29.3弧长和扇形面积（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“弧长和扇形面积”第1课时，核心为推导并应用弧长、扇形面积公式。课堂导入从复习圆的周长和面积切入，以“圆周长是360°圆心角弧长”为起点，引导学生逐步探究n°圆心角对应的弧长与扇形面积，搭建旧知到新知的学习支架。 导学案通过合作探究中的填空与练习，渗透转化、类比思想，培养学生几何直观与推理意识。典例分析（如管道展直）和中考演练（如乒乓球运动）联系实际，体现模型意识与应用意识，分层练习与当堂检测帮助学生巩固提升，适合课堂教学与自主学习。

人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.3弧长和扇形面积（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能利用弧长表示扇形面积．并能利用公式计算弧长和扇形面积。 2.在弧长和扇形面积公式的推导过程中，体会转化、类比的数学思想。 学习重点： 推导弧长和扇形面积公式。 学习难点： 能利用公式计算弧长和扇形面积。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 如何计算圆的周长和面积？ 如图，⊙O的半径为r，则它的周长为2πR，面积为πR2. （二）合作探究 思考并填空 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分. 圆的周长可以看作360度的圆心角所对的弧长； 360°的圆心角所对的弧长是2πR； 1°的圆心角所对的弧长是； 30°的圆心角所对的弧长是； n°的圆心角所对的弧长是. 结论 n°的圆心角所对的弧长为： l= . 练习 半径为1的圆中，30°的圆心角所对的弧长是； 半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长是π； 半径为a的圆中，100°的圆心角所对的弧长是. 思考并填空 x2−x−56=0 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 扇形的面积除了与圆的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关. 在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大. 圆面积可以看作圆心角为360度的扇形的面积； 圆心角为360°的扇形的面积是πR2； 圆心角为1°的扇形的面积是； 圆心角为45°的扇形的面积是； 圆心角为n°的扇形的面积是. 结论 圆心角为n°的扇形的面积是：S扇形=. 练习 半径为1，圆心角为60°的扇形的面积是； 半径为4，圆心角为120°的扇形的面积是； 半径为a，圆心角为50°的扇形的面积是. 用弧长表示扇形面积 S扇形= = R = l R. （三）典例分析 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数). 解：由弧长公式，得AB的长 l==500π≈1570. 因此所要求的展直长度 L≈2×700+1570=2970(mm). 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m. 求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 分析 截面半径是0.6 m→OA=OB=0.6. 水面高0.3 m→CD=0.3. 截面上有水部分的面积→S扇形OAB-S△OAB. 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC. ∵OD=OC-DC，OC=0.6，DC=0.3， ∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC，∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 由勾股定理得：AD==. 由垂径定理得：AB=2AD=. 则有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB =×0.6²-AB·OD =0.12π-××0.3 ≈0.22(m²). 总结 弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积 中考演练1（2026江苏扬州） “拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20 cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（  B   ） A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．40π cm 中考演练2（2026广东） 如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°．则图中阴影部分的面积为（  A   ） A． B． C． D． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练4图 中考演练3（2026陕西） 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=4，则BD的长为_π_． 中考演练4（2026四川凉山州） 如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（   C  ） A． B． C．π D．2π （四）巩固练习 1. 弧长相等的两段弧是等弧吗?并说明理由. 答：弧长相等的两段弧不一定是等弧. 反例：在半径为20的圆中，60°圆心角所对的弧长是； 在半径为40的圆中，30°圆心角所对的弧长是； 两段弧虽然长度相等，但没有在同圆或等圆中，所以它们不是等弧. 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12 m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 解：由题意得： 12=， 解得： R=≈8.5（米）. 答：这段圆弧所在圆的半径R约是8.5米. 3. 如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，为半径作圆.求图中阴影部分的面积. 分析 阴影部分的面积 =等边三角形ABC的面积-三个60°扇形的面积 = =a2. （五）当堂检测 1.（2022浙江丽水）如某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（   C   ） A． m B． m C． m D．( +2) m 2.（2025山东德州）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5 cm，则剩余部分的面积是（  D   ） A．25π cm2 B．π cm2 C．π cm2 D．π cm2 第1题图 第2题图 第3题图 3.（2022山东枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π） （六）课堂小结 圆的有关计算 1.弧长公式：n°的圆心角所对的弧长为： l= . 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形的面积是：S扇形=. 3.用弧长表示扇形面积：S扇形= = R = l R. （七）布置作业 A组题：习题29.3：第1，2，3题. B组题：习题29.3：第5，6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十九章 圆 29.3弧长和扇形面积（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.能利用弧长表示扇形面积．并能利用公式计算弧长和扇形面积。 2.在弧长和扇形面积公式的推导过程中，体会转化、类比的数学思想。 学习重点： 推导弧长和扇形面积公式。 学习难点： 能利用公式计算弧长和扇形面积。 二、学习过程 （一）复习引入 问题 如何计算圆的周长和面积？ 如图，⊙O的半径为r，则它的周长为 ，面积为 . （二）合作探究 思考并填空 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分. 圆的周长可以看作 度的圆心角所对的弧长； 360°的圆心角所对的弧长是 ； 1°的圆心角所对的弧长是 ； 30°的圆心角所对的弧长是 ； n°的圆心角所对的弧长是 . 结论 n°的圆心角所对的弧长为： . 练习 半径为1的圆中，30°的圆心角所对的弧长是 ； 半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长是 ； 半径为a的圆中，100°的圆心角所对的弧长是 . 思考并填空 x2−x−56=0 如图，由组成圆心角的两条 和圆心角所对的 围成的图形叫作扇形. 扇形的面积除了与圆的半径有关，还与组成扇形的 有关. 在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积 . 圆面积可以看作圆心角为 度的扇形的面积； 圆心角为360°的扇形的面积是 ； 圆心角为1°的扇形的面积是 ； 圆心角为45°的扇形的面积是 ； 圆心角为n°的扇形的面积是 . 结论 圆心角为n°的扇形的面积是： . 练习 半径为1，圆心角为60°的扇形的面积是 ； 半径为4，圆心角为120°的扇形的面积是 ； 半径为a，圆心角为50°的扇形的面积是 . 用弧长表示扇形面积 S扇形= . （三）典例分析 例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料.计算下图所示管道的展直长度L(结果取整数). 例2 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m. 求截面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位). 分析 截面半径是0.6 m→ . 水面高0.3 m→ . 截面上有水部分的面积→ . 总结 弓形的面积 = 扇形的面积 三角形的面积 中考演练1（2026江苏扬州） “拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20 cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（      ） A．5π cm B．10π cm C．20π cm D．40π cm 中考演练2（2026广东） 如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=30°．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 中考演练1图 中考演练2图 中考演练3图 中考演练4图 中考演练3（2026陕西） 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D．若AB=4，则BD的长为 ． 中考演练4（2026四川凉山州） 如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（      ） A． B． C．π D．2π （四）巩固练习 1. 弧长相等的两段弧是等弧吗?并说明理由. 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12 m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)? 3. 如图，△ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，为半径作圆.求图中阴影部分的面积. （五）当堂检测 1.（2022浙江丽水）如某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2 m，高为2 m，则改建后门洞的圆弧长是（     ） A． m B． m C． m D．( +2) m 2.（2025山东德州）如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径.设这条切线交大圆于点A，B，量得AB的长是5 cm，则剩余部分的面积是（    ） A．25π cm2 B．π cm2 C．π cm2 D．π cm2 第1题图 第2题图 第3题图 3.（2022山东枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 _____．（结果保留π） （六）课堂小结 圆的有关计算 1.弧长公式：n°的圆心角所对的弧长为： . 2.扇形面积公式：圆心角为n°的扇形的面积是： . 3.用弧长表示扇形面积：S扇形= . （七）布置作业 A组题：习题29.3：第1，2，3题. B组题：习题29.3：第5，6题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $