1.1.3 集合的基本运算导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本运算，涵盖交、并、补、全集的定义及运算律，通过课前预习梳理核心知识点，课堂以真题精讲衔接，构建从基础定义到高考培优公式的学习支架。 资料特色在于结合高考真题分题型突破，针对区间运算、含参问题等重难点，利用数轴与Venn图培养直观想象，通过德摩根定律应用提升逻辑推理，分层作业助力学生攻克难点，有效提升数学运算能力。

高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.3 集合的基本运算 精品学案（解析版） 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：深度理解交、并、补、全集的定义，区分集合运算的本质逻辑，规避概念混淆易错点。 2.逻辑推理：熟练运用集合运算律、德摩根定律，掌握集合等价转化的推理方法。 3.直观想象：熟练利用数轴、Venn图解决区间集合、抽象集合的综合运算问题。 4.数学运算：攻克含参数集合运算、不等式集合混合运算、逆向补集运算等高频难点题型。 【学习重难点】 学习重点：区间型集合交并补混合运算；集合运算律综合应用；真题中档题型解题思路。 学习难点：含参数集合的分类讨论；端点取舍问题；补集思想逆向解题；德摩根定律综合化简。 【课前预习·核心知识点梳理】 知识点一：交集（∩） 1. 定义：由同时属于集合A和集合B的所有元素构成的集合，即取两集合公共元素。 2. 符号语言：A∩B={x | x∈A 且 x∈B} 3. 核心性质：A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B 知识点二：并集（∪） 1. 定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，合并元素且自动去重。 2. 符号语言：A∪B={x | x∈A 或 x∈B} 3. 核心性质：A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B 知识点三：全集与补集 1. 全集U：指定研究范围内的全部元素集合，范围随题目变化。 2. 补集定义：CUA={x | x∈U 且 x∉A} 3. 核心性质：A∩CUA=∅，A∪CUA=U，CU(CUA)=A 知识点四：高考培优核心公式（重难点） 1. 等价转化（含参题型必考）：A∪B=A ⇔ B⊆A；A∩B=A ⇔ A⊆B 2. 德摩根定律（综合题高频）：CU(A∪B)=CUA∩CUB；CU(A∩B)=CUA∪CUB 【课堂真题精讲·中档培优题型（全真题）】 题型一：区间集合混合交并运算（端点难点） 典例1（2024·新高考Ⅱ卷·中档题） 已知集合A={x | -2＜x≤3}，B={x | 1≤x＜5}，C={x | x≤0} 求：(1)A∪B (2)B∩C 题型二：补集与混合运算综合（逆向思维） 典例2（2023·山东济南统考·拔高题） 设全集U=R，集合A={x | 2≤x＜6}，B={x | 3＜x≤8} 求CU(A∩B)与CU(A∪B) 题型三：德摩根定律专项应用（高考高频） 典例3（2022·浙江新高考·中档题） 已知全集U=R，集合A、B满足CUA=(-∞,2)∪(5,+∞)，CUB=(-∞,3)∪(7,+∞) 求CU(A∪B)、CU(A∩B) 题型四：含参数集合子集转化（培优难点） 典例4（2024·江苏苏州统考·拔高题） 已知集合A={x | -1≤x≤4}，B={x | k-1≤x≤k+2}，若A∪B=A，求实数k的取值范围。 题型五：方程集合与不等式集合综合（易错拔高） 典例5（2025·四川成都统考·中档题） 已知集合A={x | x²-5x+6=0}，B={x | mx-6=0}，若A∩B=B，求实数m的值。 【课堂拔高精练（真题）】 1. （2024·天津统考）全集U=R，A={x | 1＜x≤5}，B={x | 3≤x＜7}，则CU(A∩B)=________。 2. （2023·广东新高考）已知A={x | -3≤x＜2}，B={x | x≥1}，则A∪B=________。 3. （2025·山东潍坊统考）若集合A={x | x²-1=0}，B={x | ax=1}，且B⊆A，求a的取值。 