第三十章《直线与圆的位置关系》单元自测卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦《直线与圆的位置关系》，通过基础题与情境应用题结合，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|位置关系判断、圆与坐标轴位置等|第4题结合太阳高度角情境，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|相离条件、切线作图依据等|第12题切线作图原理，强化推理意识| |解答题|8/72|切线证明、内切圆作图等|第24题切线与直径综合证明，提升空间观念|

第三十章《直线与圆的位置关系》单元自测卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.如果⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为d,且d=3cm,那么⊙O和直线l的位置关 系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 2.在平面直角坐标系中，以点O3,2为圆心，2为半径作⊙0，则下列说法错误的是() A.⊙O与x轴相切 B.⊙O与y轴相离 C.点P2,2在⊙O内 D.点Q4,3在⊙0外 3.如图，点A,B,D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BF于点C,且∠OCB=40°， 连接OB,则直线BC与⊙O的位置关系为() D 的 A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 4.如图，⊙O是地球示意图，AB表示赤道，太阳光线马1‖l2、地平面l与⊙0相切.某时刻某 地纬度41=32°，太阳光直射纬度42=23°，则太阳高度角（太阳光线与地平面的夹角）∠3 的度数为() 地平面 赤道 A A.50° B.45° C.40 D.35 5.已知⊙01与⊙02内切于点A,⊙01的半径等于5,0102=3，那么02A的长等于() A.2 B.3 C.8 D.2或8 6.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,FG与OO相切于点E,交PA于点F,交PB于点 G,若PA=5cm:则△PFG的周长为（) AF G B A.5cm B.7cm C.9cm D.10cm 7.已知△ABC的三边长a,b,c满足a-4+Rb-1-2?+1c-3=0则△ABC的内切圆半径 为() A.1 B.2 C.3 D.4 8.如果⊙01与⊙02内含，圆心距0102=3，⊙01的半径长是5，那么⊙02的半径长r的取值范 围是(). A.0<r<2 B.2<r<8 C.0<r<2或r>8D.r>8 9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，⊙D是△ABC的内切圆，连接AD,BD,则 ∠ADB的度数为() B D A.120° B.135° C.145° D.150° 10.五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子C中的微粒像足球一样团结在 一起.一个烯分子由12个正五边形、20个正六边形组成（如图①所示)·如图②，在正六边 形ABCDEF中，连接BE,若BE=18,则正六边形ABCDEF的边长为() D 图① 图② A.6 B.9 C.12 D.18 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为4，若直线1与⊙O相离，且r为整数，则r的 值可以为】 (写出一个即可) 12.已知⊙O及⊙O外一点P,求作直线PD,PE,使PD,PE与⊙O相切于点D,E【操作步 骤】小威与小组同学们经过思考与探索，想出了如下作法（图2）： ①莲接oP,分别以点0P为图心，大于0P的长为半径高或，商双交于点水G ②作直线AC,交OP于点B: ③以点B为圆心，OB长为半径画弧，交⊙O于点D,E: ④作直线PD,PE,则直线PD,PE 即为所求.请给出PD,PE为切线的理论依据： 请写出定理的内容) B 图1 图2 13.如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C,圆周 上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC=MD=AC,连接AD.现有下列结论：① MD与O0相切；②四边形ACMD是菱形：③AB=MO:④∠ADM=120:其中正确的结论是 (填序号)· B 14.如图，PA与⊙O相切于点A,PB与⊙O相切于点B,M为AB上一点，过点M与⊙O相切 的直线分别交PA,PB于点E,F.若△PEF的周长为12，则PA的长为 D F\B 15.如图，点I为△ABC的内心，若∠BAC=80°，则∠BAI的度数为 B 16.已知一正多边形的一个外角等于72°，则该正多边形的中心角等于 三、解答题（本题共8小题，共72分） 17.(8分)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB,AC,分别与小圆相切于 点D、E.求证：AB=AC. D 0 E 18.(8分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠B=∠CAD A (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)连接OA,若∠B=30°，AC=3,求扇形OAC的面积. 19.(8分)如图，⊙O是以等腰△ABC的腰AB为直径所作的圆，点D是⊙O与底边AC的交 点，自D点作DE⊥BC,垂足为点E,过点B作OO的切线BF,交AC于F D B (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为5，DE=3,求此时DF的长. 20.(8分)如图坐标系中，A1,2,以A为圆心，r为半径画圆， (1)当⊙A与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是_； (2)当⊙A与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是_一； (3)当⊙A与坐标轴有三个公共点时，r的取值范围是_； (4)当⊙A与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是_； A 21.(10分)(1)尺规作图：如图，已知△ABC.求作：△ABC的内切圆⊙O.(要求：不 写作法，保留作图痕迹)· (2)△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,R,且AB=5cm,BC=7cm ,CA=6cm,求AF的长. 22.(10分)如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心. Q.1 Q.1 B B 图① 图② (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点D,使得BD=D BC (2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由，（如需画草图，请使用图 2) 23.(10分)如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OA,OC,AD. B E (1)求∠ADC的度数； (2)若⊙O的半径为1，求扇形AOC(阴影部分)的面积. 24.(10分)如图，以AB为直径的⊙O经过点C,点D是AC的中点，连接AD,过点D作⊙O 的切线交BA延长线于点E. D (I)求证：∠ADE=∠CBD; (2)若⊙O的半径为5，AD=4,求AC的长. 参考答案 一、选择题 1.C 解：⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离d=3cm, ∴.d<r, 根据判定规则可得⊙O和直线1的位置关系是相交. 2.D 解：在平面直角坐标系中，以点03,2为圆心，2为半径作⊙0， ∴.到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴.⊙O与x轴相切，⊙O与y轴相离，故选项A、B正确，不符合题意； “0P=3-2+2-2=1<2' 则点P2,2在⊙O内，故选项C正确，不符合题意； “0Q=3-4+2-3=2<2' ∴.点Q4,3在⊙O内，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 3.B 解：∠A=25°， .∠B0D=2∠A=2×25°=50· ·.:∠BOC+∠OCB=50°+40°=90°， ∴.∠OBC=90°， ∴.BC⊥OB 0B是⊙0的半径， BC是⊙0的切线，即直线BC与⊙0的位置关系为相切. 故选：B 4.D 如图，设切点为D,连接OD, 地平面 赤道 3 B八E S ,地平面与⊙O相切于D, .∠ODE=90°， 太阳光线l2, ∴.∠1+∠2+∠3+∠ODE=180°， .∠1=32°，∠2=23°， ∴.∠3=180°-90°-32°-23°=35°， 5.D 根据题意可知分两种情况讨论： ①01A>02A,.0A=5,0102=3, ∴.02A=01A-0102=2 ①02A>01A,.01A=5,0102=3, ∴.02A=01A+0102-8 故选D. 6.D 解：：PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, ∴.PA=PB=5cm' :A,FE分别与⊙0相切于点A,E, ∴.FA=FE, :≥，GB分别与⊙0相切于点E,B: ∴.≥=GB .'CAPFG=PF+FG+PG =PF+FE+EG+PG =PF+FA+GB+PG =PA+PB =5+5 =10cm 7.A 解：：a-4+b-1-2+c-3=0 ∴.c=3’a=4,b=5 .32+42=25=52, ∴.c2+a2=b2, △ABC是直角三角形. 设内切圆的半径为”. 报程题意，得S。m×3x4=×3r+4r+月×5即6=6r, 2 2 解得r=1 故选：A. 8.C 解：当⊙01内含于⊙02时，则0102<r-5, .3<r-5, .r>8; 当⊙02内含于⊙01时，则0102<5-r, .3<5-r, ∴.0<r<2: 综上所述，0<r<2或r>8, 故选：C 9.B 解：⊙O是外接圆，AB是直径， ∴∠C=90°， ∴.在△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°， ⊙D是内切圆， ∴.DA,DB是∠CAB,∠CBA的角平分线， .∠DAB+∠DBA=|∠CAB+∠CBA=号×90=45， ∴.在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB+∠DBA=180°-45°=135°， 故选：B. 10.B 解：设正六边形ABCDEF的边长为a, ,正六边形的六个顶点均匀分布在圆周上，中心角为60， :.正六边形的对顶点连线（长对角线）经过中心，长度为边长的2倍， :B、E为正六边形的一组对顶点， .∴.BE=2a' .BE=18, .∴.2a=18, .a=9 二、填空题 11.3(答案不唯一) ,直线1与⊙O相离， ∴.圆心0到直线1的距离d>r.已知d=4, ∴.4>r,即r<4, 又.r为整数且r>0, ∴.r可取1,2,3. 故答案为：3 12.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 证明：如图，连接OD,BD, D B 米c 根据题意，得AC垂直平分OP,OB=BD, ..OB=BD=BP. ∴.∠BOD=∠ODB,∠BDP=∠DPB, 又.：∠BOD+∠ODB+∠BDP+∠DPB=180°， ∴.∠ODP=∠ODB+∠BDP=90°， ∴.OD⊥DP, 又，OD为⊙O的半径， .PD与⊙O相切； 同理：PE与⊙O相切； ∴PD,PE为切线的理论依据为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 13.①②③④ 解：连接OC,OD, OC=OD,CM=DM,OM=OM, ∴.△CMO≌△DMO SSS' .∴.∠ODM=∠OCM' :MC与oo相切于点C, .∴.∠OCM=90, .∠ODM=90, .0D是⊙0的直径， ∴.MD与⊙0相切；故①正确； .'△CMO≌△DMO .∴.∠COM=∠DOM' .∠AOC=∠AOD .OA=OA' .∴.△AOC≌△AODSAS ∴.AC=AD ∴.AC=AD=CM=DM, ,四边形ACMD是菱形，故②正确； .∵AC=CM, ∴.∠CAM=∠CMA, .∠COM=2∠CAM' .∴.∠COM=2∠CMO' ∴.∠CMO=30, 1 .∴.OC=5OM, 2 OC=2AB, .AB=OM,故③正确： ,四边形ACMD是菱形， .∴.∠DAM=∠DMA=∠AMC=∠CAM=30, ∠ADM=120,故④正确； 故答案为：①②③④. B 14.6 解：由题意可得：PA=PB.EA=EM, 同理，.FB,FM是⊙O的切线，切点分别为B,M, ∴.FB=FM· :CAPEF=PE+EF+PF· ∴.C△PEr=PE+EM+FM+PF=(PE+EA)+(PF+FB)=PA+PB· 又'PA=PB, .C△PEF=2PA~ :△PEF的周长为12，即CAE=12: .CAPEF=2PA,可得2PA=12: 解得PA=6 故答案为：6 15.40°/40度 解：点I为△ABC的内心， ∠BAI=∠CAI-=2<BAC, .∠BAC=80, ∠B4I=号×80=400， 故答案为：40° 16.72° 解：：任意正多边形的外角和为360°，该正多边形的一个外角等于72°， 360° 该正多边形的边数为 72.5. 又：正n边形的中心角为360 n 360 该正多边形的中心角为 -=72°. 三、解答题 17. 连接OE,OD, B ,AB,AC分别与小圆相切于点D、E, ∴.OE⊥AC,OD⊥AB,AD=AE, AB,AC是大圆的弦， .'.AD=IAB,AE=IAC, 2 ∴.AB=AC. 18.(1) 证明：如图，连接OA, ,BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， .OA=OB, .∠OAB=∠B, .∠B=∠CAD ∴.∠OAB=∠CAD, ∴.∠OAB+∠OAC=∠CAD+∠OAC, 即∠BAC=∠OAD, ∴.∠OAD=90°， :OA是⊙0的半径， ∴AD是⊙O的切线； (2)解：：∠B=30°， ∴.∠A0C=2∠B=60°， OA=OC, “△OAC是等边三角形， ..OA=AC=3, ∴.扇形OAC的面积 60×π×32=3 360 2 19.(1) 证明：.AB=BC, ∴.∠A=∠C. DE⊥BC, ∴.∠DEC=90°， ∴.∠CDE+∠C=90. .AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， ∴.∠A+∠ABD=90°，∠CDE+∠BDE=90°， ∴.∠BDE=∠C=∠A. .BO=OD, ∴.∠OBD=∠ODB, ∴.∠BDE+∠ODB=90°， ∴.DE⊥OD, .DE是⊙O的切线： (2)过点D作DG⊥AB,交AB于点G, D B .AB=CB,∠ADB=90°， .BD平分∠ABC. DE⊥BC,DG⊥AB, ∴DG=DE=3 在Rt△ODG中，OD=5,DG=3, ∴0G=V0D2-DG2=4, ∴.BG=1,AG=9 在Rt△ADG中，AG=9,DG=3, 根据勾股定理，得AD=Vg+3=3V10. BF是⊙O的切线， ∴.∠ABF=∠AGD=90°， .DG‖BF, 架瓷 即3109 DF-1' 解得DF=10 3· 20.(1)解：如图所示，当⊙A恰好与y轴相切时，设切点为C,连接AC, .AC1y轴， A1,2, ∴.r=AC=1, 当r>1时，⊙A必定与y轴有两个交点，当0<r<1时，⊙A与x轴和y轴都无交点， ∴当⊙A与坐标轴有一个公共点时，r的取值范围是r=1, 故答案为：r=1; (2)解：如图所示，当⊙A恰好与x轴相切时，设切点为D,连接AD, ∴.AD⊥X轴， .A1,2, AD=2, “.当1<r<2时，⊙A与y轴有两个交点，与x轴无交点， 当r>2时，⊙A与x轴和y轴都有两个不同的交点，即此时⊙A与坐标轴最少有3个交点， ∴.当⊙A与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是1<r<2, 故答案为：1<r<2: (3)解：由(2)可知，当r=2时，A与y轴有两个交点，与x轴有一个交点，且不是 原点， ∴.当r=2时，⊙A与坐标轴有3个交点； 如图所示，当⊙A恰好经过原点时，此时⊙A与y轴有两个交点，与x轴有两个交点，但 是其中有一个交点是原点，即此时⊙A与坐标轴有三个交点， ∴.此时，=2-0P+1-0P=5 综上所述，当r=2或r=5时，⊙A与坐标轴有三个交点， 故答案为：r=2或r=V5; (4)解：如图所示，当2<r<5或r>V5时，⊙A与y轴有两个交点，与x轴有两个交点， 且不经过原点，即此时⊙A与坐标轴有4个交点， 故答案为：2<r<V5或r>5. 21. （1)如图所示. (2)如图所示， ,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切与点D,E,F, .∴AE=AF,BF=BD,CD=CE .AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, .∴.BF=(5-AF)cm, ∴.BD=(5-AF)cm. 则CD=[7-(5-AF)]=(2+AF)cm, ∴.CE=(2+AF)cm, 则AE=[6-(2+AF)]=(4-AF)cm, 即AF=4-AF, 解得AF=2cm, 22.(1) 如图所示，点D为所求： D 解：，点O是△ABC的外心， ∴⊙O是△ABC的外接圆， .点I是△ABC的内心， ∴AD平分∠BAC,BI平分∠ABC, ∴.∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠CBI, CD=CD ∴.∠CAD=∠CBD, ∴.∠BAD=∠CBD,∠BID=2∠BAD ∴.∠DBI=∠CBD+∠CBI=2∠BAD=∠BID, ∴.BD=ID; (2) 点D是图中△BCI的外心，理由如下： 如图，连接CD,CI, A B D 由(1)知∠BAD=∠CAD, BD=CD' 即BD=CD' .'BD=ID=CD. 23.(1)解：，正五边形ABCDE内接于⊙O, A0G=360×号=14 ∠ADC=∠A0c=72: (2)由(1)得∠A0C=144, :⊙0的半径为1， :扇形40C(阴影部分)的面积为：S=mr=144πx1_2r. 360 360 5 24.(1)证明：如图，连接OD交AC于点F. C D :DE与⊙O相切于点D: .OD1DE?即∠ADE+∠ODA=90: :AB是⊙0的直径， :∠ADB=90,即∠ODA+∠BD0=90, ∴.∠BDO=∠ADE OB=OD' ,∴.∠OBD=∠BDO ∴.∠OBD=∠ADE· :点D是AC的中点， .∴.∠OBD=∠CBD' .∴.∠ADE=∠CBD (2)解：设OF=x, .⊙0的半径为5， ∴.OA=OD=5, ∴DF=OD-OF=5-x, ,点D是AC的中点， .OD⊥AC 在Rt△AOF中，AF=OA2-OF2, 在Rt△ADF中，AF2=AD2-DF2, .AD2-DF2=0A2-0F2, ,AD=4 .16-(5-x)2=25-x2, 解得x=3.4, .0F=3.4 AF=V0A2-0F-5-3.4=42I 5 ·AC=2AF=8V21 5