29.1.2过三点的圆（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“过三点的圆（第2课时）”，核心内容为反证法的含义及应用。课堂从“同一直线上三点能否作圆”的问题导入，关联“不在同一直线三点作圆”的旧知，通过合作探究构建反证法学习支架，引导学生理解其基本步骤。 特色在于以几何问题为载体，通过典例分析和分层练习，让学生经历反证法推理过程，培养推理意识和有理有据的数学表达习惯。习题设计兼顾基础与应用，助力学生掌握数学思维方法，提升核心素养。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.通过实例体会反证法的含义。 2.体会反证法在几何证明中的独特价值，感受不同数学证明方法的多样性，形成有理有据的数学表达习惯。 学习重点：通过实例体会反证法的含义。 学习难点：体会反证法在几何证明中的独特价值。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗? 追问 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同. 反证法的基本步骤 → → → 应用 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法.x2−x−56=0 思考 证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2. （三）典例分析 1. 用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 2. 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. （四）巩固练习 1. 用反证法证明“直线a，b，l在同一平面内，若a⊥l，b⊥l，则a∥b．”，应先假设（     ） A．a∥b B．a与b相交 C．a⊥b D．a不垂直于l 2. 用反证法证明命题结论“a是负数”时，应先假设（     ） A．a≥0 B．a>0 C．a=0 D．a≠0 3. 以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在△ABC中，∠C>∠B．求证：AB>AC． ②无论哪种情况，都与已知∠C>∠B矛盾． ③因此假设都不成立，所以AB>AC． ④假设AC>AB，∴∠B>∠C；假设AB=AC，∴∠C=∠B． 这四个步骤正确的顺序应是__ __． 4.用反证法证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 已知：如图，Rt△ABC，∠C=90°． 求证：∠A，∠B至少有一个不大于45°． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． 横线处应填入（     ） A．∠A<45°，∠B>45° B．∠A<45°，∠B<45° C．∠A>45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45° （五）当堂检测 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”． 如图，已知：直线l1、l2被直线l3所截，l3分别交l1、l2于点M、N，∠1+∠2=180°， 求证：l1∥l2．把以下证明过程补充完整. 证法1：如图1，假设直线l1与直线l2不平行，且l1与l2相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P= （  ）， 所以∠1+∠2 180° ， 这与“∠1+∠2=180°”矛盾， 故假设不成立，所以l1∥l2． 证法2：如图2，假设直线l1与直线l2不平行， 那么可以过点M作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN=180°（ ）， 因为∠1+∠2=180°， 所以 （ ）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立，所以l1∥l2． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第3题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.1.2过三点的圆（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.通过实例体会反证法的含义。 2.体会反证法在几何证明中的独特价值，感受不同数学证明方法的多样性，形成有理有据的数学表达习惯。 学习重点：通过实例体会反证法的含义。 学习难点：体会反证法在几何证明中的独特价值。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆.那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗? 解：如图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P， 那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁上， 又在线段BC的垂直平分线l₂上， 即点P为l₁与l₂的交点. 而l₁⊥l，l₂⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 追问 上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同. 反证法的基本步骤 提出与结论相反的假设→推出和★相矛盾的结果→断定所作假设错误→原命题成立 ★定义、基本事实、定理、题设... 应用 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法.x2−x−56=0 思考 证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2， 过点O作直线A'B'，使∠EOB′=∠2. 根据“同位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD， 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 这说明假设不正确，从而∠1=∠2. （三）典例分析 1. 用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 证明：假设400 人中任意两个人的生日都不相同. ∵每个人对应一个独一无二的生日日期，400 人互不相同， ∴需要存在 400 个互不重复的生日日期. ∵一年最多只有 366 天（闰年），全年仅有 366 个不同日期，不可能出现400 种不一样的生日，二者互相矛盾. ∴该假设不成立. ∴400 人中至少有两个人的生日相同. 2. 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 证明：假设一个三角形中存在两个角是直角， 不妨设在△ABC中，∠A=90°，∠B=90°. ∵∠C>0°， ∴∠A+∠B+∠C>90°+90°+0°，即∠A+∠B+∠C>180°. 这与定理“三角形的内角和等于180°”矛盾. ∴假设不成立. ∴一个三角形中不能有两个角是直角. （四）巩固练习 1. 用反证法证明“直线a，b，l在同一平面内，若a⊥l，b⊥l，则a∥b．”，应先假设（  B   ） A．a∥b B．a与b相交 C．a⊥b D．a不垂直于l 2. 用反证法证明命题结论“a是负数”时，应先假设（  A   ） A．a≥0 B．a>0 C．a=0 D．a≠0 3. 以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤： ①如图，已知：在△ABC中，∠C>∠B．求证：AB>AC． ②无论哪种情况，都与已知∠C>∠B矛盾． ③因此假设都不成立，所以AB>AC． ④假设AC>AB，∴∠B>∠C；假设AB=AC，∴∠C=∠B． 这四个步骤正确的顺序应是__①④②③__． 4.用反证法证明：在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°． 已知：如图，Rt△ABC，∠C=90°． 求证：∠A，∠B至少有一个不大于45°． 证明：假设所求证的结论不成立，即_______________． 横线处应填入（  D   ） A．∠A<45°，∠B>45° B．∠A<45°，∠B<45° C．∠A>45°，∠B<45° D．∠A>45°，∠B>45° （五）当堂检测 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”． 如图，已知：直线l1、l2被直线l3所截，l3分别交l1、l2于点M、N，∠1+∠2=180°， 求证：l1∥l2．把以下证明过程补充完整. 证法1：如图1，假设直线l1与直线l2不平行，且l1与l2相交于点P， 所以∠1+∠2+∠P=_180°_（ 三角形内角和等于180°）， 所以∠1+∠2_<_180° ， 这与“∠1+∠2=180°”矛盾， 故假设不成立，所以l1∥l2． 证法2：如图2，假设直线l1与直线l2不平行， 那么可以过点M作直线GH∥l2，则∠1≠∠HMN． 因为GH∥l2， 所以∠2+∠HMN=180°（两直线平行，同旁内角互补）， 因为∠1+∠2=180°， 所以 ∠1=∠HMN （同角的补角相等）， 这与“∠1≠∠HMN”矛盾，故假设不成立，所以l1∥l2． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题29.1：第3题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $