3.2 确定圆的条件培优训练 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦“确定圆的条件”，通过基础概念辨析、几何计算到综合应用的三层设计，强化空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|确定圆的条件、三角形外心性质|选择题1-5直接考查概念辨析，如“三点确定圆”的正误判断，夯实基础认知| |提升|外接圆半径计算、网格与坐标系应用|填空题9-12结合等腰三角形、直角三角形求半径，第6题网格找外心，培养几何直观| |拓展|分类讨论、作图与代数综合|解答题17-18涉及多种情况外接圆半径计算，第13题坐标系中确定外心位置，发展推理能力与创新意识|

3.2 确定圆的条件培优训练 一、选择题 1．下列命题不正确的是（　　） A．三点确定一个圆 B．三角形的外接圆有且只有一个 C．经过一点有无数个圆 D．经过两点有无数个圆 2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（　　） A．① B．② C．③ D．均不可能 第2题 第3题 第6题 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线l上，点P在直线l外，过这5个点中的任意三个，能画的圆有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．下列命题中，真命题的个数是（　　） ①三角形外心是三角形三个内角平分线的交点；②任意一个圆有且仅有一个内接三角形；③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等；④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知M（1，2），N（3，－3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（　　） A．（3，5） B．（－3，5） C．（1，2） D．（1，－2） 6．如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（　　） A． B． C．4 D． 7．如图，O为等腰三角形ABC的外心，AB＝AC，连接OB，记∠C＝α，∠CBO＝β，则α，β满足的关系式为（　　） A．2β－α＝90° B．2β－α＝180° C．β+α＝90° D．2α－β＝90° 第7题 第8题 第9题 8．如图，已知E是△ABC的外心，P，Q分别是AB，AC的中点，连接EP，EQ，分别交BC于点F，D．若BF＝10，DF＝6，CD＝8，则△ABC的面积为（　　） A．72 B．96 C．120 D．144 二、填空题 9．如图，△ABC内接于⊙O，若AB＝AC＝10，BC＝12，则⊙O的半径是_______． 10．已知等边△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个等边△ABC的最小圆的半径是____． 11．若一个直角三角形的两条边长分别为5cm和12cm，则这个三角形的外接圆的直径长为______cm． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4）、B（－4，4）、C（－6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出圆心M的坐标为________； （2）⊙M的半径为_______； （3）点O到⊙M上最近的点的距离为_________． 第12题 第13题 13．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角△ABC的外心，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则点C的坐标为__________． 14．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为____________． 三、解答题 15．尺规作图：已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上． 16．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点C，交弦AB于D． （1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若AB＝24cm，CD＝8cm，求（1）中所作圆的半径． 17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆． （1）请用圆规和无刻度的直尺画出⊙O，不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将痕迹加黑； （2）求⊙O的半径； （3）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长． 18．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程的两个实数根． （1）求△ABC的周长． （2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径． 参考答案 一、选择题 1－8 AADCCADB 二、填空题 9． 10． 11．12或13 12．（1）如图，点M即为所求；（－2，0） M （2） （3） 13．（6，5）或（1，4） 14．或 三、解答题 15．如图所示，⊙O即为所求 16．（1）如图所示，⊙O即为所求 （2）∵OA＝OB，OD⊥AB ∴AD＝AB＝×24＝12cm 设OA＝OC＝r，则OD＝OC－CD＝r－8 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2 ∴（r－8）2＋122＝r2 解得：r＝13 ∴圆的半径为13cm 17．（1）如图所示，⊙O即为所求 （2）连接AO，延长AO交BC于点D，连接OB，设OA＝OB＝r ∵AB＝AC，OB＝OC ∴AO垂直平分BC ∴BD＝BC＝×4＝2 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2+AD2＝AB2 ∴ ∴OD＝AD－OA＝6－r 在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2 ∴22＋（6－r）2＝r2 解得：r＝ ∴⊙O的半径为 （3）或 18．解：（1）①当a为腰时，b、c中有一边等于3 把x＝3代入方程得：9＋3m＋2－＝0，解得：m＝ 把m＝代入方程得： 解得x1＝3，x2＝ 所以三角形的周长为3+3+＝ ②当a为底时，则b＝c，则Δ＝0 即：m2－4（2－m）＝0 解得：m＝－4或2 当m＝－4时，方程为x2－4x+4＝0，解得x1＝x2＝2 所以三角形的周长为2+2+3＝7 当m＝2时，方程为x2+2x+1＝0，得x1＝x2＝－1（不合题意，舍去） 综上所述：△ABC的周长为或7 （2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交BC于D，连接OB，OC ∵△ABC的三边均为整数 ∴AB＝AC＝2，BC＝3 ∵AB＝AC，OB＝OC ∴AO垂直平分BC ∴BD＝BC＝×3＝ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD2+AD2＝AB2 ∴ ∴OD＝AD－OA＝－r 在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD2+OD2＝OB2 ∴()2＋（－r）2＝r2 解得：r＝ ∴⊙O的半径为 学科网（北京）股份有限公司 $