34.3.1直线与圆相离、相切、相交（分层作业,9大知识点）数学新教材人教版五四制九年级上册

**基本信息** 本同步练以“直线与圆的位置关系”为核心，通过基础认知、综合应用、拓展创新三层设计，构建从直观判断到动态探究的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|根据图像、d与r判断位置关系|生活情境题（如江面与太阳、轮胎与地面），强化抽象能力| |综合应用|几何图形、坐标系中计算距离判断|结合直角三角形、坐标公式，提升运算与空间观念| |拓展创新|新定义问题、动点动态问题|“旋转点”“关联点”等新情境，发展创新意识与模型观念|

34.3.1直线与圆相离、相切、相交 知识点一 根据图象判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图是江边的一幅景象，若将图中的江面和太阳分别看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，掌握其相关知识点是解题的关键．当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：的半径为2，圆心到一条直线的距离为1， 与该直线相交， 这条直线可能是， 故答案为：B． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 【答案】相交 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：∵一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆， 则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交， 故答案为：相交． 4．（25-26九年级下·安徽亳州·开学考试）如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，已知O的半径为r，圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆，餐盘的圆心到筷子的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 知识点二 已知d和r判断直线与圆的位置关系 1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系判定定理．结合垂线段最短的性质，明确圆心到直线的距离与圆心到直线上一点距离的区别，进而分析直线与圆的位置关系． 【详解】解：设圆心到直线的距离为， ∵圆心到直线上一点的距离为9，根据垂线段最短的性质， ∴， 又∵的半径， ∴可能满足（此时直线与圆相离），或（此时直线与圆相切），或（此时直线与圆相交）， ∴直线与的位置关系以上都有可能． 故选：D． 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是关键．直线与圆的位置关系的判断方法：当圆心到直线的距离等于半径时，则直线与圆相切，当圆心到直线的距离大于半径时，则直线与圆相离，当圆心到直线的距离小于半径时，则直线与圆相交．根据直线与圆的位置关系的判断方法判断即可． 【详解】解：因为点O到一条直线的距离小于的半径， 所以该直线与相交， 由图可知只有直线与圆相交． 故选：A． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，直线与圆的位置关系． 先求二次函数的最小值，得到圆的半径，再比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可． 【详解】解：， ∴二次函数图象开口向上，有最小值为， ∴的半径是， ∵圆心O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切． 故选：A． 知识点三 已知直线与圆的位置关系求半径 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆相离的条件：圆心到直线的距离大于圆的半径． 根据直线与圆相离的条件，结合已知的圆心到直线的距离，确定半径的取值范围，再判断选项． 【详解】解：∵直线l与相离， ∴圆心到直线的距离半径， 已知， ∴． 观察选项中只有A．，满足条件． 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离，即可得到问题的选项． 【详解】解：∵直线l与半径r的相交，且点O到直线l的距离为6， ∴， 故选：A． 4．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 知识点四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断直线和圆的位置关系，已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离． 直线与圆有两个公共点，说明直线与圆相交，因此圆心到直线的距离小于半径． 【详解】解：∵直径为， ∴半径 ∵与直线有个公共点， ∴直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， ∴选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 知识点一 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 【答案】B 【分析】如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F，由勾股定理得，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，即可判定A、B；根据等腰三角形三线合一的性质得，，则、是的中位线，，，即可判定C、D． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点E，过点O作于点F， ∵中， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点在外，点在外， 故选项A正确；选项B错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴、是的中位线， ∴，， ∴与相切，与相交， 故选项C、D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，中位线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握圆心距与圆到直线距离的大小关系对应的位置关系是关键． 2．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是关键． 通过计算点A到点B、点C的距离及点A到直线的距离，与半径比较即可判断． 【详解】解：如图，过点A作于点H， ∵，，， ∴， 在中，， ∵ 的半径为3， ∴，点B在外，故A错误；，点C在外，故B错误； ∵，且， ∴ 圆心A到直线的距离等于半径， ∴ 直线与相切，故C正确，D错误． 故选：C． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系．熟练掌握点、直线和圆的位置关系，勾股定理，面积法求三角形的高，是解本题的关键． 过点C作于点D，设的半径为r，求出，，比较， ， ，即得答案． 【详解】解：过点C作于点D，设的半径为r， ∵在中，，， ∴， 由三角形面积公式得：， 解得：， ∵， ∴， ∴点D在内， ∵， ∴点A在内， ∴与线段无交点； ∵， ∴点B在外， ∴与线段有一个交点． 综上，与边有一个交点． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交⇔，②直线和相切⇔，③直线l和相离⇔． 连接CP，交于，取中点，证明点到的距离等于小于即可得出结论． 【详解】解：连接CP，交于，取中点， 由折叠可得，，． ∴，即是以为直径的圆的半径. ∵， ∴， ∴点到的距离等于， ∵， ∴点与的中点不重合， ∴， ∴以为直径的圆与直线的位置关系是相交． 故选A． 知识点二 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，经过原点的的圆心坐标为，那么轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】B 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．通过计算圆心到轴的距离，与半径比较，即可判断位置关系． 【详解】解：∵圆心到轴的距离为4， 的半径， ∴与轴相交， 故选：B． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 【答案】D 【分析】此题主要考查了勾股定理，直线与圆和点与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是2，到轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案，熟练掌握运用直线与圆和点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作， ∴到轴的距离是2，到轴的距离是3， ∴与轴相切，与轴相离，故选项正确，不符合题意； ∵， 则点在内，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴点在内，故选项错误，符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．要判断直线与的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析． 通过计算圆心到直线的距离与半径比较，判断位置关系． 【详解】解：∵直线与y轴的交点是， ∴， ∴定点B在上， ∴圆心到直线的距离一定不大于， ∴直线（k为常数）与的位置关系为相切或相交． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 【答案】相离 【分析】本题考查了算术平方根的应用，直线和圆的位置关系．根据公式计算即可．利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，再与圆的半径比较大小，判断位置关系． 【详解】解：圆心到直线的距离， 故圆与直线相离． 故答案为：相离． 知识点三 根据直线与圆的位置关系求参数范围 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是求出圆心到直线的距离； 求出直线与圆相切时的值，即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与相切，且与轴交点为，与轴交点为，过O点作于，则C为切点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，直线切于点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴若直线与相交，则. 故选：B．      2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理及三角形面积公式的应用，解题的关键是求出点到的距离，并结合线段长度确定半径范围．先通过勾股定理求的长，再用面积法求点到的距离，结合直线与圆的位置关系及的长度，确定的取值范围． 【详解】解： 又 （d为C到的距离）， 即 ， ， 当 时，圆与相切，有一个公共点， 当 时，圆与相交， 为保证两个交点在线段上，需 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    【答案】或 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点D，由，得，由勾股定理求出，若与射线只有个公共点，则或，即可得半径r的取值范围． 【详解】解：作于点D，则，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵当时，与射线相切，此时与射线只有一个公共点； 当时，与射线有两个公共点， ∴若与射线只有个公共点，则或， ∴半径r的取值范围是或， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 【答案】当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时， 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、含30度的直角三角形，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得，则有，由题意得，再分所在直线与相切或相离两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵，， ∴， ∴在中，， ∵为边上一点，， ∴， ∵的半径为1， ∴当所在直线与相切时，则，即，解得； 当所在直线与相离时，则，即，解得， ∴； ∴综上所述，当所在直线与相切时，；当所在直线与相离时，． 知识点一 新定义问题 1．（25-26九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l上一点M和上不重合的两点P和，给出如下定义：若点P，点Q绕点M顺时针旋转，得到对应点，在直线l上，则称点M为直线l关于的旋转点，的半径为． (1)直线l：， ①在点，，中，______是直线l关于的旋转点； ②若点M是直线l关于的旋转点，则点M的横坐标m的取值范围是：______； (2)点E在以点为圆心，半径为6的圆上，若存在直线，使得点E既为直线关于的旋转点，也是直线关于的旋转点，则t的取值范围是______． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题主要考查了以圆为背景的新定义题型，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据定义求解即可；②由题可知在直线l上取一点M，将直线l绕点M逆时针旋转后得到直线，根据题意，直线应与相交，找出相切时的临界值，即可得解； （2）熟读题目，简单分析后，发现点E有2个方面的位置要求：①点E在上，②点E得满足既是旋转点又是旋转点的位置要求，显然，②是关键，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，如图，将直线l绕点M逆时针旋转得到，若l与相交，则点M为旋转点， ①如图，将直线l绕点逆时针旋转后，与相交， 点满足题意． 故答案为：； ②如图，在直线l上取一点M，将直线l绕点M逆时针旋转后得到直线，根据题意，直线应与相交， 如下图，直线l与相切于点G，三角形OKN是含角的直角三角形，易求得 则为直角三角形， 直线l与x轴夹角为， 与x轴夹角为，则， ， ， 直线的解析式为， 联立，解得， ∴交点M的横坐标为， ； 如下图，直线l与相切， 同理，可得， 故 综上所述：； 故答案为：； （2）解：根据题意发现点E有2个方面的位置要求：点E在上，点E得满足既是旋转点又是旋转点的位置要求， ①点E既为旋转点，也是旋转点： 如图，在平面内任取一点E，过点E随便画一条直线， 将绕点E分别旋转和得到直线m和n，则直线m、n的夹角为， 根据题意，直线m、n应同时与相交， 如图，直线m、n同时与相切时为临界状态， 在中，， ， 当时，直线m、n都能与相交，故满足题意， 综上，点E在以O为圆心，2为半径的圆的内部； ②点E在上：如图，根据题意，半径为6的应与半径为2的相交内切或外切都不行 当点P在x轴上方时， 第一种情况：当两圆外切时，如图， 此时， ； 第二种情况：当两圆内切时，如图， 此时， ； ； 当点P在x轴下方时，如图， 同理可得，； 综上，或． 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到的对应点在图形上，则称点是图形的关联点． (1)已知点，． ①点，，中是线段的关联点的是______； ②若直线上存在线段的关联点，直接写出的取值范围； (2)已知点，点是直线上的动点，是以点为圆心，为半径的圆．若线段上存在的关联点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了旋转的性质，一次函数的平移，圆与直线的位置关系，勾股定理； （1）①分析新定义可得图形上存在线段，将点绕点顺时针旋转得到点，根据题意画出图形，根据旋转的性质，即可求解； ②根据①的结论，画出图形，即可求解， （2）根据新定义可得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆或点，即的关联点为以为圆心，为半径的圆，或点，进而根据点或半径为的与线段的位置关系分析，即可求解． 【详解】（1）解：图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到的对应点在图形上，则称点是图形的关联点 即图形上存在线段，将点绕点顺时针旋转得到点， 如图， ∵点，． ∴ 取点，则 以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点，以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点， 取点，将绕顺时针旋转得到点 以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点，以为旋转中心，将绕点顺时针旋转得到点， ∴线段的关联点是， 故答案为：，． ②如图， ∵直线上存在线段的关联点， 当过点时，，解得 当过点时，，解得 结合函数图象可得 （2）解：如图，的半径为 ∵点是的关联点， ∴是边长为等边三角形， ∴点与重合或在的外侧, ∵是等边三角形， 如图，连接交于点， ∴，则 ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆或点，即的关联点为以为圆心，为半径的圆，或点 如图，点是直线上的动点，过点作轴于点，取的中点， 设，则 ∴， ∴，， ∵是的中点，则 ∴ ∴是等边三角形， ∴，即与轴的较小夹角为, 设的横坐标为 ①如图，当，经过点时，过点作轴的垂线，垂足为， ∴， ∵，则， ∴，即， ②当经过点时，连接，过点作轴于点， ∴， ∵点，则， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去） 由①②可得：线段上存在的关联点时，， ③当，重合时，，即， ④当经过点时，同①可得， ⑤当与相切时，过点作轴于点， ∵， ∴， 由④⑤可得：线段上存在的关联点时，， 综上所述，线段上存在的关联点时，或或． 3．（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 【答案】(1)①点、点；②或 (2) 【分析】本题考查圆心角，弦心距，解直角三角形； （1）①根据定义判断即可；②“完美生成点”就是该点到圆心的距离等于圆心角所对弦的弦心距，据此可求出坐标； （2）如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”，线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，即线段上的所有点到这个圆的圆心的距离都可以等于这个圆的圆心角（）所对的弦的弦心距，分别算出和时的弦心距与半径的关系即可求出半径的取值范围． 【详解】（1）解：①在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以正好经过点D，如图所示： ∴过点的直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线可以两次经过点F，如图所示： ∴过点有两条直线与有两个交点，且，点为的“生成点”， ∵， ∴， ∴将直线绕圆心O旋转，直线无法经过点E，如图所示： ∴点不是的“生成点”． 综上：点、点为的“生成点”． 故答案为：点、点． ②在中作圆心角，点在上，过点作直线，线段为的弦， ∵的半径为4，， ∴圆心到弦的距离，即弦心距， 过点作，过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴将直线绕圆心O旋转，直线有且只有一次经过点P， ∴过点P的直线与有两个交点，这样的直线只存在一条，且，点P为的“完美生成点”， ∴当点G在x轴正半轴时，点P坐标为，当点G在x轴负半轴时，点P坐标为， ∵直线直线上除点以外的其他点到圆心的距离大于弦心距， ∴直线直线上除点以外的其他点会有两条直线经过，不是的“完美生成点”． （2）解：由（1）得，如果一个点到某个圆的圆心的距离等于圆心角所对的弦的弦心距时，那么该点就是这个圆的“完美生成点”， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， 当，即时，如图所示， 此时弦心距， ∴此时线段上的点到点的距离， ∴线段上的所有点都是这个圆的“完美生成点”，且， ∵，，， ∴，解得：， ∴当一个圆的半径时，可以使得线段在这个圆的内部且线段上的所有的点到圆心的距离，即线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且， ∴半径的取值范围为． 知识点二 动点、其他问题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查旋转的性质，直线与圆的位置关系，矩形的性质，含直角三角形的性质，三角形的面积计算；若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，等价于将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，连接、、，过作，、，则四边形为矩形，当时，点M是线段上唯一在上的点，设，则，分类讨论：①当，即时，利用建立方程求解；②当，即时，利用求解. 【详解】解：由旋转的性质可得： ∵若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上， ∴将绕点顺时针旋转，得到时，线段上存在唯一的点，恰好落在上，如图1所示， ∵点、点分别为、所在直线上的动点，由图可知当点在点C右侧或点在点C下方时，线段与没有交点， ∴点、点分别为射线、射线上的动点， 连接、、，过作，、，则四边形为矩形， ∵的半径与的半径相同为， ∴当时，点M是线段上唯一在上的点， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， 设，则， ①当，即时，则，，如图1所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图1可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ②当，即时，则，，如图2所示： 此时， ， ， ， ， ∵由图2可知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴. 综上：或时线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上. 故答案为：或. 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)①或； ②． 【分析】（1）由题意得，，，，，则可用代数式表示出的面积，再将的面积代入即可求解； （2）①分两种情况讨论：当时；时，根据圆与直线相切即为圆与直线的距离等于半径列出方程即可求解； ②与线段有两个公共点即为与线段的距离小于半径且，列出一元二次不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：依题得：，，，， ， 当的面积等于时， 即， 解得，， 故或； （2）解：①当时，点在点处，点在点处， 此时， 且根据矩形性质可得， 则此时以为圆心，为半径画，即为以为圆心，为半径画，与线段所在直线相切， 故满足条件； 当时，作交于点， 与线段所在直线相切， ， 在矩形中，， 又， 四边形是矩形， ， 即， 中，， ， 解得，（舍）， 综上，当与线段所在直线相切时，或； ②与线段有两个公共点， ，即，， ，即， 解得或（舍）； 连接， 由图得，当时，与线段才有两个公共点， ， 在矩形中，，， 中，， 即， 又， ， 解得或（舍）． 综上，当与线段有两个公共点时，． 【点睛】本题考查的知识点是动态几何问题(一元二次方程的应用)、已知直线和圆的位置关系求半径的取值、矩形的判定与性质、勾股定理、二次函数与不等式综合，解题关键是将直线和圆的位置关系转化为半径与直线和圆距离的数量关系． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式及点坐标； (2)若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； (3)设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 【答案】(1) 抛物线的解析式为 ，点坐标为 (2) 的长度为 (3) 的值为 或 【分析】本题考查了二次函数的性质、直线与圆的位置关系以及二次函数的最值问题： （1）将代入解得，即可得出解析式，令可求出点坐标； （2）先求出直线的解析式，设的坐标，进而得到的坐标，根据圆与坐标轴相切的性质列方程求解； （3）先求出的表达式，再根据二次函数的性质，结合的取值范围求出． 【详解】（1）解：将、代入中，得 解得：， 该抛物线的解析式为， 令， 则， 点坐标为． （2）解：设点坐标为， 轴，且点在抛物线上， 点坐标为， 则， ∵以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，且点在第一象限， ∴分两种情况讨论： ①当圆与轴相切时， 即， ， 解得或． 当时，与重合，舍去， 当时，此时； ②当圆与轴相切时，， 即， ， 解得(舍去)或． 此时． 所以． （3）解：在抛物线上，在直线上， ， ， 令， 则对称轴为， ①当时，在上，随的增大而减小， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； ②当时，在上，随的增大而增大， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， 均不符合题意； ③当时，函数在时取得最大值， 当时，有最大值为， 的最大值为3， ， 解得或， ， ； 综上所述，或． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），点，，都在圆上，且，卡尺所有锯齿的高度和水平长度都为1，如． (1)圆心在卡尺内部还是外部？请说明理由． (2)过点，，的圆的半径是多少？ (3)以点为圆心，为半径画弧，判断点，与的位置关系． 【答案】(1) 圆心在卡尺内部，理由如下： 点，，都在圆上，， 为圆的直径， 圆心在上， 圆心在卡尺内部； (2) (3)点在的内部，点在上 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、点和圆的位置关系、勾股定理、三角形的外接圆等知识点，熟练掌握圆的有关性质是解题关键． （1）利用圆周角定理的推论可得为圆的直径，进而即可解答； （2）利用等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的外接圆性质解答即可； （3）连接，延长交于点，分别求得，，的长度，利用点和圆的位置关系解答即可； 【详解】（1）略 （2）解：，， 为等腰直角三角形， 为过点，，的圆的直径． ， 过点，，的圆的半径是； （3）解：如图，连接，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 同理，求得，， ，即， 点在的内部， ， 点在上． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 34.3.1直线与圆相离、相切、相交 知识点一 根据图象判断直线与圆的位置关系 1．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图是江边的一幅景象，若将图中的江面和太阳分别看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，若的半径为2，点到一条直线的距离为1，则这条直线可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是___________． 4．（25-26九年级下·安徽亳州·开学考试）如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成圆和直线，它们的位置关系是______． 知识点二 已知d和r判断直线与圆的位置关系 1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）已知的半径等于3，圆心到直线上一点的距离为9，则直线与的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 3．（25-26九年级上·河北沧州·期末）如图，已知的半径是3，点O到一条直线的距离是2，则该直线为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）已知的半径是二次函数的最小值，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 知识点三 已知直线与圆的位置关系求半径 1．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）已知直线l与相离，圆心O到直线l的距离为3，则的半径可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线l与半径为r的相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 知识点四 已知直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林延边·期末）已知与直线有个公共点，若直径为，则圆心到直线l的距离可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 知识点一 几何图形中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，中，以边的中点为圆心，2为半径作，下列判断错误的是（   ） A．点在外 B．点在内 C．与相交 D．与相切 2．（25-26九年级上·北京·期末）已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（    ）． A．点B在内 B．点C在上 C．直线与相切 D．直线 与相离 3．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，以点C为圆心，以为半径作圆，则与边的公共点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，点M是边AC上的动点．过点M作交BC于点N，现将沿MN折叠，得到．若点在上，则以为直径的圆与直线AB的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 知识点二 坐标系中，计算圆心到直线的距离判断位置关系 1．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在平面直角坐标系中，经过原点的的圆心坐标为，那么轴与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2．（25-26九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，2为半径作，则下列说法错误的是（   ） A．与轴相切 B．与轴相离 C．点在内 D．点在外 3．（25-26九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以点A为圆心，为半径画圆，则直线（k为常数）与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 4．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．已知的圆心Q的坐标为，半径r为2，则与直线的位置关系是_______ ． 知识点三 根据直线与圆的位置关系求参数范围 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（   ）    A． B． C． D．或 2．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）已知在中，，，，以点为圆心，为半径作圆，若圆与斜边有两个公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，，点是射线上一点，，以点为圆心，为半径作，若与射线只有个公共点，则半径的取值范围是_______．    4．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，在中，，，为边上一点，，，的半径为1，当所在直线与相切、相离时，分别求出的取值范围． 知识点一 新定义问题 1．（25-26九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，对于直线l上一点M和上不重合的两点P和，给出如下定义：若点P，点Q绕点M顺时针旋转，得到对应点，在直线l上，则称点M为直线l关于的旋转点，的半径为． (1)直线l：， ①在点，，中，______是直线l关于的旋转点； ②若点M是直线l关于的旋转点，则点M的横坐标m的取值范围是：______； (2)点E在以点为圆心，半径为6的圆上，若存在直线，使得点E既为直线关于的旋转点，也是直线关于的旋转点，则t的取值范围是______． 2．（25-26九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若图形上存在点，使得，且点绕点逆时针旋转得到的对应点在图形上，则称点是图形的关联点． (1)已知点，． ①点，，中是线段的关联点的是______； ②若直线上存在线段的关联点，直接写出的取值范围； (2)已知点，点是直线上的动点，是以点为圆心，为半径的圆．若线段上存在的关联点，直接写出点的横坐标的取值范围． 3．（25-26九年级上·北京石景山·期末）对于和点，给出如下定义：若过点的直线与有两个交点，且的大小为，则称为的“生成点”，特别地，若这样的直线只存在一条，则称点为的“完美生成点”． (1)如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，点，，． ①在点，，中，点 是的“生成点”； ②过点的直线交轴于点，且．若直线上的点是的“完美生成点”，直接写出点的坐标： (2)已知的长为2，若线段上的所有点都是某个圆的“完美生成点”，且，直接写出这个圆的半径的取值范围． 知识点二 动点、其他问题 1．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，的半径为，、分别为、所在直线上的动点，且，连接若线段上存在唯一的点，将点绕点逆时针旋转时，恰好落在上，则的长为_______． 2．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以速度向点移动，连接，点的运动时间为． (1)当的面积等于时，求的值； (2)以为圆心，为半径画． ①当与线段所在直线相切时，求的值； ②当与线段有两个公共点时，求的取值范围． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与x轴相交于、两点，与轴相交于点，为直线上一动点，点在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式及点坐标； (2)若点在第一象限，且轴，以为圆心，长为半径的圆恰好与坐标轴相切，请直接写出的长度； (3)设点在抛物线上，在直线上，当时，的最大值为3，求的值． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），点，，都在圆上，且，卡尺所有锯齿的高度和水平长度都为1，如． (1)圆心在卡尺内部还是外部？请说明理由． (2)过点，，的圆的半径是多少？ (3)以点为圆心，为半径画弧，判断点，与的位置关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $