2.3 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，分层设计基础巩固、中档应用、提升拓展三阶练习，实现从公式直接应用到综合问题解决的知识进阶，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|韦达定理直接应用|如选择1求两根和，直接考查公式记忆，夯实概念理解| |中档应用|公式变形与知识综合|如选择7结合方程根的定义化简代数式，提升推理能力| |提升拓展|复杂证明与新定义问题|如解答5“二倍根方程”探究，培养创新意识与模型观念|

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2 D．x1x2＝7 2．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　） A．2 B．0 C．1 D．2或0 4．关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2 5．若x1+x2＝3，5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　） A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0 6．设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为（　　） A．﹣2024 B．2026 C．﹣2027 D．﹣2026 7．已知a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则代数式2a3﹣6a2+b2+7b+1的值是（　　） A．﹣25 B．﹣24 C．35 D．36 8．定义运算：a⋆b＝a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣xm＝0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 9．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 10．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn，则的值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 1．若m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ． 2．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是2，则另一个根是 　 　 ． 3．设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则的值为　 　 ． 4．对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则m2+n2＝　 　 ． 5．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题 1．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0． （1）求证：无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为2，求k的值和方程的另一个根． 2．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2， （1）若x12+x22＝6，求m值； （2）求的最大值． 3．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0 （1）若该方程的一个根是，求a的值及该方程的另一个根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0，若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 5．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． （1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“二倍根方程”，则c＝　 　 ． （2）若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“二倍根方程”，求的值． （3）若方程x2+bx+c＝0是“二倍根方程”，求b与c之间的关系． 答案 一．选择题 1．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根， ∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7， 故选：A． 2．【解答】解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根， ∴α+β，αβ＝﹣3， ∴． 故选：C． 3．【解答】解：设方程的两根为x1，x2， 根据题意得x1+x2＝0， 所以﹣（a2﹣2a）＝0，解得a＝0或a＝2， 当a＝2时，方程化为x2+1＝0，Δ＝﹣4＜0，故a＝2舍去， 所以a的值为0． 故选：B． 4．【解答】解：依题意Δ＞0，即（3a+1）2﹣8a（a+1）＞0， 即a2﹣2a+1＞0，（a﹣1）2＞0，a≠1，a≠0， ∵关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）＝0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1﹣x1x2+x2＝1﹣a， ∴x1+x2﹣x1x2＝1﹣a， ∴1﹣a， 解得：a＝±1，又a≠1， ∴a＝﹣1． 故选：B． 5．【解答】解：∵5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， 而x1+x2＝3， ∴9﹣2x1x2＝5， ∴x1x2＝2， ∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0． 故选：A． 6．【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣1，ab＝﹣2026， 所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣2026﹣1+1＝﹣2026． 故选：D． 7．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣3x﹣5＝0的两根， ∴a2﹣3a﹣5＝0，b2﹣3b﹣5＝0，a+b＝3, ∴a2﹣3a＝5，b2＝3b+5， ∴2a3﹣6a2+b2+7b+1 ＝2a（a2﹣3a)+3b+5+7b+1 ＝10a+10b+6 ＝10(a+b)+6 ＝10×3+6 ＝36． 故选：D． 8．【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣xm＝0（m＜0）的两根， ∴a+b＝1， ∴b⋆b﹣a⋆a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0． （方法二）∵a，b是方程x2﹣xm＝0（m＜0）的两根， ∴a+b＝1． ∵b⋆b﹣a⋆a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b﹣b2﹣a+a2＝（a2﹣b2）+（b﹣a）＝（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b﹣1），a+b＝1， ∴b⋆b﹣a⋆a＝（a﹣b）（a+b﹣1）＝0． （方法三）∵a，b是方程x2﹣xm＝0（m＜0）的两根， ∴a2﹣am，b2﹣bm， ∴b⋆b﹣a⋆a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝﹣（b2﹣b）+（a2﹣a）mm＝0． 故选：A． 9．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3， ∵x12+x22＝5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， ∴k2﹣2（k﹣3）＝5， 整理得出：k2﹣2k+1＝0， 解得：k1＝k2＝1， 故选：D． 10．【解答】解：∵方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根为an，bn， ∴由根与系数的关系得an+bn＝n+2，， ∴（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n2﹣2n＝﹣2n（n+1）， ∴， ∴原式 ． 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣1＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1，m2+m＝1， 则原式＝（m2+m）+（m+n）＝1﹣1＝0， 故答案为：0 2．【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得， m+2＝﹣1， ∴m＝﹣3， 故答案为﹣3， 3．【解答】解：根据题意得x1+x2，x1x2＝﹣2， 所以． 故答案为． 4．【解答】解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5， ∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1， ∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝6． 故答案为：6． 5．【解答】解：依题意得：， 解得3＜m≤5． 故答案为：3＜m≤5． 三．解答题 1．【解答】（1）证明：对于一元二次方程x2﹣2x﹣k2＝0，a＝1，b＝﹣2，c＝﹣k2， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2）＝4+4k2＝4（k2+1）． ∵无论k取何实数，都有k2≥0， ∴k2+1＞0， ∴Δ＝4（k2+1）＞0， ∴无论k取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：把x＝2代入原方程x2﹣2x﹣k2＝0，得22﹣2×2﹣k2＝0， 即k2＝0， 解得k＝0． 将k＝0代入原方程，得x2﹣2x＝0， 因式分解得x（x﹣2）＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 因此方程的另一个根为0． 2．【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）＝﹣4m+4＞0， ∴m＜1， 结合题意知：﹣1≤m＜1． （1）∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）＝2m2﹣10m+10＝6 ∴， ∵﹣1≤m＜1， ∴； （2） （﹣1≤m＜1）． ∵对称轴m，2＞0， ∴当m＝﹣1时，式子取最大值为10． 3．【解答】解：（1）∵将x代入方程，得a+a﹣2＝0， ∴a， 设另外一个根为x， 由根与系数的关系可知：x＝﹣a， ∴x＝1， （2）由题意可知：Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 4．【解答】解：由题知， 因为方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两个实数根为x1，x2， 所以x1+x2＝k+3，x1x2＝3k． 因为， 所以， 则（k+3）2﹣2×3k＝10， 解得k＝±1． 当k＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 此时Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0， 所以k＝1符合题意； 当k＝﹣1时，方程为x2﹣2x﹣3＝0， 此时Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0， 所以k＝﹣1符合题意， 所以k＝±1． 5．【解答】解：（1）设方程x2﹣9x+c＝0的其中一根为s，则另一根为2s， ∴s+2s＝9，c＝2s2， ∴s＝3， ∴c＝18； 故答案为：18； （2）（x﹣2）（ax﹣b）＝0， 解得：， 由条件可知或， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或； （3）设x1＝n与x2＝2n是方程x2+bx+c＝0的解， ∴n+2n＝﹣b，n•2n＝c， 即，， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $