4.3.1 等比数列的概念 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册（北京专用）

**基本信息** 聚焦等比数列概念与性质，通过基础认知、综合应用、探究提升三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识巩固与能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|等比数列定义、中项、通项公式|单选题1-3直接考查概念，填空题12巩固基本运算，培养抽象能力| |综合应用|性质应用、单调性判断、实际问题|单选题4-6结合方程与函数思想，填空题11-13融合等差知识，发展推理能力| |探究提升|跨知识综合、充要条件、证明|单选题7-10涉及等差与等比交汇，解答题15构造新数列证明，提升创新意识与模型意识|

4.3.1等比数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是___________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的___________，通常用字母 表示. 数学语言表达式：（为非零常数）. (2)等比中项：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，，我们称为的___________中项. 2．等比数列的通项公式 以为首项，为公比的等比数列的通项公式________． 3．等比数列项的运算性质 ①在等比数列中，若（，，，），则________．特别地，当（，，）时，． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的________点． 5．对于等比数列，通项公式根据指数函数的增减性，可分析当时等比数列的增减性如下表． q的范围 数列的增减性 ________ 常数列 ________ ________ 常数列 ________ 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）两个数和的等比中项为（   ） A．6 B． C．2 D． 4．（25-26高二下·北京·期中）等比数列中，，是方程的两根，则等于（   ） A． B．4 C． D．以上都不对 5．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·北京·期中）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知是等比数列，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·北京房山·期末）等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（ ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 11．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则___________. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）在等比数列中，，，则_____. 13．（25-26高二下·北京·期末）数列满足，，则_________． 14．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 三、解答题 15．（2026高二下·北京·阶段测试）已知数列满足，且． (1)设数列满足，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1等比数列的概念同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是___________，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的___________，通常用字母 表示. 数学语言表达式：（为非零常数）. (2)等比中项：如果在与之间插入一个数，使得成等比数列，那么根据等比数列的定义，，我们称为的___________中项. 【答案】 同一个常数 公比 等比 2．等比数列的通项公式 以为首项，为公比的等比数列的通项公式________． 【答案】 3．等比数列项的运算性质 ①在等比数列中，若（，，，），则________．特别地，当（，，）时，． ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的________，即． 【答案】 积 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为，而是一个不为0的常数与指数函数的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数的图象上的________点． 【答案】孤立 【解析】略 5．对于等比数列，通项公式根据指数函数的增减性，可分析当时等比数列的增减性如下表． q的范围 数列的增减性 ________ 常数列 ________ ________ 常数列 ________ 【答案】 递减数列 递增数列 递增数列 递减数列 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（2026·北京西城·一模）在等比数列中，，则（   ） A．16 B．32 C．64 D．256 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为, 由得, ，两式作比，得，得， 则． 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知，若成等比数列，则实数的乘积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以，，，， 所以，故， 则. 3．（25-26高二下·北京顺义·阶段检测）两个数和的等比中项为（   ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设两个数的等比中项为，，解得． 4．（25-26高二下·北京·期中）等比数列中，，是方程的两根，则等于（   ） A． B．4 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到的值，根据的值的正负判断出的符号，利用等比数列的通项公式结合的符号得到的符号，利用等比数列的性质求出. 【详解】，是方程的两根， ， ，同号， ，同负， ，，同号，， 等比数列，，，故选：A. 5．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】分别证明充分性和必要性. 【详解】根据题意，等比数列中， 若数列为单调递增数列， 则，由于， 则，即或， 当时，，即数列为单调递增数列， 当时，数列正负交替出现，不是单调数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的不充分条件； 若数列为单调递增数列，因为，则，所以， 则，即数列为单调递增数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要条件， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件. 6．（25-26高二下·北京西城·期末）某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设初始产能， 从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为， 所以两边约去， 得 ， 从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为 ， 所以答案是B. 7．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 8．（25-26高一下·北京·期中）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意可得：首项为正数，所以， 即对于任意的正整数,有, 因为可以推出，反之则不成立，所以是该条件的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25-26高三上·北京顺义·期末）已知是等比数列，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设数列首项为，公比为，则，再解方程组结合等比数列通项公式即可求解． 【详解】根据题意，设数列首项为，公比为， ， ，代入，，解得， ， ． 故选：C． 10．（25-26高三上·北京房山·期末）等差数列的首项为1．若成等比数列，则所成等比数列的公比为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设公差为，根据等比中项列方程求出公差，然后可得公比. 【详解】记等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 又，所以，整理得，解得， 所以. 故选：A 二、填空题 11．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知是公比为的等比数列，各项符号相同，且成等差数列，则___________. 【答案】1 【详解】由题意知是公比为的等比数列且成等差数列，所以， 且，两边同时除以，得，解得， 已知数列各项符号相同，因此公比，故. 12．（25-26高二上·北京·阶段检测）在等比数列中，，，则_____. 【答案】6 【分析】先应用等比数列下标和性质得出，进而得出，最后应用通项公式计算求值. 【详解】等比数列中，，则， 又因为，则， 设等比数列中公比为，则，所以， 则. 故答案为：6. 13．（25-26高二下·北京·期末）数列满足，，则_________． 【答案】 【分析】根据题意得到，再结合等比数列的定义即可得到的通项公式． 【详解】由， 得，即， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 14．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知等比数列的前n项积为，其中，，成等差数列，．且有最大值，则的最大值是______． 【答案】64 【分析】根据已知条件及等比数列性质，先求出或，再根据有最大值可判断符合题意，最后利用二次函数性质求出最大值即可. 【详解】由题可得，解得或， 当，时，则， 所以，，而此时无最大值，舍去； 当，时，则，， 因为二次函数的对称轴为，所以当或4时，有最大值， 且的最大值为. 三、解答题 15．（2026高二下·北京·阶段测试）已知数列满足，且． (1)设数列满足，证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，表示出与的关系式，计算得，根据等比数列的定义可证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的通项公式写出数列的通项，从而可得数列的通项公式. 【详解】（1）， ，， ， 因为，故， ． 是首项，公比的等比数列． （2）由（1）知，，又， 所以，所以． 故数列的通项公式为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $