3.2 函数与方程、不等式之间的关系-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 [1,3].故选D. 变式训练2(-1,0)U(1,+∞)【解析】fx)是偶函 数，且f(-1)=0,.f1)=f(-1)=0.又f(x)在(0，+) 上是减函数，∴f(x)在(-o,0)上是增函数. ①当>0时，由f)+-<0,得fx)<0,又由于 f(x)在(0，+∞）上为减函数，且f(1)=0,∴f(x)f(1), 得>1. ②当x<0时，由fx)=0,得fx>0,又-1) 0,fx)在(-0,0)上是增函数，fx)>f-1),.-1< x<0.综上所述，不等式解集为(-1,0)U(1,+∞). 例3解：(1)g(-x)=-=g(x), 2 h(-x)=fx=-h(x),g(x)是偶函数，h(x) 2 是奇函数， (2)g(x)+h(x)-R(x)f))-f()fx). 2 (3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这 个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和. 变式训练3号【解析】x)+g)3之华+5，① -x)g-w)345 f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， x)gx)-3+40+5,② 联立①②，解得fx)=3+5,gx)=- x2+9 f-1)+g(3)=3(-1)245-4x3=22 32+93 例4B【解析】由题意，可得x)=-1+x,对 1+x 于A,fx-1)-12-2不是奇函数：对于B,fx-1)+1 是是奇函数：对于C,f+1-1石22，定义域不关于 原点对称，不是奇函数：对于D,儿+1+1子2定义 域不关于原点对称，不是奇函数.故选B. 变式训练42【解析】2+x)+2=2,即自变量 分++分1时，232，面g+冬 1,g8-2 数学文化 例C【解析】当x为有理数时，f(x)=1；当x为无理数 48 时，fx)=0..当x为有理数时，ff(x)=f1)=1;当x为 无理数时，ff(x)=f(0)=1,无论x是有理数还是无理 数，均有ff(x)=1,故①不正确.有理数的相反数还 是有理数，无理数的相反数还是无理数，.对任意龙∈ R,都有f(-x)=一f(x),故②正确.当T∈Q时，若x是有 理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是 无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理 数T,f(x+T)=f(x)对xeR恒成立，故③正确.取= ,0,,0.1,f-0, 45,0,B0.10,c-Y写，0.△ABc拾好 为等边三角形，故④正确.故选C. >"3.2函数与方程、不等式之间的 关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点 及其与对应方程、不等式解集之间的关系 要点精析 例1解：(1)令-x2-4x-4=0,解得x=-2, .函数fx)存在零点，且零点为-2. (2)令-)，4+3)=0，解得=l, x-3 .函数f代x)存在零点，且零点为1. 变式训练1解：(1)当m=4时，x+4=4,得到± 4x+4-0,方程有两个根x=+2,故零点个数为2.(2)f(x)= n4有四个零点，即4nm0有四个根，40，解得 m<4且m≠0.或者画函数g(x)=x+m的图象进行分析 例2解：(1)△=49>0，方程2x2+5x-3=0的两根为 =-3,2,作出函数)=2+5x-3的图象，如图1所 示.由图可得原不等式的解集为x-3<K号】 图1 图2 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0，△=12>0，解方 程3x2-6r+2=0,得=3-Y5,=3+y3,作出函数 3 y=3x2-6x+2的图象，如图2所示，由图可得原不等式的 解集为xk≤3y了或x≥3+V3 3 3 (3)4=0,.方程4x2+4x+1=0 有两个相等的实根或=了作出 函数y=4x2+4x+1的图象如图3所示 由图可得原不等式的解集为 10 reR且x≠- 2 图3 (4)原不等式可化为x2-6x+10< 0,4=-4<0,.方程2-6x+10=0无 例2答图 实根，.原不等式的解集为⑦. 变式训练2解：设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),分析 各个因式的符号，画图如下 变式训练2答图 结合图象可知，原不等式的解集为{1<x<2或3<<4. 例3()D【解析】由已知，得a2bx2-0的解为子 号，且a0, b1,1 a2+3 解得12， b=-2, ∴a+b=-14.故选D. （2②解：ptg0的解综为}<兮= -子与x=了是方程+x9=0的两个实数根，由根与 11 1 32s-p, \p6' 系数的关系，得 解得 1 q=-61 ∴.不等式q2+px+1>0, 即-石+名+1>0，整理，得之x-60,解得-2< 3.即不等式q+px+1>0的解集为{-2<<3. 变式训练3D【解析】由不等式a2+bx+2>0的解集为 {-1<<2},可知=-1,2=2是不等式aa2+bx+2>0对应 方程+bx+2=0的两个根，“有+=-b=1,1=二 =2=-2,得a=-1,b=1,22+bx+a<0,即为2+x-1<0, 参考答案。 即(2x-1)(x+1)<0,不等式的解集为x-1<}.故 选D. 例4(1,4)(1,3]U(4,+∞)【解析】当=2时，由 E,骨4024政1a心，用1 x<4,不等式f(x)<0的解集是(1,4).令x-4=0,得= 4;令x2-4x+3=0,得2=1，x=3.若函数fx)恰有两个零 点，当A>4时，f(x)=-4>0,此时f(x)=x2-4+3=0,x=1 或x=3,即在(-∞，入)上有两个零点；当入≤4时，f(x) =x-4=0,x=4,由f(x)=x2-4x+3在(-0，入)上只能有一 个零点得1<入≤3.综上，入的取值范围为(1,3]U(4,+∞) 变式训练4解：函数g(x)=f(x)-x的零点即为方程f(x) -x=0的根.当x∈(-0，-1]U[2,+∞)时，方程f(x) -x=0,变形为x2-x-1=x,即x2-2x-1=0,解得x=1+V2 或x=1-V2.1-V2e(-∞，-1]U[2,+∞)，x=1+ V2；当xe(-1,2)时，方程fx)-x=0,变形为=1， 符合题意.综上，函数g(x)=f(x)-x的零点为1+V2 和1. 例5解：(1)令f(x)=x2+2mx+ 2m+1,依题意，得函数f(x)= x2+2mx+2m+1的图象与x轴 的交点分别在区间(-1,0)和 (1,2)内，画出图象如图1所示. f(-1)=2>0, 由图象，得f0)=2m+1<0, 图1 f1)=4m+2<0, f(2)=6m+5>0, 即m 1 1 6m<-2, 即m的取伯范围是名，号 (2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间 (0,1)内，画出图象如图2所示. △>0. y 0k-m<1, 由图象，得 f0)>0, f1)>0, 0 m>l+V2或m<1-V2, -1<m<0, 图2 即m2' 1 例5答图 1 m72' 49 N 高中数学必修第一册人教B版 之m-V2,即m的原值范围是-子，1-V2 变式训练5{al-2<a<-1或3<a<4【解析】：关于x 的方程7x2-(a+13)x+d2-a-2=0有两实数根x1,,且0< x1<1<<2,设对应二次函数为fx)=7x2-(a413)x+2--2,开 f(0)>0,d2-a-2>0, 口向上，且f(1)<0,∴.7-(a+13)+a2-a-2<0, 解得 f(2)>0,28-2(a+13)+d2-a-2>0 -2<a<-1或3<a<4. 例6解：令g(x)=fx)-x=2+(a-1)x+a, △>0， 0<1a<1, 由题意，可得 2 .0<a<3-2V2. g(1)>0, g(0)>0 故实数a的取值范围是(0,3-2V2). 变式训练6解：函数f代x)=x2-2m+2m+3在区间(-2,0) 上只有-个零点，九-20)0，得-sm<名 考虑边界情况： 由-20，得m=名+好+号 一2或=了m名足 3 由f0)=0,得m=-立， fx)=43x,x=-3或=0，m≠- 2 综上，得号m长名 数学文化 例A【解析】由题意知，当=0时，f(x)=-1, 0不是函数f(x)的零点. 当≠0时，x)-2-10,可得2+1 令y=2x=2x-2[x],y= 11 作出函数1=2刘=2x-2[x],⅓=+1的图象如图 所示 例题答图 (50 由图象可知，除点(-1,0)外，函数y1=2{x=2x 2[x,⅓=+1的图象其余交点关于(0,1)中心对称， .横坐标互为相反数，即x+++=0. 由函数零点的定义知，函数f(x)=2x{x--1的所有 零点之和为-1+xt2++…=-1+0=-1. 故选A. 第2课时零点的存在性及其近似值的求法 要点精析 例1(1)B(2)B【解析】(1)由表可知，f2f3) <0,f3)f4)<0,f4f(5)<0.由函数零点存在定理，知 函数y=f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上分别至 少存在一个零点，.函数y=f(x)在区间[1,6]上的零 点至少有三个.虽然f1)f2)>0,但函数y=f(x)在[1,2] 上也有可能存在一个或多个零点.故选B. (2)由函数f(x)=x3+x-5,可得f(1)=1+1-5=-3<0, f(2)=8+2-5=5>0,故有f1f2)<0,根据函数零点存在 定理，可得函数f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 变式训练1D【解析】根据函数零点存在定理，函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线，且f(afb)<0,那么函数f(x)在区间[a,b]上至 少存在一个零点，但不一定只存在唯一的零点；反之， 由“函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点”，也不一定有 f(a)f(b)<0,如函数y=lxl在区间(-1,1)的零点是0， 并不满足f(-1f1)<0.故选D. 例2(1)(1，+∞)(2)(-0,0]【解析】(1) 函数f(x)=2x-1+x-a有且仅有两个零点， 即函数y=2x-1l+x与y=a有且仅有两个交点， 分别作出函数y=2x-1+x与y=a的图象，如图所示. y=2l-11+x y=a -3-210123元 例2答图 由图易知，当a>1时，两函数的图象有两个不同的 交点，故实数a的取值范围是(1，+o) (2)fx)=a2-2x+1=0,f0)=1≠0， a=-+2=--1+1 若e)在分，2]内有零点，则fx)0在区间 [7,2内有解，当-？≤<0或0<x≤号时，可得 a=之+子≤0实数a的取值范围为(-，01 变式训练2D【解析】方程太=m2有三个不同的 根，即方程}=x(x+2)有三个不同的根.记函数g(x)= k 2+2x,x≥0， Ixl(x+2)= -x2-2x,x<0, 由题意=与yg()有三个 不同的交点，由图象可知0<1，>1.放选D 例3解：设f代x)=x2-2x-1.‘f(2)=-1<0,f3)=2>0,又 f(x)在(2,3)内递增， .在区间(2,3)内，方程x2-2x-1=0有唯一实数根， 记为 取区间(2,3)的中点x=2.5 f2.5)=0.25>0,∴xo∈(2,2.5). 再取区间(2,2.5)的中点x=2.25, f2.25)=-0.4375<0,∈(2.25,2.5). 同理，可得0∈(2.375,2.5). .2.375-2.5=0.125<0.2 故方程x2-2-1=0的一个精确度为0.1的近似正数 解可取为2.375+2.5=2.4375. 2 变式训练3C【解析】根据二分法，结合表中数据， 由于f(1.438)=0.165>0,f(1.4065)=-0.052<0, .方程x2+x2-2x-2=0的一个近似根所在区间为 (1.4065,1.438),.符合条件的解为1.4.故选C. 例4(1)证明：函数f(x)=2x-1是R上的增函数， 且在区间[0.5,1]上连续 又f12-1=1>0.05)-10, .函数fx)在(0.5,1)内有一个零点. (2)解：由(1)知f0.5)<0,又f1)>0, .方程23-1=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区 间，如下表： (a,b) (a,b) f(a) f(b) 2 +b 的中点 (0.5,1) 0.75 f0.5)<0 f1)>0 f0.75)<0 (0.75.1) 0.875 f(0.75)<0 f(1)>0 f(0.875)>0 10.75-0.8751=0.125<0.2,∴.方程23-1=0的一个近 似解可取为075+0875=0.8125. 2 参考答案。 数学文化 例解：如图，可首先从中点C开始检查，若AC段正 常，则故障在BC段；再到BC段中点D检查，若CD段 正常，则故障在BD段；再到BD段中点E检查，·； 如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一 半，经过7次查找，可将故障范围缩小到50-100m之 间，即可迅速找到故障所在 A C D E B 例题答图 ●"3.3函数的应用（一） 要点精析 例1解：：火车匀速行驶的总时间为(277-13)：120= 号，0≤号 .·火车匀速行驶th所行驶的路程为120km,.火 车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系 式为s=13+120r0≤t≤1 5 火车离开北京2h时火车匀速行驶的时间为2-人= 6 (h),此时火车行驶的路程s=13+120x-233(km). 6 6 变式训练1B【解】由题意，手机所存话费余额 y(元)与主叫时间t(mim)之间的函数关系满足一次 函数，不妨设为y=at+b,可知当t=0时，y=100+3.5-20= 83.5,故b=83.5,且主叫每分钟0.2元，故a=-0.2,故 函数关系为y=83.5-0.2t.故选B. 例2解：设小矩形的长为x,宽为y,窗户的面积为S, 则由题图可得9x+x+6y=l, .6=l-(9+T)x, s受4受r+号-9mx=36号 6 3(6) 21122 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最 大 由6>0，得0cK9+m 0<21< 36+T9+T 21 6 636+分，即± 当=2’y=mx=(18π】 2P 2时，窗户的面积S有最大值，且5m=336+T）” 变式训练20.6【解析】y与(x-0.4)成反比，.可设 51第三章函数。 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第1课时函数的零点、二次函数的零点及其 与对应方程、不等式解集之间的关系 反思感悟 学习目标 求函数的零点就是求对应方程的根 1.明确函数零点的概念 2.能够通过二次函数理解函数的零点与 B变式训练① 其对应方程、不等式解集之间的关系 已知函数fx)=x+m 3.能够利用图象解决一元二次方程根的 分布问题 (1)若m=4,求函数f(x)的零点个数， 要点精析 (2)若函数f(x)有四个零点，求实数 m的取值范围. 川要点1求函数的零点 一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的 函数值等于零，即f()=0,则称a为函数 yf(x)的零点. 思考函数的零点是一个点吗？ 例1判断下列函数是否存在零点，如 果存在，请求出。 (1)fx)=-x2-4x-4. (2)fx)=(x-1)(x24x+3) x-3 学(73 N 高中数学必修第一册人教B版 要点2二次函数的零点及其与对应方 B变式训练2 程、不等式解集之间的关系 求不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)<0的 一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+ 解集 c(a>0),二次函数的零点及其对应方程、 不等式解集之间的关系： (1)当△=b2-4ac>0时，方程a2+bx+c=0 的解集中有两个元素1,2（其中x<2), x1,2是f(x)的两个零点，f(x)的图象与x轴 有两个公共点(x1,0),(2,0),fx)<0的解 集为{xlx<x<x2},f(x)>0的解集为{xlx<x 或x>x2; (2)当△=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0 的解集中只有一个元素，且xo是fx)唯一 的零点，f(x)的图象与x轴有一个公共点 (o,0),f(x)<0的解集为空集，f(x)>0的解 集为{xx≠xo; (3)当△=b24ac<0时，方程ax2+bx+c=0 没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图象 与x轴没有公共点，f(x)<0的解集为空集， f(x)>0的解集为R. 思考如果一个一元二次方程没有实 数根，与其对应的一元二次不等式的解集 一定是空集吗？ 例2解下列不等式 (1）2x2+5x-3<0 (2)-3x2+6x≤2. (3)4x2+4x+1>0. (4)-x2+6x-10>0. (74)学 第三章函 数 例3 (1)若不等式ax2+bx+2>0的解 川要点3分段函数的零点 则a+b的值为( 例4函数f(x)= x-4,x≥入， A.14 B.-10 已知 x2-4x+3,x<入， C.10 D.-14 入∈R,当入=2时，不等式f(x)<0的解集是 (2)已知一元二次不等式x2+px+g<0的 ；若函数f(x)恰有两个零点，则入 解集为 求不等式gx2+px+1>0 的取值范围是 的解集 分析 分段函数零点问题分段看，要 分析 已知不等式ax2+bx+c>0(或<0) 灵活运用分类讨论思想和数形结合思想 的解集，可利用二次函数的图象判断抛物 B变式训练④ 线的方向，再结合韦达定理，求出未知. x2-x-1,x∈(-∞，-1]U[2,+0), 若fx)= 1,x∈(-1,2) 求函数g(x)=fx)-x的零点， ⑧变式训练3 已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x-1< x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为 ( A.{xlx<-2或>1} B.-1或 C.{x-2<x<1 D.-lex 学(75 N 高中数学必修第一册人教B版 山要点4一元二次方程根的分布问题 变式训练5 例5已知关于x的一元二次方程x2+ 设a∈R,关于x的方程7x2-(a+13)x+ 2mx+2m+1=0. a2-a-2=0有两实数根x1,x2,且0<x1<1<x2< (1)若方程有两根，其中一根在区间 2,则实数a的取值范围是 (-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求 例6设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程 m的取值范围 f(x)-x=0的两根x1和2满足0<x1<2<1,求 (2)若方程有两个不相等实根均在区间 、 实数a的取值范围. (0,1)内，求m的取值范围. 分析将方程f(x)-x=0转化为二次函 分析二次方程根的分布问题，一定 数g(x)=f(x)-x的零点问题，根据x1,的 要通过二次函数图象进行研究，把根与区 取值范围，即可推导出α的取值范围. 间端点的关系转移到函数在区间端，点的函 数值的符号，并注意函数的开口、判别式、 对称轴等问题 (76)学 第三章函 数 B变式训练6 数学文化 已知二次函数f(x)=x2-2mx+2m+3.若函 例高斯是德国著名的数学家，近代数 数f(x)有两个零点，在区间(-2,0)上只 学奠基者之一，享有“数学王子”的称号， 有一个零点，求实数m的取值范围. 为了纪念数学家高斯，人们把函数y=[x], x∈R称为高斯函数，其中[x]表示不超过 x的最大整数.设{x=x-[x],则函数f(x)= 2x{x-x-1的所有零点之和为() A.-1 B.0 C.1 D.2 分析由题意知，当x=0时，f代x)=-1, 所以0不是函数f(x)的零点.当≠0时， 令=2=2-2[，=+l,作出西数 2x=2x-2[x],y2=1+1的图象，利用数形 结合思想，结合函数零，点的定义即可求解 学(77 N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时零点的存在性及其近似值的求法 学习目标 变式训练① 1.能够利用函数零点存在定理判定函数 已知函数yf(x)在区间[a,b]上的图 是否存在零点 象是连续不断的一条曲线，则“f(a)f(b)<0” 2.能够利用二分法求方程的近似解. 是“函数f(x)在区间[a,b]上恰有一个 零点”的（) 要点精析 A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 川要点1判断函数零点个数或所在区间” C.充要条件 函数零点存在定理：如果函数y=f(x) D.既不充分也不必要条件 在区间[a,b]上的图象是连续不断的， 川要点2根据函数零点求参数 并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函 数值异号)，则函数yf(x)在区间(a,b) 例2(1)已知a是实数，函数f(x)= 中至少有一个零点，即xo∈(a,b),f() 2lx-1l+x-a,若函数y=f(x)有且仅有两个零 =0. 点，则实数a的取值范围是 例1(1)已知函数y=f(x)的图象是连 (2)函数f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在区 续不断的一条曲线，有如下的对应值表： 问号，内有零点，则实数a的取值范 x 1 2 3 6 y 123.5621.45 -7.8211.45-53.76 -128.88 围为 则下列关于函数y=f(x)的说法正确的 分析 已知函数有零点，求参数取值 范围常用的方法和思路： 是( ) A.在区间[1,6]上有三个零点 (1)直接法：直接根据题设条件构建 B.在区间[1,6]上至少有三个零点 关于参数的不等式，再通过解不等式确定 C.在区间[1,6]上至多有三个零点 参数范围」 D.在区间[1,2]上无零点 (2)分离参数法：先将参数分离，转 (2)函数f(x)=x3+x-5的零点所在区间 化成求函数值域问题加以解决。 为() (3)数形结合法：先对解析式变形， A.(0,1) B.(1,2) 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， C.(2,3) 然后数形结合求解. D.(3,4) 78 学 第三章函数。 例3用二分法求方程x2-2x-1=0的正 B变式训练② 数解的近似值.（精确度为0.1）》 方程k= 1(x+2)有三个不同的根，则 实数k的取值范围是() A.k<0 B.k<1 C.0<k<1 D.k>1 川要点3利用二分法求方程的近似解 在函数零点存在定理的条件满足时（即 f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的，且f(a)f(b)<0),给定近似的精确度ε， 用二分法求零点的近似值，使得x1一 xolkε的一般步骤如下： 第一步，检查b-dl≤2ε是否成立，如果 成立，取=+，计算结束；如果不成立， 2 转到第二步 第二步，计算区间[a,b]的中点4b 对应的函数值，若f=0,取= 2 变式训练③ 计算结束：若少0，转到第三步. 若f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近 的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 第三步，若f(a<0,将的 f1)=-2 f1.5)=0.625 值赋给b用一b表示，下同，回到第一 f1.25)=-0.984 f1.375)=-0.260 f1.438)=0.165 f1.4065)=-0.052 步；香则必有fb)<0,将的值 那么方程x+x2-2x-2=0的一个近似根 赋给a,回到第一步. (精确到0.1)为（) A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5 学 19 N 高中数学必修第一册人教B版 例4已知函数fx)=2x3-1(x∈R). 数学文化 (1)证明：函数f(x)在(0.5,1)内有一 个零点 例2025年3月28日缅甸发生7.9级 (2)求出f(x)在区间(0.5,1)内零点的： 地震，震源深度约30km.地震发生后，停 近似解.（精确度为0.1） 水断电，交通受阻.已知A地到B地的电话 分析可利用零，点存在定理证明函数；！ 线路发生故障（假设线路只有一处发生故 在某个区间内是否存在一个零，点.利用二分： 障)，这是一条10km长的线路，每隔50m 法求方程的近似解」 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？ (80)学