26.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过“温故知新”回顾一次函数与一元一次方程的联系，从形（直线与x轴交点）和数（函数值为0时x的值）两方面搭建认知支架，引导学生迁移探究二次函数与方程的关联。 其亮点在于以三个二次函数实例为载体，让学生画图观察与x轴交点对应方程根的情况，结合表格归纳判别式与交点个数的关系，体现数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识）。例题解析将小球飞行问题转化为方程求解，渗透模型意识，小结从数与形两方面梳理，帮助学生构建知识体系，教师可直接用于课堂教学提升效率。

26.3 二次函数与一元二次方程 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 思考：你如何看待等式2x-1=0? 你能求出x的值吗? 等式 2x-1=0 方程角度 一元一次方程2x-1=0的解 函数观点 一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值 数 2x=1 一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值 直线y=2x与直线y=1交点的横坐标 直线y=2x-1与x轴交点的横坐标 形 温故知新 方程角度 一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解 直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 温故知新 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1. 由此 ， 你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？ 探索新知 先画出函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 x1=-2，x2=1. 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ x1=x2=4. 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根. (2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 解：Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×3＝4＞0. 1. 判断抛物线y＝x2－4x＋3与x轴的交点个数. ∴抛物线与x轴的交点个数为2个. 对应练习 2. 下列抛物线与x轴无交点的是 ( ) A. y＝x2＋x－1 B. y＝x2＋x＋1 C. y＝x2＋x D. y＝x2 B 对应练习 解：Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(m－1)＝8－4m. 3.若抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有2个交点，求m的取值范围. 依题意，得8－4m＞0. 解得m＜2. 对应练习 4. (2025·东莞三模)若二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x 轴有交点，求m的取值范围. 解：∵二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴有交点， ∴方程x2－4x＋m＝0有实数根. ∴Δ＝(－4)2－4m≥0，解得m≤4. 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ 例题解析 小球的飞行高度能否达到20 m 二次函数h=20t−5t2的函数值能否取20 一元二次方程20=20t−5t2有无实数根 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 实际问题 抽象 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ 例题解析 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）． 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 1.二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象大致是( ) B A B C D 课堂练习 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 1.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) B 课堂练习 2.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝－1，x2＝2，则抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标是( ) A.(－1，0) B.(2，0) C.(－1，0)和(2，0) D.(1，0)和(－2，0) C (1)若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝－2，则抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线 _______.  (2)[2025·安庆潜山期中]已知ax2＋bx＋c＝0的一个解是x＝4，二次函数y＝ax2＋bx＋c－1(a≠0)的对称轴是直线x＝3，则方程ax2＋bx＋c＝0的另一个解是　 　.  x＝－　 x＝2 3.下列抛物线中与x轴有两个交点的是( ) A.y＝x2 B.y＝x2＋2 C.y＝2x2－3x＋5 D.y＝2x2－3x－5 D 已知交点个数判断解析式→已知交点个数求字母系数的值(或取值范围) (1)[2024·长春中考]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没 有交点，则c的取值范围是　 　.  (2)[2025·合肥蜀山区校级三模]直线y＝2与y＝ax(1－x)的图象有两个不同的交点，则a的取值范围是　 　.  c＞ a＜0或a＞8 A.有两个不相等的实数根 B.有两个异号实数根 C.有两个相等的实数根 D.无实数根 4.已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( ) C 5.设二次函数y1＝ax2＋bx＋c，y2＝ax2＋bx＋c＋1，函数y1，y2的图象与x轴的两个交点之间的距离分别为m，n.已知函数y1的最小值是－2，则m　 　n.(填“＞”“＝”或“＜”)  　＞　 6.抛物线y＝ax2－2x＋3的对称轴为直线x＝1，抛物线y＝ax2－2x＋3＋m在－2＜x＜3内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是　 　. 　m＝－2或－11＜m≤－6　 7. 已知抛物线y＝－kx2－4x－2与x轴有交点，则k的取值范围是___________. k≤2且k≠0 8.已知二次函数y＝x2－(m－2)x＋m－3(m是常数). (1)求证：无论m为何值,该二次函数图象与x轴一定有交点； 解：(1)由题意得Δ＝[－(m－2)]2－4(m－3)＝m2－4m＋4－4m＋12＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点. (2)若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值. (2)设抛物线与x轴的交点分别为(a，0)，(b，0). 由题意得|a－b|＝4，a＋b＝m－2，ab＝m－3， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝16， ∴(m－2)2－4(m－3)＝16，解得m＝0或m＝8. 解二元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 确定二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0) 的图象与x轴公共点的横坐标 数 形 课堂小结 $