28.1图形的旋转(第2课时)（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“图形的旋转（第2课时）”，核心为利用旋转性质作图及图案设计。课堂导入通过复习旋转定义、三要素和性质，搭建旧知到新知的桥梁，以例2（正方形中△ADE旋转）引导归纳作图步骤，形成学习支架。 导学案注重实践与创新，通过合作探究确定旋转中心、设计图案，培养几何直观与空间观念，结合中考演练提升应用意识，分层作业满足不同需求，助力学生用数学思维解决问题，发展创新意识。

人教版数学九年级上册 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转(第2课时)（导学案） 一、学习目标 1.利用图形旋转的基本性质作图。 2.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度对某一图案作旋转，会出现不同的效果.应用已学的知识作图，设计出美丽的图案。 学习重点： 利用图形旋转的基本性质作图。 学习难点： 设计美丽的图案。 二、学习过程 （一）复习引入 1.旋转的定义及其相关概念： 把 绕着 转动一个角度，叫作图形的旋转. 叫作旋转中心，转动的角叫作 .如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的 . 2.旋转三要素： . 3.旋转的性质： 4.给定一个点和一个图形，如何画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到的图形呢？ （二）合作探究 例2 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 分析 画图的关键是确定 的位置. 追问 还有其他方法确定旋转后的图形吗? 归纳 旋转作图的基本步骤： 思考 如图，△ABC绕某点旋转得到△A1B1C1，如何确定旋转中心的位置？ 思考 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到右图中的五角星图案.想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 欣赏 当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案时，会出现不同的效果. 两个旋转中， 不变， 改变了，产生了不同的旋转效果. 两个旋转中， 不变， 改变了，产生了不同的旋转效果. （三）典例分析x2−x−56=0 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC上一点.以点A为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形. 2. 选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： (1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果； (2)改变基本图形的形状，观察旋转后的效果. 中考演练(2026安徽) 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），点A，B，C的坐标分别为(−3,−2)，(−1,−1)，(−3,3)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)将线段AB向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； (3)以点B为旋转中心，将线段BC按顺时针方向旋转90°，得到线段BC2，直接写出点C2的坐标． 中考演练(2026甘肃武威(节选)) 在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案． 如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． 图2是从图1选取的部分图案，其中△A′B′C′看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法） （四）巩固练习 1. 如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   ） A． B． C． D． 2.如图，在网格中，△A′B′C′由△ABC旋转得到，其旋转中心是 ． 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1，3)，B(−4，0)，C(0，0)． (1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得△A1B1C1； (2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2． 4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(4，−4)，B(4，−2)，C(1，−1). (1)将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1； (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A2B2C，在图中画出△A2B2C； (3)若△A1B1C1可以看作△A2B2C绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 . （五）当堂检测 如图，△ABC的顶点均在格点上，顶点A(−3，−1)． (1)将△ABC进行一次平移后得到△A1B1C1，顶点A1(1，1)，写出B1、C1的坐标； (2)以点D(−1，0)为旋转中心，逆时针旋转△ABC得到△A2B2C2．顶点A的对应点为点A2(0，−2)，求出旋转角的大小． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题28.1：第3，4题. B组题：习题28.1：第6，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第二十八章 旋转 28.1图形的旋转(第2课时)（导学案） 一、学习目标 1.利用图形旋转的基本性质作图。 2.理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度对某一图案作旋转，会出现不同的效果.应用已学的知识作图，设计出美丽的图案。 学习重点： 利用图形旋转的基本性质作图。 学习难点： 设计美丽的图案。 二、学习过程 （一）复习引入 1.旋转的定义及其相关概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P′，那么这两个点叫作这个旋转的对应点. 2.旋转三要素： 旋转中心， 旋转方向， 旋转角. 3.旋转的性质： （1）旋转前、后的图形全等. （2）对应点到旋转中心的距离相等； （3）对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. 4.给定一个点和一个图形，如何画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到的图形呢？ 答：与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形. （二）合作探究 例2 如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 分析 画图的关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. 在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. 设点E的对应点为E'.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′=DE. 因此，在CB的延长线上取点E'，使BE′=DE，则△ABE'为旋转后的图形. 追问 还有其他方法确定旋转后的图形吗? 方法2 方法3 方法2 过点A作AE的垂线，交CB的延长线于点E'，则△ABE'为旋转后的图形. 方法3 以点A为圆心，AE长为半径画弧，交CB的延长线于点E'，则△ABE'为旋转后的图形. 归纳 旋转作图的基本步骤： （1）明确旋转三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）找出关键点; （3）作出关键点的对应点; （4）作出新图形; （5）写出结论. 思考 如图，△ABC绕某点旋转得到△A1B1C1，如何确定旋转中心的位置？ 答：1.作线段AA1和线段BB1的垂直平分线，两线交于点O； 2.点O即为旋转中心. 思考 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到右图中的五角星图案.想一想，需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 答：需要旋转4次，每次的旋转角是72°. 欣赏 当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案时，会出现不同的效果. 两个旋转中， 旋转中心 不变， 旋转角 改变了，产生了不同的旋转效果. 两个旋转中， 旋转角 不变， 旋转中心 改变了，产生了不同的旋转效果. 欣赏 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. （三）典例分析x2−x−56=0 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，P是边BC上一点.以点A为旋转中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABP逆时针旋转，画出旋转后的图形. 解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身.在△ABC中，AB=AC，所以旋转后点C与点B重合.设点P的对应点为P'.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以AP′=AP=90°，CP′=BP. 因此，以点A为圆心，AP长为半径画弧，以点C为圆心，BP长为半径画弧，两弧在AC右侧交于点P'，则△ACP'为旋转后的图形. 2. 选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： (1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果； (2)改变基本图形的形状，观察旋转后的效果. 中考演练(2026安徽) 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点），点A，B，C的坐标分别为(−3,−2)，(−1,−1)，(−3,3)． (1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； (2)将线段AB向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2； (3)以点B为旋转中心，将线段BC按顺时针方向旋转90°，得到线段BC2，直接写出点C2的坐标． 解：(1)△A1B1C1为所求： (2)线段A2B2为所求： (3)线段BC2为所求，点C2的坐标为(3，1). 中考演练(2026甘肃武威(节选)) 在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形，借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案． 如图1是小彤设计的一件艺术作品的平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形． 图2是从图1选取的部分图案，其中△A′B′C′看作由△ABC绕旋转中心O顺时针方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心O．（保留作图痕迹，不写作法） （四）巩固练习 1. 如图是一款落方块游戏的某一个状态，由相同的小正方形组成的图形经过平面内的旋转或平移能落入空白部分，将该图形填满成为长方形，则应该选择的图形是（   B ） A． B． C． D． 2.如图，在网格中，△A′B′C′由△ABC旋转得到，其旋转中心是 P ． 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−1，3)，B(−4，0)，C(0，0)． (1)画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度得△A1B1C1； (2)画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°得到的△A2B2C2． 解：(1)如图，△A1B1C1为所求；(2)如图，△A2B2C2为所求． 4. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(4，−4)，B(4，−2)，C(1，−1). (1)将△ABC先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到△A1B1C1，在图中画出△A1B1C1； (2)将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A2B2C，在图中画出△A2B2C； (3)若△A1B1C1可以看作△A2B2C绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 (−3，−1) . 解：(1)如图，△A1B1C1为所求；(2)如图，△A2B2C为所求． （五）当堂检测 如图，△ABC的顶点均在格点上，顶点A(−3，−1)． (1)将△ABC进行一次平移后得到△A1B1C1，顶点A1(1，1)，写出B1、C1的坐标； (2)以点D(−1，0)为旋转中心，逆时针旋转△ABC得到△A2B2C2．顶点A的对应点为点A2(0，−2)，求出旋转角的大小． 解：(1)∵A(−3，−1)，A1(1，1)， −3+4=1，−1+2=1， ∴平移方式为：向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度， ∵B(−3，−3)，C(−2，−1)， ∴B1(1，−1)，C1(2，1)． (2)如图，连接DA、DA2、AA2， ∵A(−3，−1)，D(−1，0)，A2(0，−2)， ∴AD==，DA2==，AA2==， ∵()2+()2=()2，∴AD2+DA22=AA22， ∴△ADA2是直角三角形，∠ADA2=90°， ∴旋转角为90°． （六）课堂小结 （七）布置作业 A组题：习题28.1：第3，4题. B组题：习题28.1：第6，7题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $