5.1.1 变化率问题 课时同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦变化率问题，分层设计从基础概念到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度进阶，培养运算能力与推理意识，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念应用（平均变化率、位移增量）|选择填空为主，直接应用公式（如第1题位移增量计算）| |中档|综合辨析与情境应用（瞬时速度比较、运动模型）|含多选题（第7题割线斜率分析）和实际情境题（第10题小球运动平均速度）| |提升|逻辑推理与证明（参数求解、变化率证明）|解答题要求推理严谨（如第15题证明任意区间平均变化率为正）|

课时同步作业5.1.1变化率问题 一、选择题 1.若一物体运动的方程是s=2t2,则从2s到(2+d)s这段时间内位移的增量为() A.& B.8+2d C.8d+2d2 D.4d+2d2 2.已知函数f(x)=x2+2x,则f(x)从1到1+△x的平均变化率为（) A.(△x)2+4△x+3 B.(△x)2+4△x C.△x+4 D.4 3.若函数y=x2从x到x。+△x的平均变化率为k,从x。-△x到x,的平均变化率为 k,则k与k的大小关系为() A.k >k B.k<k, C.=k D.不确定 4.已知某质点的运动方程为s=2t2-t,其中s的单位是m,t的单位是s,则该质点 在2s末的瞬时速度为() A.3m/s B.5m/s C.7m/s D.9m/s 5.已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=() A.△x-3 B.(△x)2-3△xC.-3 D.0 6.设函数f(x在点x,附近有定义，且有f(x,+△x)-f(x)=a△x+b(△x)2(a,b为 常数)，则() A.f'(x)=a B.f(x)=b C.f"(xo)=a D.f(xo)=b 7.(多选题)已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+△x,2+△y),则()） A.△y=2△x+(△x)2 B.△y=2(△x)2 C.y=2 D.AY=2+Ax △x △x 8.(多选题)某物体的运动方程为st)=3t2(s单位：m,t单位：s)，若 y=lim △1→0 s3+△)-s3)=18ms,则下列说法中错误的是(） △t A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B.18m/s是物体从3s到(3+△t)s这段时间内的速度 C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D.18m/s是物体从3s到(3+△t)s这段时间内的平均速度 二、填空题 9.若某质点的运动规律为s=t2+3,则在时间段(3,3+△)内，质点的位移增量等于 10.从桥面将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h(单位：m)和时间t(单 位：s)近似满足函数关系h=-5t2+15t+12,小球在t=0到t=1这段时间内的平 均速度是 山若过曲线)=)=产图象上一点(2-2及邻近一点(2+△，-2+a)作割线， 则当△x=0.5时，割线的斜率为一· 2对丁函数y=八到=子，其号数待等丁函数梢的点是 三、解答题 13.若函数f(x)=-x2+x在区间2,2+△x(△x>0)上的平均变化率不大于-1，求△x 的范围. 14.质点按规律st)=at2+1(s单位：m,t单位：s)做直线运动.若质点在 t=2时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值. 15.已知函数f(x)=x3+x,求证函数f(x)在任意区间x,x+△x]上的平均变化率都 是正数 参考答案 1.C解析：△s=2(2+d)2-2×22=8d+2d2,故选C. 2.C解析：函数f(x)=x2+2x在区间[1,1+△x]上的平均变化率为 (1+△x)2+2(1+△x)-1-2 =△x+4 △x 故选C, 3D解析：由题意知 kAr)-(tAr)+. △x △x k:=f(%o)-f(xo-Aw)--(%-Ax)-2x-Ax. △x △x 因为△x可正也可负，所以k与k2的大小关系不确定 4.C解析：由S=2t2-t可知， 2(2+△)2-(2+△t)-(2×22-2 lim =lim7+2△t)=7, △1→0 △t △1)0 所以该质，点在2s末的瞬时速度为7ms，故选C. 5.C解析：由f(x)=x2-3x可知， ()=lim 0+Axy-30+Ax-02+3x0-1mP-3A=imAx-3)=-3。 △x △x→0 △x 故选C 6.C解析： f(xo)=lim fx,+△x-f(x】=lim(a+b-△r)=a, △x0 △x Ax-0 故选C, 7.AD解析：△y=f1+△x)-f(1=(1+△x)2+1-2=2△x+(△x)2,可得 △y_2Ax+(△=2+Ax, △x1+△x-1 故选AD. 8.ABD解析：v=li s3+△)-s3) 是物体在3S这一时刻的瞬时速度，故选ABD· △1-→0 △t 9.6△t+(△t)2解析：位移增量=s3+△t)-s(3)=(3+△)2+3-9+3=6△t+(△t)2. 10.10m/s解析：因为h=-5t2+15t+12,所以当t=0时，h=12;当t=1时， h=-5+15+12=22. 所以小球在t=0到t=1这段时间内的平均速度为 △h_22-12=10(m/s. △t1-0 2 2.5 5 115解析：当Ar=05时，2+Ax=2.5,故-2+Ay= 25,设 5 +2 k=3 2 2.53 12. -24 解析：设该点为(xo,o), 1 1 f(xo)=lim fx,+A-fl-m+AG-子 △x Ar0 △x 由题意知，"=fx,即-2= 1 xx ，解得，=-2，从而 4 13.解：因为函数f(x)在区间2,2+△x]上的平均变化率为 △y =f2+△)-f2) △r △x =-(2+A)+(2+△)-(-4+2) △x =-4Ar+△x-(△x)2 △x =-3-△x, 所以由-3-△x≤-1，得△x≥-2 又△x>0,所以△x的取值范围是(0，+0. 14.解：：△s=s(2+△t)-s(2)=[a2+△t)2+1]-(a22+1=4aAt+a(A)2, △s=4a+aAt, △t ∴.在t=2时，瞬时速度为lim △s=4a,4a=8,.a=2. →0△t 15.证明： △y -f(x+Ax)-f(x) △x △x =(x+Ar)'+x+Ar-x'-x △x =3x2+1+3x△x+(△x)2 =3x2+3△x·x+(△x)2+1, 由于方程3x2+3△x·x+(△x)2+1=0的判别式为 (3△x)2-4×3(④x)2+1=-3(Ax)2-12<0, 则3x2+3△x·x+(△x)2+1>0对一切x∈R成立， 所以fx+△)-f儿☒>0，故f(x在任意区间[x,x+A上的平均变化车都是正数。 △x