5.1.1变化率问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 聚焦导数概念及变化率，以“基础概念-图像应用-综合情境”分层，通过北京同步考题实现从单一计算到实际问题解决的巩固路径，培养数学眼光与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平均变化率计算与导数概念辨析|直接套用定义公式（如单选1-4计算平均变化率）| |进阶层|导数几何意义与图像分析|结合位移、蓄水量图像判断变化率（如单选5-7分析图像斜率）| |综合层|实际情境中的变化率应用|关联环保、气温等跨学科情境（如单选9-10解决治理与气温问题）|

5.1.1变化率问题同步练（北京专用） 教材知识梳理 导数的概念及其意义 （1）函数的平均变化率：对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）. 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝_________. 我们把比值，即＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. （2）导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处______，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为________），记作_______或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （3）导数的几何意义：函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的____________. 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为________________ （4）导函数的概念：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的_________（简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京大兴·期中）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25高二下·北京·阶段检测）设在处可导，且，则等于（   ） A．6 B． C． D．2 7．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 8．（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 9．（24-25高二下·北京·阶段检测）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 10．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 二、填空题 11．（24-25高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为______℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是______. 12．（2026高二下·北京通州·单元测试）已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为______；估计时的位移为______m． 13．（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化______乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化______乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 14．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为______． 15．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1变化率问题同步练（北京专用） 教材知识梳理 导数的概念及其意义 （1）函数的平均变化率：对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）. 这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝_________. 我们把比值，即＝叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. （2）导数的概念：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处______，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为________），记作_______或y′|x＝x0，即f′（x0）＝lim ＝lim . （3）导数的几何意义：函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的____________. 也就是说，曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）. 相应的切线方程为________________ （4）导函数的概念：当x＝x0时，f′（x0）是一个唯一确定的数，这样，当x变化时，y＝f′（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的_________（简称导数）. y＝f（x）的导函数有时也记作y′，即f′（x）＝y′＝lim . 【答案】 f（x0＋Δx）－f（x0） 可导 瞬时变化率 f′（x0） 切线的斜率 y－y0＝f′（x0）（x－x0） 导函数 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二下·北京丰台·期中）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平均变化率定义求解即可 【详解】因为函数，所以函数在区间上的平均变化率为： . 2．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）函数在区间 上的平均变化率为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】， 平均变化率为：． 3．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【详解】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 4．（24-25高二下·北京大兴·期中）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据导数定义计算求解. 【详解】因为，则 . 故选：D. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【详解】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 6．（24-25高二下·北京·阶段检测）设在处可导，且，则等于（   ） A．6 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用导数的定义即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 7．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 8．（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【分析】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【详解】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 9．（24-25高二下·北京·阶段检测）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】本题可根据的几何意义，结合图象来逐一分析各个结论，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，则， 对于①：表示区间上函数图象割线的斜率的相反数. 在这段时间内，甲企业对应图象割线的斜率小于于乙企业对应图象割线的斜率， 所以甲企业对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确. 对于②：在时刻，甲企业图象切线的斜率小于乙企业图象切线的斜率， 所以甲企业在时刻对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确. 对于③：从图象可以看出，在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量， 即甲、乙两企业的污水排放都已达标，③正确. 对于④：在，，这三段时间中， 这段时间甲企业图象割线的斜率最小，则其斜率相反数最大， 所以甲企业在的污水治理能力最强，而不是，④错误. 综上，①②③正确. 故选：C 10．（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【分析】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【详解】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 二、填空题 11．（24-25高二下·北京大兴·期中）将原油精炼为汽油、柴油等各种产品，需要对原油进行冷却和加热.已知在第时，原油的温度（单位：℃）为，则第时，原油温度的瞬时变化率为______℃/，此原油温度瞬时变化率的意义是______. 【答案】 在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 【分析】这道题考查的是瞬时变化率的求法以及其几何意义. 【详解】自变量从变到的过程中，， 则该函数的平均变化率为， 当趋于时，平均变化率趋于，则在第时，原油温度的瞬时变化率为℃/， 即在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 故答案为：；在第附近，原油温度大约以℃/的速率下降. 12．（2026高二下·北京通州·单元测试）已知某物体运动的位移是时间的函数，且时，；时，.则该物体在时间段内的平均速度为______；估计时的位移为______m． 【答案】 1.94 【分析】根据平均速度的公式直接计算即可；先求出位移的直线方程，再将代入即可求解． 【详解】由题意得，， 经过点的直线方程为， 当时，， 故答案为：15.6，1.94． 13．（24-25高二下·北京·期中）人的心率会因运动而变化，已知运动员甲（）、乙（）在某次运动前后，心率随时间的变化情况如图所示(a，b，c为定义域的四等分点)，并且用的大小评价心率变化的快慢. ①在这段时间内，甲的心率变化______乙的心率变化；(填“大于”、“小于”、“等于”) ②在时刻，甲的心率变化______乙的心率变化.(填“大于”、“小于”、“等于”) 【答案】 大于 等于 【分析】观察图象，割线斜率的绝对值大小表示区间的心率变化快慢，切线斜率的绝对值大小表示某点处的心率变化快慢，即可得解. 【详解】在这段时间内，图象割线斜率的绝对值比图象割线斜率的绝对值大， 所以甲的心率变化大于乙的心率变化； 在时刻，图象切线斜率和图象切线斜率相同， 所以甲的心率变化等于乙的心率变化. 故答案为：大于；等于 14．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为______． 【答案】4.2 【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可. 【详解】设函数，当由1变到1.1时，函数的平均变化率为： . 故答案为：. 15．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则_____． 【答案】3 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足： ， 则 解得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $