30.3正多边形与圆（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“正多边形与圆”第2课时，核心知识点为圆的内接正方形和正六边形尺规作图。课堂导入通过填空回顾正多边形与圆的定义，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 此导学案以合作探究为主线，引导学生通过“思考-提示-结论”自主推理作图方法，培养数学思维中的推理意识。巩固练习结合图案设计与五角星绘制，让学生体验数学与生活的联系，发展几何直观与创新意识。分层作业（A组基础、B组提升）兼顾不同学生需求，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升应用意识。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 2.在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，体验数学与生活的紧密联系，感受正多边形与圆的和谐美。 学习重点： 能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 学习难点： 能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 二、学习过程 （一）复习引入 正多边形与圆 把一个圆分成相等的一些弧，以各分点为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. （二）合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 提示 假设已经画出了⊙O的内接正六边形ABCDEF，你能得到什么结论？ 结论1：正六边形ABCDEF的中心角是60°； 结论2：正六边形ABCDEF的半径等于边长. 追问 你找到作图方法了吗？ 思路1：画60°的中心角→等分圆周 作图工具：直尺，量角器 思路2：截取弦长等于半径→等分圆周 作图工具：直尺，圆规 作图 请选择你喜欢的方法完成作图. 作法1 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE =∠EOF=∠FOA=60°，就得到圆的6个等分点； （点B、C、D、E、F在圆上） 3.顺次连接各分点，即可得到正六边形ABCDEF. 作法2 1.画⊙O的半径OA； 2.以点A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点B，得到，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧， 就得到圆的6个等分点； 3.顺次连接各分点，即可得到正六边形ABCDEF. 归纳总结 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图.利用这种方法，可以画出任意的正n边形. 作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的n个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正n边形. （三）典例分析x2−x−56=0 例 用等分圆周法画出下列正多边形： （1）正方形； （2）正五边形. （1）作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=90°(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的4个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正方形ABCD. （2）作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=72°(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的5个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正五边形ABCDE. （四）巩固练习 1. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 作法： （1）以点O为圆心，2 cm为半径画圆； （2）画⊙O的半径OA； （3）用量角器画圆心角∠AOB=72°(点B在圆上)，得到； （4）在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的5个等分点； （5）顺次连接各分点，即可得到正五边形ABCDE； （6）作出正五边形ABCDE的各条对角线，画出一个五角星. 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 3.如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD.（保留作图痕迹．不写作法） 分析 如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为⊙O的直径， ∴BD为⊙O的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是⊙O的内接正方形． 4.作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段AB．求作线段AB的垂直平分线，交AB于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并写出作法． 解：(1)如图，直线MN即为所求. (2)连接CO并延长到F，使得 OF=OC，连接BO并延长到E， 使得OE=OB，连接DE，EF， AF，如图，六边形ABCDEF 即为所求． （五）当堂检测 1.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（  C   ） A．54−9π B．27+4π C．27−4π D．54+9π 2.在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正八边形 作法提示：（1）利用等分圆周法，将圆六等分，间隔取分点，顺次连接即可得到圆的内接正三角形. 作法提示：（2）画出圆的两条互相垂直的直径，得到四个直角，画相邻两个直角的角平分线并反向延长，得到圆的八个等分点，顺次连接各分点，即可得到圆的内接正八边形. （六）课堂小结 等分圆周法画正多边形 作法： 1.画⊙O的半径OA； 2.用量角器画圆心角∠AOB=(点B在圆上)，得到； 3.在圆上依次截取与相等的弧，就得到圆的n个等分点； 4.顺次连接各分点，即可得到正n边形. （七）布置作业 A组题：习题30.3：第3题. B组题：习题30.3：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.3正多边形与圆（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 2.在画正多边形和利用正多边形设计图案的过程中，体验数学与生活的紧密联系，感受正多边形与圆的和谐美。 学习重点： 能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 学习难点： 能用尺规作图：作圆的内接正方形和内接正六边形。 二、学习过程 （一）复习引入 正多边形与圆 把一个圆分成 的一些弧，以 为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆. 经过 作圆的切线，以 为顶点的多边形就是这个圆的外切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆. （二）合作探究 思考 如何用等分圆周法画正六边形? 提示 假设已经画出了⊙O的内接正六边形ABCDEF，你能得到什么结论？ 结论1： ； 结论2： . 追问 你找到作图方法了吗？ 作图 请选择你喜欢的方法完成作图. 归纳总结 由于 ，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形.对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图.利用这种方法，可以画出任意的 . （三）典例分析x2−x−56=0 例 用等分圆周法画出下列正多边形： （1）正方形； （2）正五边形. （四）巩固练习 1. 画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星. 2. 用等分圆周的方法画出下列图案： 3.如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD.（保留作图痕迹．不写作法） 4.作图题： (1)尺规作图：如图，已知线段AB．求作线段AB的垂直平分线，交AB于点C；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)已知六边形ABCDEF是以O为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF的全部图形，并写出作法． （五）当堂检测 1.如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（      ） A．54−9π B．27+4π C．27−4π D．54+9π 2.在下列图中，请仅用圆规和无刻度的直尺分别按要求画出圆的内接正多边形（保留画图痕迹，不写画法）． (1)正三角形 (2)正八边形 （六）课堂小结 等分圆周法画正多边形 作法： （七）布置作业 A组题：习题30.3：第3题. B组题：习题30.3：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $