3.1.1 函数及其表示方法-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学必修第一册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第一册人教B版 图2的面积为ab,题图3的面积为(a+b)x 题图2和题图3的面积相等，则有ab=(a+b)x, 6,故内接正方形的边长为 解得=a atb .内接正方形的面积为1， .内接正方形的边长x=1,则有a+b=ab. 利用均值不等式，可得a+b=ab≥2Vab,故ab≥4， 当且仅当a=b=2时，取等号. .两个标有“朱”的三角形和两个标有“青”的三 角形的面积总和为ab-2≥2. 故题图3中两个标有“朱”的三角形和两个标有 “青”的三角形的面积总和的最小值为2. 第三章 m3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时函数的概念 要点精析 例1(1)D(2)B(3)D【解析】(1)观察图 象可知，选项A,B,C中任取一个x的值，y有可能有 多个值与之对应，..这三项不是函数图象.故选D. (2)①错误.若函数的值域只含有一个元素，则定 义域不一定只含有一个元素.②正确.f(x)=5,这个数 值不随x的变化而变化，∴f(π)=5.③错误.函数是两个 非空数集之间的对应关系.故选B. (3)对于A中的任意一个元素，在对应关系f:x g:厅=4：：一y=7下，在B申都有唯 一的元素与之对应，故能构成函数关系.对于A中的元 素8，在对应关系∫：x→y=x下，在B中没有元素与之 对应，故不能构成函数关系.故选D 变式训练1D【解析】从集合M到集合N能构成函数 关系时，对于集合M={x0≤x≤2}中的每一个x值，在 N=b0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应.图 象A不满足条件，，当1<x≤2时，N中没有y值与之 对应；图象B不满足条件，·当=2时，N中没有y值 与之对应；图象C不满足条件，对于集合M中的每 一个x∈(0,2]，在集合N中有2个y值与之对应，不满 足函数的定义；只有D中的图象满足对于集合M中的每 一个x值，在N中都有唯一确定的一个Y值与之对应.故 选D. 40 例2BC【解析】由均值不等式，可得y≤ 2 ≤4，+y≥.又 2 2 2 ≥=岁，1≥学y≤2.≤ 2,lx+y川≤2，.选项B和C正确.取x=y=1,满足x2+ -=L,但x+=2,选项A不正确.取=3， 3,y= -写，满是l,但号越项D不正 确.故选BC 函 数 例2解：(1)要使函数解析式有意义，自变量x的取 值必须满足 +1≠0，解得x≤1且x≠-1， 1-x≥0， 即函数的定义域为{xlx≤1且x≠-1. (2)要使函数解析式有意义，自变量x的取值必须 「3-x≥0， 满足 解得x≤3且x≠-5， x-5≠0. 即函数的定义域为{x≤3且x≠-5. 变式训练2(-∞，0)U(0,1]【解析】由 1-x≥0， 解得x≤1且x≠0，函数的定义域为 1-/1-x≠0， (-∞，0)U(0,1]. 例3(1)B(2)③⑤【解析】(1)①错误.函数 f(x)=x°的定义域为{xlx≠0)，函数g(x)=1的定义域 是R,不是同一个函数. ②正确.yf(x),x∈R与yf(x+1),x∈R两函数定 义域相同，对应关系可能相同，所以可能是同一个函数 ③正确.两个函数定义域相同，对应关系完全一致， 是同一个函数 .正确的说法有2个.故选B (2)①定义域不同，fx)的定义域为{xc≠0)，g(x) 的定义域为R ②对应关系不同，f(x)=1 =,g(x)=Vx. ③定义域、对应关系都相同. ④对应关系不同，f(x)=x+3引，g(x)=+3. ⑤fx)=x与g(a)=a定义域都是R,对应法则相同， 故是同一个函数.要注意f代(x)=a表示的是常函数. 综上，③⑤中两个函数表示同一个函数」 变式训练3ABD【解析】A选项y=V=x与函数y=x 对应法则不同，不是相同函数；B选项y=(√x)2定义 域为[0，+∞)与函数=x定义域不同，不是相同函数； C选项y=?=x与函数y=x定义域和对应法则相同， 是相同函数：D选项)=√医定义域为(0，+)与函 数y=x定义域不同，不是相同函数.故选ABD 例4解：方法一： (1）)=3+7=3(x-2)+13=3+13 x-2 -2 x-2 “20,y≠3. .13 .函数的值域为(ylyER,且y≠3. (2)=41-2=1-2 x2+1 x2+11 1≥1,0c名1≤211<1， .函数的值域为bM-1≤y<1 方法二： (1)由y=3+7(x≠2)， x-2 可得x(y-3)=2y+7(x≠2，y≠3)， .函数的值域为bh∈R,且y≠3}. 2)由岩eR 可得产出≥0，解得-1≤1， .函数的值域为[-1,1) 变式训练4解：（)+1=+号户子≥子，0c +≤号值域为0，号] 1 (2)由-x2+4x≥0，得x2-4x≤0，解得0≤x≤4， 设t=-x2+4x=-(x-2)2+4,则0≤t≤4 .y=2-Vte[0,2],即函数y=2-V-x244x的值域 是[0,2] 数学文化 例CD【解析】当x=4时，y=8N,故A错误；当x= 2时，y=5N,故B错误；任取x∈M,总有y=lleV, 故C正确；任取x∈M,总有y=x2eN,故D正确.故 选CD 参考答案。 第2课时函数的表示方法 要点精析 例1解：(1)列表法： x/台 y/元 x/台 y/元 x/台 y/元 1 3000 5 15000 9 27000 2 6000 6 18000 10 30000 3 9000 > 21000 4 12000 8 24000 (2)图象法：如图所示 ◆元 39888 520 000 0 12345678910x/合 例1答图 (3)解析法：y=3000x,x∈{1,2,3，…，10} 变式训练1B【解析】：顾客在该商场购物可以获得双 重优惠，∴.顾客购买一件标价为1000元的商品，实际 应付800元，优惠200元：再按表中办法获得130元的 奖券，共获得优惠额330元.故选B 例2解：(1)待定系数法：设f代x)=kx+b(k≠0)， 则f代f(x)=k(kx+b)+b=h2x+kb+b=9x+4. k2=9，解得 k=3, k=-3, 或 (kb+b=4, b=1b=-2 f(x)=3x+1或f八x)=-3x-2. (2)方法一（配凑法）： f(Vx+1)=x+2Vx=(Vx+1)2-1(Vx+1≥1)， fx)=2-1(x≥1)）. 方法二（换元法）： 令Vx+1t(t≥1)，则=(t-1)2(t≥1)， .ft)=(t-1)2+2(t-1)=2-1(t≥1). .f(x)=x2-1(x≥1). (3)构建方程组：由题知fx)+2=,① 用上代x,得/士+2x)士② 41 N 高中数学必修第一册人教B版 联立①②，于是得到关于fx)与f士)的方程组 r)2, +2e)= 消）， 解得/x)-录青红0， 变式训练22【解析】由f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+ 10x+24,得(ax+b)2+4(ax+b)+3=x2+10x+24, 即a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10x+24,由系数相 a2=1, 等，得2ab+4a=10,解得 =-1, =l，则5a-b=2. 或 b=-7b=3, b2+4b+3=24」 变式训练3-x(x+山【解析】由于当0≤x≤1时，解 2 析式已知，可设-1≤x≤0，则0≤x+1≤1.f(x+1)= (x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1).又f(x+1)=2f(x),f(x)= fx+1)=-x(x+1) 2 2 变式训练47【解析】+=++女}户-2，令 +,当0时，≥2V-2,当且仅当x=1时， 取等号，当xc0时，-x士)≤-2，当且仅当x=-1 时，取等号，f(t)=-2,te(-∞，-2]U[2,+0), fx)=x2-2,xe(-0,-2]U[2,+∞)，则f3)=32-2=7. 例3解：(1)如图1，当x∈[0,2]时，图象是直线 的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]. 3 12 图1 (2)如图2，当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函 数y=2的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]. 42 I 图2 (3)如图3所示，图象是抛物线y=x+2x在-2≤x≤2 之间的部分.观察可知，其值域为[-1,8]. y 5 4 3 3 -2-11 012x -21 图3 例3答图 变式训练5解：(1)如图1，这个函数的图象由一些 点组成，这些点都在直线y=x+1上，其值域为Z 图1 (2)如图2，作出抛物线f(x)=x2-2x=(x-1)2-1在 0≤x<3之间的部分，其值域为[-1,3). 0 1 3x 图2 （3)号-1+名先作出)=子的图象，将其 图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长 度，即得y=+2的图象.如图3，其值域为(-0,1)U x-1 (1,+∞). 图3 变式训练5答图 例4解：由-5e(-0,-2],-V3e(-2,2),-号e (-0,-2],知f-5)=-5+1=-4, f-V3)=(-V3)42x(-V3)=3-2V3. 3）=3+1-3,-2x32. 引-x2引-3= 变式训练6解：函数)-，。 .f1)=12+1- 1=1.fx)>f1)→fx)>1台 0 台-2<x<0或 >1,fx)>f1)的解集为(-2,0)U(1,+∞) 例5解：(1)函数f(x)图象如图1所示，由图象知， fx)的定义域是(0，+∞)，值域是[1，+). (2)函数g(x)图象如图2所示，由图象知，g)的 定义域是(-∞，+∞)，值域是(-6,6]. 2 图1 图2 例5答图 3,≤≤3， 变式训练7解：f(x)=x+1+2x-1= -+2,-1≤K 2 -3x,-3≤<-1， 故f(x)图象如图： 参考答案。 94 8 765 3 1 4321234 变式训练7答图 由图象，可知/=(x2-月)f3)f-3) 9,函数的值鼓为[3,9 数学文化 例A【解析】水壶的结构：底端与上端细、中间粗， 所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加得快，中 间增加得慢，最后水上升的速度又变快，由图可知选项A 符合.故选A 3.1.2函数的单调性 第1课时函数的单调性及函数的平均变化率 要点精析 例1证明：x,e[2,+0),且x<, 则+- 4 =(6)+46xx2-xr)4 X12 X比2 .2≤x1<2 t-2<0,x2>4,xx2-4>0, fx)-fx2)<0,即fx)fa), “函数f(x)=+4在[2，+0)上是增函数 V,3∈(0,2]，且x<2, 则f)-fx2)=（xr)x4) X1X2 .0Kx1<x2≤2 x-x2<0,0Kxx2<4,x2-4<0 :fx)-fx2)>0,即fx)>f). :函数f代x)=+4在(0,2]上是减函数 变式训练1解：当a>0时，函数fx)在(-1,1)上单 调递增： 当a<0时，函数f(x)在(-1,1)上单调递减. 证明如下：①当心0时，x,2∈(-1,1)，且x<2, 则-受房器2. 43N 高中数学必修第一册人教B版 第三章函 数 3.1函数的概念与性质 3.1.1函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 为函数的值域 学习目标 思考函数f代x)的值域就是集合B吗？ 1.能够在初中用变量之间的依赖关系描 例1(1)选项中可作为函数yf(x)的 述函数的基础上，理解用集合语言和对应关： 图象的是() 系刻画函数，能够准确表述函数概念。 2.能够正确求出简单函数的定义域 3.能够准确判断两个函数是不是同一个 函数. A 4.能够正确求出函数值以及简单函数的 值域， 要点精析 川要点1函数的概念 (2)下列三个说法： ①若函数的值域只含有一个元素，则定 一般地，给定两个非空实数集A与B,义域也只含有一个元素； 以及对应关系∫，如果对于集合A中的每一 ②若f(x)=5(x∈R),则f(π)=5一定 个实数x,在集合B中都有唯一确定的实数：成立； y与x对应，则称∫为定义在集合A上的一 ③A={中国，巴西，英国}，B={亚洲， 个函数，记作y=(x),x∈A,其中x称为自：南美洲，欧洲)，则A到B的对应关系：国 变量，y称为因变量，自变量的取值范围：家所在的洲，是A到B的一个函数 (即数集A)称为这个函数的定义域，所有 其中正确说法的个数为() 函数值组成的集合y∈Bly=f(x),x∈A}称 A.0B.1C.2D.3 50)学 第三章函 (3)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4], 例2求下列函数的定义域. 则下列对应关系中，不能看作是从A到B (1)=+1-V1=. 的函数关系的是() x+1 1 A.f:xy=- (2)y=V3 Ixl-5 B厅一= 分析根据解析式得出式子有意义的 条件，比如偶次根式的被开方数为非负数、 C: 分式的分母不能为零等，列出相应的不等 式进行解答 D.f:xy=x 分析紧扣函数的定义，两个非空实 数集A与B,集合A中元素具有任意性， 集合B中元素具有唯一性 B变式训练① 设集合M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}， 给出如下四个图象，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的是() D 川要点2求函数的定义域 函数的定义域即式子有意义的自变量取 值的集合 变式训练② 思考根据函数解析式求定义域，应 函数f代x)= 3 的定义域为 该注意哪些方面的限制条件？ 1-V1-x 学 51 N 高中数学必修第一册人教B版 川要点3同一个函数 A.y=Vr B.y=(Vx)2 如果两个函数表达式表示的函数定义域 C.y=Vx D.V图 相同，对应关系也相同（即对自变量的每一 川要点4求函数值和值域 个值，两个函数表达式得到的函数值都相 等)，则称这两个函数表达式表示的就是同 函数的值域即为所有的函数值组成的 一个函数. 集合 思考能否通过两个函数的值域相同， 思考你能写出一次函数、二次函数、 来判断两个函数是不是同一个函数呢？ 反比例函数的值域吗？ 例3(1)给出下列三个说法： 例4求下列函数的值域。 ①f(x)=x°与g(x)=1是同一个函数； (1)y=3x+7 ②y=f(x),x∈R与y=f(x+1),x∈R可 x-2 能是同一个函数： (2)=1 x2+11 ③y=f(x),xeR与y=ft),teR是同 个函数 其中正确说法的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 (2)下列各组函数： ①fx)=-x,g(x)=-1; 2, 3f(x)=Vx+I.V1-x,g(x)=VI-x2; ④f(x)=V(x+3)P,g(x)=x+3; ⑤f(x)=x,g(a)=a 其中表示同一个函数的是 (填 序号) 分析 严格按照同一个函数的定义进 行判断。 变式训练3 (多选题)在下列函数中，与函数y=x 不是同一个函数的有() 52)学 第三章函数。 变式训练④ 数学文化 求下列函数的值域 例（多选题）中国清朝数学家李善兰 a)x+ 在1859年翻译的《代数学》一书中，首次 将“function'”译作“函数”，沿用至今.为 (2)fx)=2-V-x2+4x. 什么这么翻译？书中解释说“凡此变数中函 彼变数者，则此为彼之函数”.1930年，美 国人给出了我们教材中所学的集合论的函数 定义.已知集合M={-1,1,2,4},N= 1,2,4,16,给出下列四个对应法则，请 由函数定义判断，其中能构成从M到N的 函数的有( A.y=2x B.y=x+3 C.y=ll D.y=x2 学(53 N 高中数学必修第一册人教B版 第2课时 函数的表示方法 法精准、全面概括了变量之间的关系，但 学习目标 是过于抽象 1.能够在实际情境中，根据需要选择恰 当的方法（如解析法、图象法、列表法）表 示函数 2.能够利用待定系数法、换元法、配凑 法、解方程组等方法求函数的解析式。 3.能够利用函数的图象研究函数的 性质 4.理解分段函数的概念，能画出高斯取 整函数的图象， 要点精析 川要点1函数的三种表示方法 解析法 用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系 函 图象法 用函数的图象表示函数的 方法 法 用列表的形式给出函数的对 列表法 应关系 思考 用解析法、图象法、列表法表 示函数，各自的优，点和缺点是什么？ 例1某商场新进了10台彩电，每台售 价3000元，试求售出台数x(x为正整数) 与收款数y之间的函数关系，分别用列表： 法、图象法、解析法表示出来， 分析列表法可以直观看到函数定义 域、值域，但是定义域元素较多时不方便 图象法能直观形象地表示出自变量与函数 值的关系，但是手工绘制图象不容易.解析： 54)学 第三章函数。 B变式训练① 已知f(x)的定义域为A,，当g(x)的值 域B为A的子集的时候，可以表示为f代g(x)) 某商场在国庆促销期间规定，商场内所 已知∫(g(x)以及g(x)的值域为B,只 有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在 能求f(x)在x∈B时的解析式： 该商场内消费满一定金额后，按如下方案获 得相应金额的奖券： 消费金额的范围/元 获得奖券的金额/元 [200,400) 30 [400,500) 60 「500,700) 100 [700,900) 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物 可以获得双重优惠，例如，购买标价为400 元的商品，则消费金额为320元，获得的优 惠额为400x0.2+30=110(元).若顾客购买一 件标价为1000元的商品，则所能得到的优 惠额为() A.130元 B.330元 C.360元 D.800元 川要点2求函数的解析式 *例2(1)已知f(x)是一次函数，且 f(f(x)=9x+4,求f(x)的解析式 (2)已知函数f(x)(x≥1)满足f(V+ 1)=x+2Vx,求fx). (3)已知函数fx)(x≠0)满足2 f(x)=x,求fx). 分析f(g(x)是函数f(x)和g(x)复合， f(g(x)的自变量为x,x经过对应关系g得 到g(x),g(x)经过对应关系f得到f八g(x)). 学(55 N 高中数学必修第一册人教B版 反思感悟 (2)=2,xe[2,+o) x (1)当已知函数类型时，可以设出函 (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]. 数的标准形式，利用待定系数法求函数解 分析一次函数图象是直线，反比例 析式 函数图象是双曲线，二次函数图象是抛物 (2)换元法和配凑法都是将运算对象 线，这些都是我们初中已经掌握的，是可 当作一个整体，如将例2中(2)的Vx+1 以直接使用的 当作一个整体来表示运算结果，从而求出 函数解析式，此时要特别注意函数的定 义域 (3)当函数类型未知，且运算对象不 仅仅只有一个时，往往通过解方程组的方 法求函数解析式 变式训练2 已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3, f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b= B变式训练③ 变式训练S 定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)= 作出下列函数的图象，并求其值域. 2f(x).若当0≤x≤1时，f(x)=x(1-x): (1)f(x)=x+1,x∈Z. 则当-1≤x≤0时，f(x)= (2)fx)=x2-2x,x∈[0,3) 变式训练4 (3)fx)=+2 x-1 已如f+士=4，则术3)的值等于 川要点3函数图象的作法及应用 例3作出下列函数的图象并求出其 值域， (1)y=2x+1,x∈[0,2]. 56)学 第三章函 数 要点4分段函数 变式训练6 如果一个函数，在其定义域内，对于自 x+3,x<0, 已知fx)x+-1,x≥0， 求不等式f(x) 变量的不同取值区间，有不同的对应方式， 则称其为分段函数： >1)的解集. 分段函数有几段，它的图象就由几条曲 线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的 定义区间和表达式依次画出图象.（要注意 每段图象的端点是空心点还是实心点，组合 到一起就得到整个分段函数的图象)》 思考如何确定分段函数的定义域和 值域？ x+1,x≤-2， 例4已知函数f(x)= x2+2x,-2<x<2, 2x-1,x≥2， 例5分别作出下列分段函数的图象， 并写出定义域及值域 试求f-5),-V3).ff-的值， 1,0<x<1 分析 分段函数是一个函数，不是几 (1)fx)= 个函数，解决分段函数问题需要用到分类 x,x≥1. 讨论思想 3,x<-2, (2)g(x)= -3x,-2≤x<2, -3,x≥2. 分析 分段函数的定义域、值域是各 个分段函数的定义域、值域的并集， 学(57 N 高中数学必修第一册人教B版 B 变式训练⑦ 数学文化 在图3-1-1中画出函数f(x)=x+1+ 例图3-1-2中的文物称为“垂鳞纹圆 2x-1川，x∈[-3,3]的图象，并求出f(x)的 壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器 值域 皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代 中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其 -9 容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时 --1 7 6 30s注满，设注水过程中，壶中水面高度为 4 h,注水时间为t,则下列选项中最符合h关 2L 于t的函数图象的是() -3-2-o13x T一T 图3-1-1 30 30 图3-1-2 A B 30 30 D 58)学