30.2三角形的内切圆（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“三角形的内切圆”，核心知识点包括内心、内切圆概念及尺规作图。通过“三角形铁皮截圆”问题导入，假设圆存在后分析圆心到三边距离相等，联系角平分线交于一点的性质，搭建从角平分线到内切圆的知识支架。 以问题驱动探究培养数学眼光（几何直观），典例与中考题结合强化数学思维（推理能力），多样练习涵盖证明、计算、作图提升数学语言（应用意识），助力学生理解与应用，适合课堂教学与自主学习。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2三角形的内切圆（导学案） 一、学习目标 1.了解三角形的内心、内切圆的概念；能用尺规作图：作三角形的内切圆。 2.应用内切圆的知识解决问题，发展应用意识。 学习重点： 能用尺规作图：作三角形的内切圆。 学习难点： 应用内切圆的知识解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 分析 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于 .如何确定这个圆的圆心和半径呢? 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到 的距离相等，所以只需作出 ，它们的 即这个圆的圆心， 即这个圆的半径. 思考 用直尺和圆规作出与△ABC的三条边都相切的圆. 作法： 三角形的内切圆 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是 的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作 . 如图， 是△ABC的内切圆， 点I 是△ABC的 . △ABC是⊙I的 . （三）典例分析x2−x−56=0 例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 中考演练(2022湖南益阳) 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 中考演练(2023山东聊城) 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（     ）    A．15° B．17.5° C．20° D．25° 中考演练(2022黑龙江绥化) 已知：△ABC． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果△ABC的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，求△ABC的面积． （四）巩固练习 1. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证:AB+DC=AD+BC. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心.求∠BOC的度数. 3. △ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l.求△ABC的面积.(提示:设△ABC的内心为O.连接OA，OB，OC.) 4.将三角形ABC按下列方式折叠得到线段AD，其中满足三角形ABC的内心一定在AD上的是（      ） A． B． C． D． 5.如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，则其内心O和外心M之间的距离是（    ） A．10 cm B．5 cm C． cm D．2 cm （五）当堂检测 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 2.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是 ． 学习笔记 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若BD=1，则弧EF的长为_________.（结果保留π） 学习笔记 （六）课堂小结 1.三角形的内切圆 的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是 的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作 . 2.尺规作图：作三角形的内切圆. 作法： （七）布置作业 A组题：习题30.2：第1，2，3题. B组题：习题30.2：第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.2三角形的内切圆（导学案） 一、学习目标 1.了解三角形的内心、内切圆的概念；能用尺规作图：作三角形的内切圆。 2.应用内切圆的知识解决问题，发展应用意识。 学习重点： 能用尺规作图：作三角形的内切圆。 学习难点： 应用内切圆的知识解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 思考 如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切? 分析 假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等于半径.如何确定这个圆的圆心和半径呢? 因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心，圆心到任意一边的距离即这个圆的半径. 思考 用直尺和圆规作出与△ABC的三条边都相切的圆. 作法：(1)如图，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，设它们相交于点I.那么点I到AB，BC，CA的距离都相等； (2)过点I作BC的垂线，垂足为D； (3)以点I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，⊙I即所求作的圆. 三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 如图， ⊙I 是△ABC的内切圆， 点I 是△ABC的内心. △ABC是⊙I的外切三角形. （三）典例分析x2−x−56=0 例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长. 解：设AF=x，则AE=x. 则BD=BF=AB-AF=9-x， CD=CE=AC-AE=13-x. 由BD+CD=BC，可得 (9-x)+(13-x)=14. 解得x=4. 因此AF=4，BD=5，CE=9. 中考演练(2022湖南益阳) 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ D ） A．I到AB，AC边的距离相等 B．CI平分∠ACB C．I是△ABC的内心 D．I到A，B，C三点的距离相等 中考演练(2023山东聊城) 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（  C  ）    A．15° B．17.5° C．20° D．25° 中考演练(2022黑龙江绥化) 已知：△ABC． (1)尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O；（只保留作图痕迹，不写作法和证明） (2)如果△ABC的周长为14 cm，内切圆的半径为1.3 cm，求△ABC的面积． 解：(1)如图所示，O为所求作点， (2)如图所示，连接OA，OB，OC，作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵内切圆的半径为1.3 cm， ∴OD=OF=OE=1.3， ∵三角形ABC的周长为14， ∴AB+BC+AC=14， 则S△ABC=S△AOB+S△COB+S△AOC=AB⋅OD+BC⋅OE+AC⋅OF=×1.3×(AB+BC+AC)=×1.3×14=9.1. （四）巩固练习 1. 如图，四边形ABCD的各边与⊙O分别相切于点E，F，G，H. 求证:AB+DC=AD+BC. 解：设AE=AH=x，BE=BF=y，CF=CG=m，DG=DH=n， ∴AB+DC=AE+BE+CG+DG=x+y+m+n， AD+BC=AH+DH+BF+CF=x+n+y+m， ∴AB+DC=AD+BC. 2. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是△ABC的内心.求∠BOC的度数. 解：∵点O是△ABC的内心， ∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB. ∵∠ABC=50°，∠ACB=75°， ∴∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37.5°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=117.5°. 3. △ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l.求△ABC的面积.(提示:设△ABC的内心为O.连接OA，OB，OC.) 解：设△ABC的内心为O.连接OA，OB，OC. 过点O分别作AB，BC，CA的垂线，垂足分别为D，E，F. ∴OD=OE=OF=r. ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA =AB×OD+BC×OE+CA×OF =(AB+BC+CA)×r=lr. 4.将三角形ABC按下列方式折叠得到线段AD，其中满足三角形ABC的内心一定在AD上的是（  A   ） A． B． C． D． 5.如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，则其内心O和外心M之间的距离是（   C  ） A．10 cm B．5 cm C． cm D．2 cm （五）当堂检测 1.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是（   B  ） A． B． C． D． 2.如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF=55°，则∠A的度数是 70° ． 解：连接OD、OF，如图， ∵∠DEF=55°，∴∠DOF=2∠DEF=110°， ∵⊙O是△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC 分别相切于点D、E、F， ∴OD⊥AB，OF⊥AC， ∴∠ADO=∠AFO=90°， ∴∠A+∠DOF=180°， ∴∠A=180°−110°=70°． 3.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点D，E，F．若BD=1，则弧EF的长为______.（结果保留π） 解：连接OD，OE，OF， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°，OD=OE=OF. ∵∠B=90°， ∴四边形DBEO为正方形，∠C=90°−∠A=60°， ∴OE=DB=1，∠EOF=360°−∠OEC−∠OFC−∠C=120° ∴弧EF的长==． （六）课堂小结 1.三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.尺规作图：作三角形的内切圆. 作法：(1)如图，分别作∠B，∠C的平分线BM，CN，设它们相交于点I.那么点I到AB，BC，CA的距离都相等； (2)过点I作BC的垂线，垂足为D； (3)以点I为圆心，ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切，⊙I即所求作的圆. （七）布置作业 A组题：习题30.2：第1，2，3题. B组题：习题30.2：第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $