31.3二次函数与一元二次方程（教学课件）数学新教材人教版五四制九年级上册

第三十一章 二次函数 31.3 二次函数与一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的对应关系.能根据二次函数图象判断一元二次方程根的情况，反之亦然. 会利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题。 初步掌握利用函数图象求一元二次方程近似根的方法； 通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的抽象概括能力。 1.二次函数 () 的图象是什么形状？ 2.它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 新课引入 回顾 对称轴 顶点坐标 开口方向 直线 时，开口向上 时，开口向下 增减性 以基础，左右两边的增减性相反 最值 时，， 有最小值 ； 时，， 有最大值 3 新课引入 探究 我们以前学习过一次函数与一元一次方程的关系，你还记得一次函数 () 的图象与 轴的交点和一元一次方程 的根有什么关系？ 就是一元一次方程 的根. 二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？本节课我们就来探究—— 二次函数与一元二次方程。 一次函数 () 的图象与 轴交点的横坐标 反之，一元一次方程 的根，就是一次函数 () 的图象与 轴交点的横坐标。 二次函数与一元二次方程之间是否也存在类似的联系呢？本节课我们就来探究—— 二次函数与一元二次方程。 4 新知探究 探究1 二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的关系 1.如图，下列二次函数的图象与 轴有公共点吗？ 2.如果有，公共点的横坐标是多少？ 3.当 取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1) ； ②当 取公共点的横坐标时，函数值是 . ①与 轴有两个公共点，它们的横坐标分别是 ， ③由此可知，方程 有两个不相等的实数根 ， 5 新知探究 (2) ； ①与 轴只有一个公共点，这个点的横坐标是 . ②当 时，函数值是 ③方程 有两个相等的实数根 。 (3) . ①与 轴没有公共点。 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 轴的公共点的情况。 ②方程 没有实数根。 6 与 轴的公共点 知识小结 讨论 结合以上分析，小组交流讨论二次函数图象与 轴的公共点和一元二次方程根的关系. 一般地，从二次函数 的图象，可得如下结论： 因此 是一元二次方程 的一个根。 公共点的横坐标是 当 时，函数值是 0. 即可以通过二次函数图象直接得出一元二次方程的解. 7 知识小结 二次函数 的图象与 轴的公共点 一元二次方程 的根 判别式 两个公共点 两个不相等的实数根 一个公共点 两个相等的实数根 没有公共点 没有实数根 思考 二次函数图象与 轴的公共点与一元二次方程的根有什么对应关系？ 8 教材例题 【分析】以池中心为原点建立平面直角坐标系，将水柱轨迹设为顶点式抛物线，代入落地点坐标反推水管高度. 二次函数的图象与一元二次方程的解 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1.6 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3.6 m，水管的长应为多少？ 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 轴，水管所在直线为 轴，建立平面直角坐标系。 点 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 9 教材例题 二次函数的图象与一元二次方程的解 由这段抛物线经过点 ，可得 解得 因此 当 时，，也就是说，水管的长应为 m。 10 新知巩固 二次函数与坐标轴的交点问题 已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_________． 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴没有交点，则，进而求解． 【详解】解：抛物线与轴没有交点， ∴， 解得， 的取值范围是． 故答案为：． ． 11 新知探究 探究2 利用函数图象求一元二次方程的近似根 利用函数图象求方程 的根的近似值(结果保留小数点后一位) 解：画出函数 的图象 它与 轴的公共点的横坐标大约是 ，． 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的． 所以方程 的实数根为 ，． 12 新知探究 思考 为了得到更精确的近似根，你还能想到什么办法吗？ ① 观察图象，确定根所在的大致范围： 二分法 ②继续观察图象可知，根在 之间 ③ 和 的平均数 计算得 与 时的函数值异号，所以根在 之间。 不断缩小根所在的范围，直到达到要求的精确度. 二分法动态演示 放映状态下点击图象即可 13 知识小结 利用函数图象求一元二次方程近似根的步骤： (1) 画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围。 (2) 用二分法不断缩小根所在的范围，直到达到要求的精确度。 (3) 写出方程的近似根。 14 新知巩固 的平移规律 已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______________． 【分析】根据表格中的数据计算即可． 解：根据表格中的数据可知： 当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 故答案为：． 15 巩固训练1 二次函数与坐标轴的交点问题 抛物线与轴的两个交点分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】求出一元二次方程的两个根，，即可得出抛物线与轴的两个交点，． 解：令， 即， 解得一元二次方程的根为：，； 则抛物线与x轴的两个交点分别为和； 故答案选：A． 16 巩固训练1 二次函数与坐标轴的交点问题 变式题 如果抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的另一个交点的坐标是（   ） A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0） 解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为 对称轴为直线， 抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-2，0） ， 故选：C 17 巩固训练2二次函数的图象与一元二次方程的解 已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（      ） A．， B．，0 C．，0 D．3，0 【分析】根据抛物线与x轴交点的横坐标，即可得方程的解． 解：∵二次函数的图象与轴的交点的横坐标为与， 故选：A． ∴的两根为： ，． 18 巩固训练2二次函数的图象与一元二次方程的解 变式题 二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：一元二次方程的根 即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与轴有两个不同的交点 即方程有两个不相等的实数根 故选：B． 19 巩固训练3判断一元二次方程的解的近似值 已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值． 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 根据表格，可以估计方程的近似解是（   ） A．-0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．-0.75和2.75 【分析】通过表中数据确定当时，在和之间，再根据对称性得到当时，还在和之间，据此即可得到答案． 20 巩固训练3判断一元二次方程的解的近似值 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 故选：D． 根据二次函数的对称性可知 当时，还在和之间， 21 巩固训练3判断一元二次方程的解的近似值 变式题 利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1） 解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 作出二次函数的图象（如图） 由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根． 当时，； 当时，． 因此，是方程的一个近似根． 同理，2.4是方程的另一个近似根． 22 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 感谢聆听! 24 $