【课后分层培优作业】 中档提升题 1. （2023·全国甲卷）设全集U=R，集合A={x | x＞1}，B={x | -2＜x＜3}，求A∩B、CU(A∪B)。 2. （2024·福建统考）已知集合A={x | 0≤x≤4}，B={x | m≤x≤m+3}，若B⊆A，求m的取值范围。 压轴培优题 3. （2025·湖南长沙月考·改编）已知全集U={x | x是小于10的正整数}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求CU(A∩B)和CU(A∪B)。 4. （2024·浙江培优真题）已知A={x | -1≤x≤3}，B={x | a＜x＜a+2}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围。 【课堂核心小结】 1. 基础运算：区间集合优先数轴法，重点区分开闭端点，杜绝取舍错误。 2. 核心转化：集合等式优先转化为子集关系，是含参题型解题突破口。 3. 易错重点：含参集合务必优先讨论空集，空集是所有集合的子集。 4. 高阶技巧：复杂补集运算优先使用德摩根定律，简化运算步骤。 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学人教 B 版 (2019) 必修第一册｜同步精品教研学案 紧扣新课标・重难点突破 1.1.3 集合的基本运算 精品学案（解析版） 教材版本：人教B版（2019）高中数学必修第一册 课时：1课时 适用年级：高一上学期 【学习目标】 1.数学抽象：深度理解交、并、补、全集的定义，区分集合运算的本质逻辑，规避概念混淆易错点。 2.逻辑推理：熟练运用集合运算律、德摩根定律，掌握集合等价转化的推理方法。 3.直观想象：熟练利用数轴、Venn图解决区间集合、抽象集合的综合运算问题。 4.数学运算：攻克含参数集合运算、不等式集合混合运算、逆向补集运算等高频难点题型。 【学习重难点】 学习重点：区间型集合交并补混合运算；集合运算律综合应用；真题中档题型解题思路。 学习难点：含参数集合的分类讨论；端点取舍问题；补集思想逆向解题；德摩根定律综合化简。 【课前预习·核心知识点梳理】 知识点一：交集（∩） 1. 定义：由同时属于集合A和集合B的所有元素构成的集合，即取两集合公共元素。 2. 符号语言：A∩B={x | x∈A 且 x∈B} 3. 核心性质：A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A，A∩B⊆A，A∩B⊆B 知识点二：并集（∪） 1. 定义：由属于集合A或属于集合B的所有元素构成的集合，合并元素且自动去重。 2. 符号语言：A∪B={x | x∈A 或 x∈B} 3. 核心性质：A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A，A⊆A∪B，B⊆A∪B 知识点三：全集与补集 1. 全集U：指定研究范围内的全部元素集合，范围随题目变化。 2. 补集定义：CUA={x | x∈U 且 x∉A} 3. 核心性质：A∩CUA=∅，A∪CUA=U，CU(CUA)=A 知识点四：高考培优核心公式（重难点） 1. 等价转化（含参题型必考）：A∪B=A ⇔ B⊆A；A∩B=A ⇔ A⊆B 2. 德摩根定律（综合题高频）：CU(A∪B)=CUA∩CUB；CU(A∩B)=CUA∪CUB 【课堂真题精讲·中档培优题型（全真题）】 题型一：区间集合混合交并运算（端点难点） 典例1（2024·新高考Ⅱ卷·中档题） 已知集合A={x | -2＜x≤3}，B={x | 1≤x＜5}，C={x | x≤0} 求：(1)A∪B (2)B∩C 解析：借助数轴精准判断区间端点，注意开闭区间不重叠、不遗漏。 （1）A范围：-2＜x≤3，B范围：1≤x＜5，合并得A∪B={x | -2＜x＜5} （2）B范围：1≤x＜5，C范围：x≤0，无公共区间，故B∩C=∅ 答案：(1) {x | -2＜x＜5} (2) ∅ 题型二：补集与混合运算综合（逆向思维） 典例2（2023·山东济南统考·拔高题） 设全集U=R，集合A={x | 2≤x＜6}，B={x | 3＜x≤8} 求CU(A∩B)与CU(A∪B) 解析：先算交并，再求补集，也可直接用德摩根定律化简。 A∩B={x | 3＜x＜6}，故CU(A∩B)={x | x≤3 或 x≥6} A∪B={x | 2≤x≤8}，故CU(A∪B)={x | x＜2 或 x＞8} 答案：CU(A∩B)={x | x≤3或x≥6}；CU(A∪B)={x | x＜2或x＞8} 题型三：德摩根定律专项应用（高考高频） 典例3（2022·浙江新高考·中档题） 已知全集U=R，集合A、B满足CUA=(-∞,2)∪(5,+∞)，CUB=(-∞,3)∪(7,+∞) 求CU(A∪B)、CU(A∩B) 解析：由补集先还原原集合：A=[2,5]，B=[3,7] A∪B=[2,7]，则CU(A∪B)=(-∞,2)∪(7,+∞) A∩B=[3,5]，则CU(A∩B)=(-∞,3)∪(5,+∞) 题型四：含参数集合子集转化（培优难点） 典例4（2024·江苏苏州统考·拔高题） 已知集合A={x | -1≤x≤4}，B={x | k-1≤x≤k+2}，若A∪B=A，求实数k的取值范围。 解析：由A∪B=A得B⊆A，区间集合包含关系需满足左右端点同时成立。 列不等式组：{k-1≥-1 ，k+2≤4} 解得：0≤k≤2 答案：[0,2] 题型五：方程集合与不等式集合综合（易错拔高） 典例5（2025·四川成都统考·中档题） 已知集合A={x | x²-5x+6=0}，B={x | mx-6=0}，若A∩B=B，求实数m的值。 解析：由A∩B=B得B⊆A，优先讨论空集情况（高频易错点）。 A={2,3}，分两种情况： ① B=∅，即m=0，符合B⊆A； ② B≠∅，则x=6/m，代入得6/m=2或6/m=3，解得m=3或m=2。 答案：m=0或2或3 【课堂拔高精练（真题）】 1. （2024·天津统考）全集U=R，A={x | 1＜x≤5}，B={x | 3≤x＜7}，则CU(A∩B)=________。 2. （2023·广东新高考）已知A={x | -3≤x＜2}，B={x | x≥1}，则A∪B=________。 3. （2025·山东潍坊统考）若集合A={x | x²-1=0}，B={x | ax=1}，且B⊆A，求a的取值。 【课后分层培优作业】 中档提升题 1. （2023·全国甲卷）设全集U=R，集合A={x | x＞1}，B={x | -2＜x＜3}，求A∩B、CU(A∪B)。 2. （2024·福建统考）已知集合A={x | 0≤x≤4}，B={x | m≤x≤m+3}，若B⊆A，求m的取值范围。 压轴培优题 3. （2025·湖南长沙月考·改编）已知全集U={x | x是小于10的正整数}，A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求CU(A∩B)和CU(A∪B)。 4. （2024·浙江培优真题）已知A={x | -1≤x≤3}，B={x | a＜x＜a+2}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围。 【课堂核心小结】 1. 基础运算：区间集合优先数轴法，重点区分开闭端点，杜绝取舍错误。 2. 核心转化：集合等式优先转化为子集关系，是含参题型解题突破口。 3. 易错重点：含参集合务必优先讨论空集，空集是所有集合的子集。 4. 高阶技巧：复杂补集运算优先使用德摩根定律，简化运算步骤。 【参考答案与详细解析】 一、课堂拔高精练答案 1. 解析：A∩B={x | 3≤x≤5}，CU(A∩B)={x | x＜3或x＞5} 2. 解析：A∪B={x | -3≤x} 3. 解析：A={-1,1}，B⊆A，B=∅时a=0；B≠∅时a=1或a=-1，综上a=0,1,-1 二、课后作业答案 1. A∩B={x | 1＜x＜3}，A∪B={x | x＞-2}，CU(A∪B)={x | x≤-2} 2. 由B⊆A得：{m≥0，m+3≤4}，解得0≤m≤1 3. U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B={3,4}，CU(A∩B)={1,2,5,6,7,8,9}；A∪B={1,2,3,4,5,6}，CU(A∪B)={7,8,9} 4. A∩B=∅，则a+2≤-1 或 a≥3，解得a≤-3或a≥3 学科网（北京）股份有限公司 $