平面，求 【答案】(1)证明：平面是菱形，则， 又平面，平面，所以平面， 因为四边形是矩形，则， 又平面，平面，则平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图，设，取的中，连接， 因为，，又，面，所以面， 又面，所以， 又，则面，又面，则， 在和中，， 所以，则，∵是的中点，所以， 平面平面，平面平面，平面， 因为平面，∴， 又是的中点，∴， 又易知，，所以. 【点睛】 ( 题型0 6 )补全面面垂直的条件 22．如图，在四棱锥中，，，平面，垂足在直线上，若上存在一点使得平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示，取的中点、的中点，连接、、， 平面，平面，， ，为的中点， ，为的中点，所以，， 、分别为、的中点，，， 平面，平面，， ，平面， 平面，所以，平面平面， 为的中点，为的中点，，因此，. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求解线段上的点的位置的探索性问题时，一般先根据条件猜测点的位置，再给出证明，本题中可充分利用等腰三角形三线合一的性质找出点的位置，再利用面面垂直的判定定理给出证明. 23．如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 24．如图所示，在正四棱柱中，是线段上的动点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明:连接，， 在正四棱柱中，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，面，所以平面平面， 又平面，所以平面 （2） 【分析】 【详解】（1）略； （2）因为在正四棱柱，，面，面，所以， ，面，所以面，因为平面，所以平面平面，因为面面， 要使平面平面，则平面与面重合，即在的中点时满足题意，所以 25．如图所示，在四棱锥中，底面是且边长为a的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，若G为的中点，E为的中点． (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在一点F，使平面平面，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)连接， 因为为的中点，为的中点， 所以，， 因为底面是菱形，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， (2)点为的中点时，平面平面， 证明如下：因为侧面为正三角形，G为的中点， 所以， 因为平面平面， 平面平面， ，平面， 所以平面， 连接交于点，则点是的中点， 所以， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法 （1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可； （2）利用性质：（客观题常用）； （3）面面垂直的定义（不常用）； （4）向量方法：证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于. ( 题型0 7 )求二面角 26．如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在直三棱柱中，由平面，平面， 得，由是边长为的正三角形，为的中点， 得，又，平面， 所以. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）过点作，垂足为，连接，    在直三棱柱中，由，， 得，又，且平面， 则平面，而平面，于是， 又平面，则平面， 又平面，因此 ，是二面角的平面角， 是边长为的正三角形，则， ，则，即，解得， ，在中，， 所以二面角的余弦值为. 27．如图，在三棱锥中，平面，分别是棱的中点，连接．    (1)求证:平面平面； (2)若，当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)D、E分别是棱的中点， 是的中位线， ， 平面平面， 平面， 同理平面， 平面，平面， 平面平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由已知平面， ，则， ， 当且仅当时取等号，即三棱锥的体积取最大值， 作，垂足为G，连接，   平面，平面平面， 平面， 平面，． ，平面平面， ，是二面角的平面角 由题可知，，， ． 28．如图，在四棱锥中，底面，，.    (1)证明：平面平面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)在四棱锥中，由平面，平面， 得，而，平面，则平面， 又平面，所以平面平面. (2). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由平面，平面，得， 则是二面角的平面角，由，，得， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 29．如图，直角梯形中，，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小． 【答案】(1)直角梯形中，，为的中点， 所以四边形为正方形，即.所以. 连接，则. 又， 所以，即. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）有平面，又平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，所以. 所以二面角的大小为. 30．如图，以为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为，已知.    (1)求该几何体的体积； (2)设 O 为的中点， 证明:平面； (3)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2)如图，取中点，连接，.      在直角梯形中，，. ∵，，∴，且， ∴四边形是平行四边形，∴. ∵平面，平面，∴平面 (3) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，.    由题意可知，平面，. ∵且， ∴四边形是平行四边形，∴且， 同理，且，且. ∵是等边三角形，∴也是等边三角形， ∴四棱锥的高为. ∴四棱锥的体积为， 正三棱柱的体积为. ∴该几何体的体积为. （2）略. （3）如图，过作垂直于，连接.    由(2)可知，，∵平面平面，且平面平面， 又因为，∴平面， 平面，∴，又，， ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， 易知，，由等面积法可得， ∴，∴，∴， ∴二面角的余弦值为. ( 题型0 8 )求二面角的最值范围 31．在正方体中，点是上的动点，是平面内的一点，且满足，则平面与平面所成角余弦值的最大值为__________. 【答案】/ 【详解】连接、、、，设，连接、，如下图所示： 因为且，则四边形为平行四边形， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是平面内的一点，且满足，所以点的轨迹为线段， 设正方体的棱长为，则， 因为四边形为正方形，，则为的中点，且， 由勾股定理可得，则， 所以为平面与平面所成角（或补角）， 由图可知，由图可知，当点与点重合时，最大， ，， 因为平面，平面，则，同理， 此时； 当与点重合时，最小，易得， 所以 ， 又因为函数在上单调递减， 所以，则， 而平面与平面所成角为锐角，不妨设为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 32．在三棱柱中，，且D为BC的中点， 为的中点.    (1)若，求证： (2)若，求直线与平面 所成角的正弦值 (3)若，求二面角的正弦值的最大值. 【答案】(1) 在三棱柱中，连接，由分别为中点， 得，则四边形为平行四边形，， 由，得，由，得， 则，于是，由， 得，而，平面，则平面， 所以平面.    (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面,所以平面， 而平面，则平面平面， 在平面内过作于点，平面平面， 因此平面，连接，是直线与平面 所成角， 由，得， 在中，，在中，， 所以直线与平面 所成角的正弦值为. （3）由（1）得，又， 则，由（2）得， 过作平面于，连接，由平面，得， 而平面，则平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 显然，当且仅当重合时取等号，， 所以二面角的正弦值的最大值为.    33．如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和， (1)求证：平面平面； (2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角的正切值的最大值． 【答案】(1) 证明：在菱形中，，， 由余弦定理得，， 即，又由，故， 由翻折性质知，又因为平面 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2)是； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 如图1所示，在上取点，使，连接因， 则有，又，且则有， 因和的两边方向相同，由等角定理得， 由（1）知平面，平面，故可得 ， 在中，由余弦定理可得， ，故. （3） 如图2所示，由（1）得平面平面， 在平面内，过作于， 在平面内，过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面，所以平面， 平面. 即为二面角的平面角，， 在菱形中，易得，故，由平面 知，点在以为圆心的圆弧上， 所以当时，取得最大值1， 此时，因为为锐角，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查面面垂直的判定和二面角的范围，属于难题. 解决的关键在于利用面面垂直找到二面角的平面角并证明，将二面角正切值的最大值问题转化成线段的最值问题，结合图形分析计算即得. 34．如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点． (1)设平面平面，证明：． (2)作出平面与棱的交点，并说明作法与理由． (3)当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以． 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB． 因为平面PCD，平面平面，所以． (2)解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM． 因为F为PD上靠近点P的三等分点， 所以F为PM的中点，所以． 因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO． 同理可证平面AMO． 因为，所以平面平面AMO． 因为平面平面，平面平面，所以． 因为F为PM的中点，所以H为PC的中点． (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI， 因为，，，所以平面PBC，所以． 因为，，所以平面NID，则， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由底面是平行四边形，，得,． 由等面积法可得, 由，， 所以，． 则． 令，． 在中，则． 令，，则在上单调递增， 所以，， 所以二面角的正弦值的取值范围为． ( 题型0 9 )根据二面角求参数 35．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之类．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若、且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（   ） A．102m B．112m C．117m D．120m 【答案】D 【详解】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 同理， 所以等腰梯形所在的平面，等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角分别为和， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为． 故选：D． 36．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，， (1)求证：平面； (2)是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为侧面，侧面，得 ， 由， 则， 所以，所以， 又交于点B，且都在平面内，故平面. (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由已知侧面，平面，知平面平面， 过作于，平面，平面平面， 则平面，因平面，故平面平面， 此时 . （3）上存在点，使得二面角平面角的正切值为. 由（2）知：平面，平面，则， 过P作交于，且都在平面内， 所以平面，则二面角的平面角为或其补角， 设，则，，. 由，则，所以， 由，即， 解得或（舍去）. 所以，所以. 37．如图，四棱锥中，底面，，，. (1)求点B到面PAC的距离； (2)若，证明：平面； (3)若，且二面角的正弦值为，求AD. 【答案】(1)； (2) 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 而平面，于是，由（1）知，因此， 又平面，平面，所以平面. (3). 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，在平面内过点作于， 由底面，平面得， 而平面， 则平面，长即为点B到面PAC的距离， 由，得，即，， 所以点B到面PAC的距离为. （2）略 （3）在平面内过点D作于，在平面内过点作于，连接， 由平面，而平面，故，而平面， 则平面，又平面，于是，而平面， 因此平面，又平面，则，即为二面角的平面角， 且为锐角，，，， 设，由，得，则， ，由，得，， 因此，解得，所以. 1．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，是延长线上一点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，设的中点，连接， 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又因为平面，所以； 因为，， 所以，所以为等腰三角形， 又因为为的中点，所以， 又因为，所以平面， 平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以，所以， 所以， 所以， 又，所以. 2．在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】/ 【详解】设 ，由 得 ，在 中，， 由余弦定理：，故 ， 由 ，根据勾股定理逆定理，得 ， 因为四边形 是平行四边形，故 且 ，因此 ， 将 沿 折起后，平面 平面 ，且两平面交线为 ， 又 平面 ，且 ，根据面面垂直的性质定理，可得， 过点 作 ，且取 ，连接 、， 由 且 ，可知四边形 是平行四边形，因此： ，且 ； 异面直线 与 所成的角，等于直线 与 所成的角， 即 （或其补角），    由 平面 ，，得 ， 因为 平面 ，故 ，即 为直角三角形， 在 中，，，由勾股定理 折叠前后边长不变，平行四边形对边相等，故 ，因此 ， 在 中，，，， 由余弦定理得， 异面直线所成角的范围为 ，余弦值取正值， 故直线 与 所成角的余弦值为 . 3．如图，在四棱柱 中，底面 是正方形， 垂直于平面 ， 且 ， 经过顶点 和 各作一个平面与平面 平行，前者与平面 交于 ，  后者与平面 交于 ， 则异面直线 与 所成角的余弦值为__________ .    【答案】 【详解】设平面平面，过点与平面平行的平面为， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 4．已知二面角的大小为，棱上有两个不同的点，，，，，，若，则直线与平面所成角的正弦值为_____. 【答案】 【详解】在平面内过作与平行且相等的线段， 过作于，连接， 则四边形为平行四边形，所以， 因为，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角， 由， 得二面角的平面角即为， 所以， 又， 所以是等腰三角形，可得，，， 因为，所以平面， 又平面，所以， 在中，由勾股定理可得， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 5．在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 【答案】 【详解】设，则，过作为垂足， 过作，为垂足． 在中有，， 在中有，， 则． 因为二面角为，所以, 又 ， 则，， 所以． 故答案为：.    6．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，平面平面.    (1)证明：平面； (2)当为何值时，二面角的余弦值为. 【答案】(1)证明：因为平面，平面，所以. 过点作，交于点. 因为平面平面，平面平面，所以平面. 又平面，所以. 因为平面，，所以平面. 因为底面是菱形，所以，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以，所以四边形为正方形. 连接，则. 过点作，交于点，连接. 设，在中，， 在中，. 在中，，， 则. 在中，， 在中， . 因为，， 所以，则为直角三角形，且， 所以即为二面角的平面角，则. 在中，， 所以，则，所以或（舍去）. 故当时，二面角的余弦值为. 1．如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 2．在直三棱柱中，，点分别是棱和棱上的点，且为等边三角形，若二面角的平面角为，则__________. 【答案】1 【详解】在直三棱柱中，取DE的中点，连接AF，由为等边三角形，得， 在平面内过作于，连接FG，由平面，平面,得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又平面，则平面， 平面,故, 故二面角的平面角，即，依题意，，又，， 因此，所以. 故答案为：1 3．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)取中点，连接，因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面. (2) (3)存在点满足条件，且 【分析】 【详解】（1）略 （2）连接，因为平面，所以是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 因为，所以，又， 所以. （3）因为，，所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 取中点，连接，因为，所以，且， 因为，平面，所以平面， 假设线段上存在点，使得二面角的平面角的余弦值为，且， 连接，由平面，可得， 所以就是二面角的平面角， 因为，为中点，，所以， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍）. 所以存在点满足条件，. 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．（2025·天津·高考真题）若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 10.4平面与平面的位置关系 目录 A组巩固过关 题型01面面平行的判定定理 题型02面面平行的性质定理 题型03补全面面平行的条件 题型04面面垂直的判定定理 题型05面面垂直的性质定理 题型06补全面面垂直的条件 题型07求二面角 题型08求二面角的最值范围 题型09根据二面角求参数 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 甄型nM 面面平行的判定定理 1.在如图所示的几何体中，三个侧面A4BB,BB,CC,CCAA都是平行四边形，则平面ABC与平面 AB,C的位置关系是 1/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C B 2.如图，在三棱锥S-ABC中，D,E,F分别是棱AC,BC,SC的中点.求证：平面DEFI平面 ABS S B 3.在矩形ABCD中，AB=4,AD=2.点E,F分别在AB,CD上，且AE=2,CF=1沿EF将四边形 AEFD翻折至四边形AEFD,点AE平面BCFE,求证：CD'I‖平面ABE. y 4.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BCIIAD,EFIIAD, AD=3BC=3EF,M,N是线段AD的两个三等分点. 2120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M W 求证： (I)AD⊥平面BFM: (2)平面BFM/平面CEN. 题型02 面面平行的性质定理 5.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面aII平面ABC,线段PA,PB,PC分别交a于点A,B,C',若 9 B 4 A.3 c. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA=PC,E为侧棱PD上的点，且PE=3ED E B C (I)证明：PD⊥AC: (2)已知点F是侧棱PC上靠近点C的三等分点，求证：BFII平面ACE, 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &.如图，ADIIBC,AD⊥AB,点E、F在平面ABCD的同侧，CFIIAE,AD=1,AB=BC=2,平 面ACFE⊥平面ABCD,EA=EC=V3.求证：BFI/平面ADE; E 题型03 补全面面平行的条件 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC交BD于点O,E是PD上一点且PB∥ 平面ACE 力 D (I)证明：E为PD的中点： (2)在线段PA上是否存在点F,使得平面OEF∥平面PBC,若存在，请给出点F的位置，并证明，若不存 在，请说明理由 10.如图PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,AD=2,点F是PB的中点，点E是BC边上的 任意一点.当E是BC的中点时，线段AB上是否存在点G,使得平面EFG∥平面PAC,若存在指出点G 4/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 位置并证明，若不存在说明理由. D I1.如图1，已知菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,四边形DEBC是平行四边形将三角形ADE沿 线段DE折起到PDE的位置，如图2所示 D E 图1 图2 (1)求证： DE⊥PC; (2)在线段PD,BC上是否分别存在点M,N,使得平面CFM‖平面PEN?若存在，请指出点M,N的位置， 并证明；若不存在，请说明理由。 颗型04 面面垂直的判定定理 12.如图，在四面体ABCD中，己知AB⊥AC,BDLAC,那么顶点D在平面ABC内的射影H必在 () D 5/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 1B.如图，在三楼柱A8C-4BC中，侧面ACCA为菱形，∠C14- 3,AC与BA的中点分别为点O, H,且BC=CA=22,BA=BC=2 B C (1)求证：OH∥平面ABC; (2)求证：平面ABC上平面ACC4.」 14.在三棱柱ABC-ABC中，四边形BCCB为正方形，平面BCCB⊥平面ABB4,M,N分别为4B, AC的中点. B M A B (I)若平面MBN∩平面BCCB=L,求证：MN/Il: (2)若AB⊥MN,求证：平面BCCBL平面ABC. 15.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E,F,G,H分别是棱SB,SD,AB,AD 的中点，且SA=SC,SB=SD. 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D --- 〉C H B (1)证明：GHIIEF (2)证明：平面SAC⊥平面ABCD 16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点， P E A (I)求证：BG⊥平面PAD: (2)求证：AD⊥PB; (3)若点E,F分别为BC,，PC的中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD 颗型05 面面垂直的性质定理 17.如图，己知△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2DC,F,G分别是EB和 AB的中点，则下列结论错误的是() 7/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D G B A.FD∥平面ABC B.FG⊥平面ABC C.FC⊥AB D.平面EBC⊥平面EAB 18.在三棱柱OAB-OAB中，P,Q为AA的三等分点，侧面OBB,O为正方形，OA1OB,BP⊥O0. D B Bi (①)证明：平面OBB,O⊥平面OAAO: (2)证明：PO⊥平面OBBO I9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥平面PAD,证明：平面PAD⊥平面 ABCD; 20,如图所示，在矩形BCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=B8=AF-号FD=4,沿直线Er将 3 8120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △AEF翻折成△AEF,使平面A'EF⊥平面BEF,M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形 MNCD向上翻折，使C与A'重合，求线段FM的长. A M D 21.如图，在七面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四边形ACEF是矩形， E A (I)证明：平面ADE 11-平面BCE, BD (②)若CE⊥AB,平面DEF⊥平面BEF,求AF 题型0k 补全面面垂直的条件 22.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB=BC,PA=AB,AM⊥平面PBC,垂足M在直线PB上，若PC PN 上存在一点N使得平面PCD1平面AMN,则NC=（) 9120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D A.1 B,3 2 C.3 D 23.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当 点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) M D 24.如图所示，在正四棱柱ABCD-AB,CD中，P是线段AC上的动点 P B ()证明：BP/平面ACD: (②)在线段AC上是否存在一点P,使得平面BDP⊥平面ACD?若存在，请求出AC:AP的值：若不存在， 请说明理由： 10/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角 形，其所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD的中点，E为BC的中点. G B (I)求证：BG∥平面PDE: (2)在棱PC上是否存在一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理 由 题型07 求二面角 26.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，底面是边长为2的正三角形，AA=2,O为BC的中点 A (I)求证：BC⊥平面AA0 (②)求二面角A-BC-C的余弦值 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.如图，在三棱锥P-ABC中，PAL平面ABC,AB⊥AC,DEF分别是棱PA、PB、PC的中点，连 接DE,DF,EF (I)求证：平面DEF/平面ABC: (2)若PA=BC=2,当三棱锥P-ABC的体积取最大值时，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值. 28.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BCIIAD (I)证明：平面PAB⊥平面PAD: (2)设PA=AB=BC=2,求平面PAC与平面PAB夹角的余弦值 29,如图，直危榜形BCD中，A8CnA1C,C=(0-48=2,E为AB的中点，以DE为断痕起 △ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2√5 12/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B (I)求证：平面PDE⊥平面EBCD: (2)二面角P-DC-B的大小. 30.如图，以△ABC为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为4B,C,己知 AA =2BB =2AB=4,CC=3. A C' o B (1)求该几何体的体积： (2)设O为AB的中点，证明：CO∥平面ABC； (3)求二面角C-4B-B的余弦值 题型08 求二面角的最值范围 31.在正方体ABCD-AB'CD'中，点P是AA上的动点，O是平面BB'CC内的一点，且满足A'DLBO, 则平面BDP与平面BD卫所成角余弦值的最大值为 13/20 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.在三棱柱ABC-AB,C中，∠BAC=90,AA=AB=AC,且D为BC的中点，D为BC的中点 A B (I)若AB=AC,求证：AD⊥ABC (2)若AB=AC=2,AA=4,求直线AB与平面BCCB所成角的正弦值 (3)若BC=2V2,AA=4,求二面角4-BC-C的正弦值的最大值 33.如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC的余弦值为3'M为BC靠近B的三等分点，将。ABM沿直线 AM翻折成△ABM,连接BC和BD.DN=;B,D, 3 6 (I)求证：平面B,MC⊥平面AMCD: (2)判断线段CN的长是否为定值？若是，请求出线段CN的长，若不是，请说明理由： 3)求二面角B-AD-M的正切值的最大值. 34.如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，AB⊥BD,PB=8, BC=4,E为PA的中点，F为PD上靠近点P的三等分点。 14/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()设平面PAB∩平面PCD=L,证明：CDM. (2)作出平面BEF与棱PC的交点，并说明作法与理由. (3)当2≤BD≤2W2时，作出二面角B-PC-D的平面角，并求二面角B-PC-D的正弦值的取值范围. 颗型09 根据二面角求参数 35.坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素、安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型 之类.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形 若AB=26m,BC=1Om、且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值 14 均为 5’ 则该五面体的所有棱长之和为() E D A.102m B.112m C.117m D.120m 36,知图，在三棱柱ABC-A4BC中，已知AB1侧面BRCC,BC-1'AB=BB=2,∠BCC-子， B B (I)求证：CB⊥平面ABC: 15/20 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)P是线段BB上的动点，当平面CAP⊥平面A4BB时，求线段B,P的长： V30 BE 3)在棱BB上是否存在一点E'使得二面角C,-AE-4平面角的正切值为5？若存在，求出BB的值： 若不存在，请说明理由， 37.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=V3, 、D -----C (I)求点B到面PAC的距离： (2)若AD⊥PB,证明：AD/I平面PBC; V42 (3)若MD1DC:且二面角A-CP-D的正弦值为7，求AD 0 B组 能力进阶 1.正三棱柱ABC-48C的底面边长为3，侧陵4-35 ,D是B延长线上一点，且BD=BC则二 面角B-AD-B的大小为() A.3 B.6 C.4 π D.3 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在平行四边形A8CD中，∠D1B= 3,AB=2AD,将△DAB沿对角线BD折起，使得平面BCD1平面 ABD,则直线AB与CD所成角的余弦值为 3.如图，在四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD是正方形，A4垂直于平面ABCD,且 AB=2,A4=4,经过顶点A和C各作一个平面与平面CB,D平行，前者与平面ABCD交于(， 后者与平面AB4交于2，则异面直线（与人所成角的余弦值为 D 2兀 4.已知二面角a-1-B的大小为3，棱1上有两个不同的点A'B’ACca,BDcB,AC⊥1： BD⊥I,若AC=AB=BD=1,则直线CD与平面P所成角的正弦值为 5.在直角△ABC中，AC=3,BC=2，,P为斜边AB上一点，将aBCP沿CP折叠到△B'CP,使得二面角 PA B-CP-A为3，且AB'=2:则 6.如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，MA⊥平面ABCD,平面MAB⊥平面 MBC. D (I)证明：AD⊥平面MAB; 1 (②)当MA为何值时，二面角B-MC-D的余弦值为3 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C组 思维拔高 1.如图，在四边形ABCD中，AD1IBC，,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起， 使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列说法正确的是() 3 ①平面ABD1平面ABC:②BD⊥AC:③平面ACD1平面ABC:④锐二面角C-AB-D的余弦值为3 B A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 2.在直三棱柱ABC-4BC中，∠ACB= -3,点D,E分别是棱BB,和棱CC,上的点，且。4DE为等边三角 sina 形，若二面角A-DE-C的平面角为a,∠AEC=B,则sinB 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，aPCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD,PA⊥PD,CD=2, AB=AD=BC=4,PB=23. P A C (1)求证：PA⊥平面PCD: (2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值； ⑧线段pC上是否疗在一点M使得一面角M-A-C的平面角的余弦位为)，若行在，求出pW佰， 5W5 若不存在，请说明理由. 18/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ● 拓展 链接高考 1.(2026天津高考真题)正方体ABCD-ABCD中，错误的是() A.AC∥AC B.CC⊥平面ABC C.平面ACD∥平面AC,B D.平面 ADD,⊥平面ACD 2.(2025·天津·高考真题)若，n为直线，，P为两个平面，则下列结论中正确的是() A.若m/a,nC&,则m/ln B.若m1a,m上B,则a⊥B C.若m/a,m1B,则a上B D.若mca,a1B,则m上B 3.(2024北京高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC11AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD 上，且PE⊥AD,PE=DE=2. D D B (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 4.(2024新课标I卷·高考真题)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2, BC=1,AB=3 19/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D C (I)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; 42 (②若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为7 求4D 20/20