29.2.3圆周角（第2课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“圆内接四边形的概念和性质”，通过复习三角形外接圆及多边形内接圆概念导入，建立新旧知识联系，以学习支架形式引导学生从已有圆周角知识过渡到新内容。 资料以“猜想-证明”探究式学习为主线，融入中考真题演练与分层巩固练习，培养学生推理能力与应用意识，通过典例分析与当堂检测，帮助学生掌握性质应用，提升解决问题能力，符合数学思维与语言表达核心素养要求。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.3圆周角（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.掌握圆内接四边形的概念和性质。 2.会运用圆内接四边形的性质解决问题。 学习重点： 掌握圆内接四边形的概念和性质。 学习难点： 会运用圆内接四边形的性质解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形. 2.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的外接圆. 因为圆内接四边形的每个角都是圆周角，所以可以利用圆周角定理研究圆内接四边形的角之间的关系. （二）合作探究 思考 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质，是否还有其他性质? 猜想 圆内接四边形的对角互补. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 证明：连接OB，OD. ∵∠A所对的弧为，∠C所对的弧为， 又和所对的圆心角的和是周角， ∴∠A+∠C=360°÷2=180°. 同理∠B+∠D=180°. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. （三）典例分析x2−x−56=0 例4 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 解：∵在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是， ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又 四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180°. ∴ ∠C=130°. 中考演练1（2026江苏扬州） 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在上，∠ABC=20°，则∠CDB=__110__°． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练2（2022湖北宜昌） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=（   B   ） A．15° B．20° C．25° D．30° 中考演练3（2026河北） 如图，在⊙O中，所对的圆心角为150°，点D在上．若∠CBO=n°，则∠ADC=（  C   ） A．90°+n° B．180°−n° C．195°−n° D．2n° （四）巩固练习 1. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的四个内角分成八个角，这八个角中哪些相等?为什么? 答：∠1=∠4， ∠2=∠7， ∠3=∠6， ∠5=∠8. 2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点.若∠D=110°，求∠ABE的度数. 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D=180°. 又∵∠ABC+∠ABE=180°. ∴∠ABE=∠D=110°. 圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若∠C=78°，求∠ABD的度数. 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°. ∴∠A=180°−∠C=102°. ∵AB=AD， ∴∠ABD=(180°−∠A)÷2=39°. 4. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为 70° . 解：在四边形AOCD中，∠1+∠2+∠D+∠AOC=360°， ∵∠1+∠2=110°， ∴∠D+∠AOC=250°， 由图可得，∠AOC=2∠B， ∴∠D+2∠B=250°， 又∵∠D+∠B=180°， 解方程组得∠D=110°，∠B=70°． （五）当堂检测 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　D　） A． B．2 C．2 D．4 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，AB=AD=6，则⊙O的半径长为（ A    ） A．2 B． C．3 D．3 3.如图，点A，B，C在⊙O上，点B在劣弧上，连接OA，OC，CB，作射线AB，已知∠AOC=106°，则∠CBD的度数是 53° . 分析 如图，在优弧上取一点E，连接CE，AE， ∵ ∠AOC=106°， ∴ ∠AEC=∠AOC=53°， ∵四边形ABCE是圆内接四边形， ∴ ∠AEC+∠ABC=180°， 又∵ ∠CBD+∠ABC=180°， ∴ ∠CBD=∠AEC=53°． 4.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． 证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠BCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠BCE， ∵BC=BE， ∴∠E=∠BCE， ∴∠A=∠E， ∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形． （六）课堂小结 1.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 2.圆内接四边形的性质的推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. （七）布置作业 A组题：习题29.2：第5，9题. B组题：习题29.2：第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.2.3圆周角（第2课时）（导学案） 一、学习目标 1.掌握圆内接四边形的概念和性质。 2.会运用圆内接四边形的性质解决问题。 学习重点： 掌握圆内接四边形的概念和性质。 学习难点： 会运用圆内接四边形的性质解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 1.经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作 ，这个三角形叫作 . 2.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作 ，这个圆叫作 . 如图， 是⊙O的内接四边形， ⊙O是四边形ABCD的 . 因为圆内接四边形的每个角都是圆周角，所以可以利用圆周角定理研究圆内接四边形的角之间的关系. （二）合作探究 思考 圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为360°的性质，是否还有其他性质? 猜想 . 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°. 圆内接四边形的性质： . （三）典例分析x2−x−56=0 例4 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 中考演练1（2026江苏扬州） 如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，点D在上，∠ABC=20°，则∠CDB=__ __°． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练2（2022湖北宜昌） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C=110°，则∠OBD=（     ） A．15° B．20° C．25° D．30° 中考演练3（2026河北） 如图，在⊙O中，所对的圆心角为150°，点D在上．若∠CBO=n°，则∠ADC=（      ） A．90°+n° B．180°−n° C．195°−n° D．2n° （四）巩固练习 1. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的四个内角分成八个角，这八个角中哪些相等?为什么? 2. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为CB延长线上一点.若∠D=110°，求∠ABE的度数. 圆内接四边形的性质的推论： . 3. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若∠C=78°，求∠ABD的度数. 4. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为 . 学习笔记 （五）当堂检测 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　 ） A． B．2 C．2 D．4 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，AB=AD=6，则⊙O的半径长为（    ） A．2 B． C．3 D．3 3.如图，点A，B，C在⊙O上，点B在劣弧上，连接OA，OC，CB，作射线AB，已知∠AOC=106°，则∠CBD的度数是 . 学习笔记 4.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形． （六）课堂小结 1.圆内接四边形的性质： . 2.圆内接四边形的性质的推论： . （七）布置作业 A组题：习题29.2：第5，9题. B组题：习题29.2：第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $