28.1图形的旋转(第1课时)（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“图形的旋转（第1课时）”，引导学生理解旋转概念及三要素，探究旋转性质。课堂导入通过复习平移、轴对称等已学图形变化，联系生活旋转现象，搭建新旧知识衔接的学习支架。 导学案突出合作探究，通过硬纸板实验让学生观察旋转前后对应点关系，发展合情推理能力，培养几何直观与空间观念。结合典例分析、中考演练及分层作业，助力学生自主学习，提升推理意识与应用意识，体现数学学科特色的探究式学习方法。

人教版数学九年级上册 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转(第1课时)（导学案） 一、学习目标 1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.理解旋转的概念及其三要素。 2.探究旋转的性质，并在观察、猜想、验证、归纳、概括的探究过程中，发展合情推理能力，进一步体会图形运动中的变和不变。 学习重点： 理解旋转的概念及其三要素。 学习难点： 探究旋转的性质。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们学习过哪些图形变化？ 答：平移、轴对称. 问题2 我们学习了平移、轴对称的哪些知识？ 答：概念 → 性质 → 作图 → 图形变化与坐标. 问题3 生活中有哪些旋转现象呢？ （二）合作探究 思考 如图，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? 如图，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 如图，改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 以上这些运动现象有什么共同特点呢? 答：我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点转动. 旋转的定义及其相关概念： 像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 在左图中，时针在旋转，表盘的中心O是 旋转中心 ； 旋转方向 是顺时针方向； ∠POP′是 旋转角 ，它的度数是 60° ； 在3时的时针端点P与在5时的时针端点P′是 对应点 . 旋转三要素： 旋转中心， 旋转方向， 旋转角. 类比对平移、轴对称的研究，我们研究图形旋转前、后对应点之间的关系. 思考 旋转前后，图形的形状、大小有没有发生变化？ 答：没有发生变化.旋转前、后的图形全等. 探究 如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC绕点O旋转一个角度，得到△A'B'C'. (1)在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小点O作为旋转中心. (2)硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A'B'C′)，移开硬纸板.观察OA与OA′，OB与OB'，OC与OC′，你有什么发现?∠AOA′，∠BOB'，∠COC′有什么关系?通过测量检验你的发现. 答：可以发现，OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'；∠AOA'=∠BOB'=∠COC'. 旋转的性质： 一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； 对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA' =100°，求∠B'CA的度数. 解：由旋转的性质可知，∠BCB'=∠ACA′=35°. 又因为∠BCB′+∠B'CA+∠ACA′=∠BCA′=100°，所以∠B'CA=30°. 中考演练1(2026甘肃武威) 如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最小度数是（   C  ） A．60° B．50° C．40° D．30° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2023湖南张家界) 如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′=100°，则四边形ABOC旋转的角度是 75° ． （四）巩固练习 1. 举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角. 2. 如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角? 解：杠杆的旋转中心是支点O，旋转角是∠AOA′和∠BOB′. 3.如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°.在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点. (1)这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系? (2)这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度? 解：(1)如图，旋转中心是点O，点P的对应点是P′.这两个点到旋转中心的距离相等. (2)这两个点与旋转中心所连线段所成的角是80°. 4. 如图，在△ABC中，∠B=80°将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到△A′B′C′，且A′B′⊥AC于点D，则∠A′CB′的度数为（  B   ） A．50° B．60° C．70° D．80° 第4题图 第5题图 5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB=7，则BE的长为__7__ ． 分析 ∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED ， ∴AB=AE，∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=7 ． （五）当堂检测 1.有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（  A   ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2.如图，将Rt△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到Rt△ABC，点D的对应点B恰好落在CD的延长线上，若AE= cm，∠B=60°，则CD的长为（   D  ） A．0.5 cm B．1.5 cm C． cm D．1 cm 第2题图 第3题图 3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，连接AA′，若∠BAC=25°，则∠1的度数是（  C   ） A．35° B．25° C．20° D．10° 4.如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′．连接PP′，若A、P、P′在一条直线上． (1)旋转中心是点 B ，旋转角的度数是 90° ； (2)∠BP′C的度数是 135° ； (3)若PA=1，PB=2，求PC的长． 解：∵将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′， ∴BP′=BP，∠PBP′=∠ABC=90°，∠BP′C=∠APB， ∴∠BPP′=∠BP′P=45°， ∴∠BP′C=∠APB=180°−∠BPP′=135°. ∴在Rt△BPP′中，根据勾股定理得：PP′=2， ∵∠PP′C=∠BP′C−∠PP′B=135°−45°=90°， 在Rt△PP′C中，根据勾股定理得：PC=3. （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题28.1：第1，2，5题. B组题：习题28.1：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转(第1课时)（导学案） 一、学习目标 1.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.理解旋转的概念及其三要素。 2.探究旋转的性质，并在观察、猜想、验证、归纳、概括的探究过程中，发展合情推理能力，进一步体会图形运动中的变和不变。 学习重点： 理解旋转的概念及其三要素。 学习难点： 探究旋转的性质。 二、学习过程 （一）复习引入 问题1 我们学习过哪些图形变化？ 问题2 我们学习了平移、轴对称的哪些知识？ 问题3 生活中有哪些旋转现象呢？ （二）合作探究 思考 如图，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? 如图，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 如图，改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 以上这些运动现象有什么共同特点呢? 旋转的定义及其相关概念： 像这样，把 绕着 转动一个角度，叫作图形的旋转. 叫作旋转中心，转动的角叫作 .如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的 . 在左图中，时针在旋转，表盘的中心O是 ； 是顺时针方向； ∠POP′是 ，它的度数是 ； 在3时的时针端点P与在5时的时针端点P′是 . 旋转三要素： . 类比对平移、轴对称的研究，我们研究图形旋转前、后对应点之间的关系. 思考 旋转前后，图形的形状、大小有没有发生变化？ 探究 如图，利用以下方法或信息技术工具，将△ABC绕点O旋转一个角度，得到△A'B'C'. (1)在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小点O作为旋转中心. (2)硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A'B'C′)，移开硬纸板.观察OA与OA′，OB与OB'，OC与OC′，你有什么发现?∠AOA′，∠BOB'，∠COC′有什么关系?通过测量检验你的发现. 旋转的性质： 一个图形和其旋转得到的图形中， 到 的距离相等； 与 所连线段所成的角相等，都等于 . （三）典例分析x2−x−56=0 例1 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA' =100°，求∠B'CA的度数. 中考演练1(2026甘肃武威) 如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最小度数是（     ） A．60° B．50° C．40° D．30° 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2023湖南张家界) 如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC=50°，将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形AB′O′C′，且∠OAC′=100°，则四边形ABOC旋转的角度是 ． （四）巩固练习 1. 举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角. 2. 如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里?旋转角是哪个角? 3.如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°.在图中男生身上任意选一点P，利用旋转的性质，标出点P的对应点. (1)这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系? (2)这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多少度? 4. 如图，在△ABC中，∠B=80°将△ABC绕点C顺时针旋转50°得到△A′B′C′，且A′B′⊥AC于点D，则∠A′CB′的度数为（      ） A．50° B．60° C．70° D．80° 第4题图 第5题图 5.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB=7，则BE的长为 ． 学习笔记 （五）当堂检测 1.有以下现象： ①温度计中，液柱的上升或下降； ②打气筒打气时，活塞的运动； ③钟摆的摆动； ④风车轮的每个叶片在风的吹动下移动到新的位置． 其中不属于旋转的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2.如图，将Rt△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到Rt△ABC，点D的对应点B恰好落在CD的延长线上，若AE= cm，∠B=60°，则CD的长为（      ） A．0.5 cm B．1.5 cm C． cm D．1 cm 第2题图 第3题图 3.如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，连接AA′，若∠BAC=25°，则∠1的度数是（    ） A．35° B．25° C．20° D．10° 4.如图，点P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，将△ABP绕点B顺时针旋转到△CBP′．连接PP′，若A、P、P′在一条直线上． (1)旋转中心是点 ，旋转角的度数是 ； (2)∠BP′C的度数是 ； (3)若PA=1，PB=2，求PC的长． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题28.1：第1，2，5题. B组题：习题28.1：第8题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $