30.1.2圆的切线（第1课时）（导学案）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦圆的切线性质与判定定理，通过复习引入衔接旧知，合作探究中引导学生连接过切点半径，经历猜想证明得出性质定理，再逆向思考推导判定定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 以探究式学习为主线，通过猜想论证培养学生推理意识，结合中考真题与分层练习提升应用能力，典例分析与当堂检测帮助学生深化理解，有效发展数学思维与问题解决能力，适合课堂教学与自主学习。

人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2圆的切线（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解切线的性质定理与判定定理。 2.会应用切线的性质定理和判定定理解决简单问题。 学习重点： 探索切线的性质定理与判定定理。 学习难点： 利用切线的性质定理与判定定理解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 如图，直线l与⊙O相切于点A.考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA.接下来，研究OA与切线l的关系. 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系? 猜想 半径OA⊥切线l. 证明：因为直线l与⊙O只有一个公共点A， 所以点P在⊙O外，从而OP>OA， 即半径OA是圆心O与直线l上的点的最短连线. 因此，半径OA与直线l垂直. 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 追问 你还有其他证明方法吗？ 证明：假设半径OA与直线l不垂直. 如图，过点O作OB⊥直线l于点B， 由垂线段最短得：OB<OA， 即圆心O到直线l的距离小于半径， 所以直线l与⊙O相交， 这与“直线l与⊙O相切于点A”矛盾， 所以半径OA与直线l垂直. 性质定理的应用 见切线，作垂直，得半径；见切点，连半径，得垂直. 思考 按上述性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A，那么l⊥OA.反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗? 分析 这时圆心O到直线l的距离就是⊙O的半径， 因而直线l就是⊙O的切线. 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判定定理的应用 未给公共点，作垂直，证半径；给出公共点，连半径，证垂直. 思考 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. 作法：1.连接OA； 2.过点A作OA的垂线l，直线l即为所求. （三）典例分析x2−x−56=0 例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB. 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径. 这样，AC经过⊙O的半径OE的外端点E， 并且垂直于半径OE，所以AC是⊙O的切线. 中考演练1(2024浙江) 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为 40° . 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2026湖北) 如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B=24°，则∠P的度数是（  A   ） A．42° B．48° C．56° D．66° 中考演练3(2026广东) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC=BC，∠OAB=40°，∠AOB=100°．求证：直线AB是⊙O的切线． 证明：连接OC. ∵∠AOB=100°，∠OAB=40°， ∴∠OBA=180°−∠AOB−∠OAB=40°. ∴∠OAB=∠OBA. ∴OA=OB. ∵AC=BC，∴OC⊥AB. ∵点C在⊙O上，∴OC为半径， ∴直线AB是⊙O的切线． （四）巩固练习 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.求证:AC是⊙O的切线. 证明：∵∠ABC=45°，AC=AB， ∴∠C=∠ABC=45°， ∴∠BAC=90°，即OA⊥AC， 又∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线. 2. 如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系?证明你的结论. 解：l1∥l2，理由如下： ∵直线l1，l2是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴l1⊥AB，l2⊥AB，即∠1=∠2=90°， ∴l1∥l2. 3. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点.求证AP=BP. 解：连接OP. ∵弦AB与小圆相切于点P， ∴OP⊥AB. 由垂径定理得：AP=BP. 4.如图，△ABC 是等边三角形，AB=6，线段BD是△ABC 的中线． (1)尺规作图：作⊙D，使⊙D与BC相切于点E，与BD 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的⊙D与AB的位置关系，并说明理由． 解：(1)如图，⊙D为所作的图形． (2)⊙D与AB相切．理由如下： 如图，过点D作DG⊥AB于点G． ∵△ABC 是等边三角形，BD 是AC 边的中线， ∴BD平分∠ABC． ∵BC与⊙D相切于点E， ∴DE⊥BC于点E． 又∵DG⊥AB于点G，∴DE=DG． ∴点G在⊙D上， ∴AB与⊙D相切于点G. （五）当堂检测 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=（  C   ） A．54° B．58° C．64° D．68° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO=25°，则∠A= 40° ． 3.如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y=x2−1上运动，当⊙P与x轴相切时， 圆心P的坐标为 (2，3)或(−2，3) ． （六）课堂小结 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （七）布置作业 A组题：习题30.1：第2，3，4，6题. B组题：习题30.1：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1.2圆的切线（第1课时）（导学案） 一、学习目标 1.理解切线的性质定理与判定定理。 2.会应用切线的性质定理和判定定理解决简单问题。 学习重点： 探索切线的性质定理与判定定理。 学习难点： 利用切线的性质定理与判定定理解决问题。 二、学习过程 （一）复习引入 （二）合作探究 如图，直线l与⊙O相切于点A.考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的线段和角来体现的，连接O，A两点，得到过切点A的半径OA.接下来，研究OA与切线l的关系. 思考 ⊙O的半径OA与过点A的切线l有什么关系? 猜想 . 证明： 切线的性质 圆的切线垂直于过切点的半径. 追问 你还有其他证明方法吗？ 性质定理的应用 见切线， ；见切点， . 思考 按上述性质，若⊙O的切线l经过半径OA的外端点A，那么l⊥OA.反过来，如图，若直线l过半径OA的外端点A，且l⊥OA，那么直线l是⊙O的切线吗? 分析 这时圆心O到直线l的距离就是 ， 因而直线l就是⊙O的切线. 切线的判定定理 . 判定定理的应用 未给公共点， ；给出公共点， . 思考 已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线? 如图，点A是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线l. （三）典例分析x2−x−56=0 例2 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 中考演练1(2024浙江) 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC．已知∠ACB=50°，则∠B的度数为 . 中考演练1图 中考演练2图 中考演练2(2026湖北) 如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B=24°，则∠P的度数是（   ） A．42° B．48° C．56° D．66° 中考演练3(2026广东) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，且AC=BC，∠OAB=40°，∠AOB=100°．求证：直线AB是⊙O的切线． （四）巩固练习 1. 如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB.求证:AC是⊙O的切线. 2. 如图，AB是⊙O的直径，直线l1，l2是⊙O的切线，A，B是切点.l1，l2有怎样的位置关系?证明你的结论. 3. 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，点P为切点.求证AP=BP. 4.如图，△ABC 是等边三角形，AB=6，线段BD是△ABC 的中线． (1)尺规作图：作⊙D，使⊙D与BC相切于点E，与BD 相交于点F， 保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的⊙D与AB的位置关系，并说明理由． （五）当堂检测 1.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C在⊙O上，且∠ACB=58°，则∠APB=（      ） A．54° B．58° C．64° D．68° 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO=25°，则∠A= ． 3.如图，已知⊙P的半径为3，圆心P在抛物线y=x2−1上运动，当⊙P与x轴相切时， 圆心P的坐标为 ． （六）课堂小结 切线的性质定理： . 切线的判定定理： . （七）布置作业 A组题：习题30.1：第2，3，4，6题. B组题：习题30.1：第9，10题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $