第三十章 直线与圆的位置关系 单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“直线与圆的位置关系”，通过基础判断、综合证明及生活情境题，覆盖切线性质、外心内心等核心知识点，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线与圆位置关系判断、切线长定理|如第4题结合切线性质与内心判定，层次递进| |填空题|6|切线性质、概率应用|第10题以花园水池为情境，体现模型意识| |解答题|5|切线证明与计算、几何综合|16题切线判定结合勾股定理，19题切线与平行线综合，贴合中考几何命题趋势|

第三十章 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．已知的半径为，圆心到直线距离为，则与直线位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 3．若直线l与半径为6的相离，则圆心O到直线l的距离d满足（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 6．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 8．如图，切于点A、B，直线切于点E，交于F，交于点G，若，则的周长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，，，以点为圆心，为半径的与的位置关系是______． 10．如图，是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，已知，，，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率________（填>、<或=）． 11．如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为______． 12．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线． 13．如图所示，直线与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度向右作平移运动，当移动_________秒时，直线恰好与相切． 14．如图，中，，，，I为的内心，则______． 三、解答题 15．如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 16．如图，是的切线，是 上一点，且． (1)求证：是 的切线； (2)交于点 ，若，，求的半径． 17．如图，在矩形中，点是边的中点，是的外接圆，交边于点． (1)求证：； (2)当是以点为中心的正六边形的一边时，求证：． 18．如图，是⊙O的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交⊙O于点D，连接，． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，求的长． 19．如图，已知，，以为直径作，交于点D，过D点作的切线交边于点C，交的延长线于点P． （1）求证：； （2）如果，求的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B D B C C C 1．A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的判定，根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系即可判断位置关系，当时直线与圆相离，时相切，时相交． 【详解】∵的半径，圆心到直线的距离，且，即， ∴与直线的位置关系是相离． 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关键．直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可． 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 3．B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线的位置关系，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离大于半径即可求解． 【详解】解：∵直线与相离，的半径为， ∴圆心到直线的距离， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 6．C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 7．C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 8．C 【分析】此题考查了切线长定理，由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解，掌握切线长定理是解题的关键． 【详解】解：根据切线长定理可得：，，， ∴的周长， ， ， ， 故选：C． 9．相交 【分析】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．根据勾股定理可知．作于点，则的长表示圆心到的距离．根据等积法求出的长，与半径比较大小后判断． 【详解】解：如图，作于点． ，，， ，，即， ， ， 与的位置关系是相交， 故答案为：相交． 10． 【分析】通过已知条件求出圆的半径，根据圆的面积占比就可以推算出概率，进一步得到答案． 【详解】解：如下图：设圆O与△ABC的三边相切于点D、E、F， 连接OD、OE、OF，设半径为r ∴，， ∴ 又∵ ∴为直角三角形，且 ∴四边形为矩形 又∵ ∴四边形为正方形 ∴ 又∵圆是三角形的内切圆， ∴ ∴，， ∴ 解得： 所以的面积， ∵ ∴树叶恰好落入水池的概率大于； 故答案为：＞ 【点睛】本题考查三角形的内切圆与概率的实际应用，根据面积占比推算概率是常考的知识点. 11． 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，根据切线长定理，得到，等边对等角求出的度数，切线的性质得到，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是的切线，是的直径， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 12．60 【分析】由已知可求得∠OAB的度数，因为OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线，从而可求得∠CAB的度数． 【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°， ∴， ∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线， ∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握切线的判定定理是解答此题的关键． 13．或 【分析】作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，设直线EF的解析式为y=x+b，由⊙O与直线EF相切结合三角形的面积即可得出关于b的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可求b值，从而得出点E的坐标，根据运动的相对性，即可得出结论． 【详解】解：作EF平行于MN，且与⊙O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示． 设直线EF的解析式为y=x+b，即x-y+b=0， ∵EF与⊙O相切，且⊙O的半径为1， ∴， 解得：b=或b=， ∴直线EF的解析式为或， ∴点E的坐标为（，0）或（，0）． 令y=x2中y=0，则x=2， ∴点M（2，0）． ∵根据运动的相对性，且⊙O以每秒1个单位的速度向右作平移运动， ∴移动的时间为秒或秒． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是求出点E、M的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用运动的相对性变移圆为移直线，降低了解题的难度． 14．/ 【分析】本题考查了正切的定义、三角形内心的概念、勾股定理以及正方形的判定与性质，解题关键是掌握相关概念，构造直角三角形，利用三角形面积关系求解． 分别过I点作于D，于E，先求出，再利用三角形的面积关系求出和后即可求解． 【详解】解：如图，分别过I点作于D，于E， ∵中，， ∴四边形是矩形， ∵I为的内心， ∴， ∴四边形是正方形 ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 15． 解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】略 16．(1) 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． (2) 【分析】本题考查圆的切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出所需的辅助线是解题的关键． （1）连接，由是的切线，得，再证明，则，即可证明是 的切线； （2）设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）设的半径为， ， ， ，                  ， 解得（不符合题意，舍去）， ∴的半径为2． 17．(1)证明：四边形是矩形，且点是边的中点， 在和中， ， ∴ ； (2) 证明：如图，连接，并延长交于点， 四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ， 是以点为中心的正六边形的一边， 由正六边形性质可得∶， ∵， 是等边三角形， 又 ， ， ． 【分析】（1）根据矩形的性质及线段中点的定义得到三角形全等的条件，则，根据“全等三角形的对应边相等”得到 （2）连接，并延长PO交AD于点M，先证明，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”得到为等边三角形，然后根据“两直线平行，内错角相等”得到，则，最后根据“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等”得到． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) 证明：如图，连接，， 是⊙O的直径，， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 为⊙O的半径， 直线是⊙O的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：，由（1）得：， ， ， ，即， ． 19．（1）见详解；（2）3 【分析】（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到OD⊥PC，由，OA=OD，可得∠E=∠ODA，从而得OD∥BE，进而即可得到结论； （2）利用OD∥BE得到∠DOP＝∠ABC＝60°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD＝2，PO＝4，则PB＝6，然后在Rt△PBC中利用∠P＝30°得到BC的长． 【详解】（1）证明：连接OD，如图， ∵PD切⊙O于点D， ∴OD⊥PC， ∵， ∴∠EAB=∠E， ∵OA=OD， ∴∠EAB=∠ODA， ∴∠E=∠ODA， ∴OD∥BE， ∴ （2）解：∵OD∥BE， ∴∠DOP＝∠ABC＝60°， 在Rt△POD中，∵∠P＝90°−∠DOP＝30°， ∴OD＝PD＝×2＝2， ∴PO＝2OD＝4， ∴PB＝PO＋OB＝6， 在Rt△PBC中，BC＝PB＝3． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $