2.3一元二次方程的根与系数的关系 新课预习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学九年级上册2.3一元二次方程的根与系数的关系同步练，分层梯度清晰，从基础应用到综合创新，强化运算能力与推理意识，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|根与系数基本关系直接应用|选择1、5直接考查x₁+x₂、x₁·x₂计算，填空12已知一根求另一根，夯实概念理解| |中档次|知识综合应用（结合判别式、几何情境）|选择7结合等腰三角形边长，填空15综合判断根的情况，培养知识迁移能力| |提升层|拓展探究与创新（新定义、参数问题）|解答23引入“倒方程”概念，选择10结合特征数，发展创新意识与逻辑推理|

· 2.3 一元二次方程的根与系数的关系新课预习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知方程 x²−5x+6=0 的两个根为 x₁、x₂，则 x₁+x₂ 的值为（　　） A．−5　　 B．5　　 C．6　　 D．−6 2．已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 3．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．5 B．1 C． D． 4．一元二次方程化成一般形式后一次项的系数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知方程 2x²−3x−2=0 的两个根为 x₁、x₂，则 x₁·x₂ 的值为（　　） A．−3　　 B．3　　 C．−1　　 D．1 6．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B． C．4 D．10 7．已知方程 x²−7x+12=0 的两个根为一等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长为（　　） A．11　　 B．16　　 C．11或16　　 D．14 8．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 9．已知、是关于的方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．或 B．或 C． D． 10．定义为方程的特征数．若特征数为的方程的两实数根的平方和为12，则的值为（    ） A．或4 B． C． D．或1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．方程的解是__________． 12．已知关于的一元二次方程的一个根是1，则此方程的另一根为______． 13．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为_______ 14．已知n是一元二次方程的根，代数式的值是______． 15．已知，是一元二次方程的两个实数根．下列说法：①的取值范围是；②若，则的值为或5；③二次函数的最小值总不大于0；④代数式的最大值是．其中正确的是________．（填写序号） 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．已知方程 x²−6x+8=0 的两个根为 x₁、x₂，求 x₁+x₂ 与 x₁·x₂ 的值. 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 18．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为求代数式的值； (3)若，比较M与N的大小． 20．小文准备完成题目“解方程：”时，发现一次项系数“”印刷不清楚． (1)她把“”猜成4，请你解方程； (2)她妈妈说：“你猜错了，我看到该题的标准答案中有一个根是．”通过计算说明原题中“”是几，并求出另一个根． 21．我们知道，那么就可转化为，请你用上面的方法解下列方程． (1) (2) 22．阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，； 则，； 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，； ，； 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ； (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 23．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C C B B C C 11．， 12．2 13． 14．3 15．①③ 16．解：由 x²−6x+8=0 得 x₁+x₂=6， x₁·x₂=8； 17．(1) 证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．(1)k； (2)k=3 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 19．(1) 证明：∵， ∴方程总有两个不相等的实数根 (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可． （1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）若一元二次方程的两个根为，则． （3）判断的正负即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：根据一元二次方程的根与系数的关系可得， ∴ （3）解： ∴ 20．(1)， (2)原题中是，另一个根是4 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解等知识．熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的解是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）设一次项系数“”为，将代入，可求，即，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，，； （2）解：设一次项系数“”为， 将代入得，， 解得， ∴， ， 解得，，， 原题中“”是，另一个根是4． 21．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ，； （2）解：， ， ，， ，． 22．(1)， (2) 【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值； （2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根为，， ，， 故答案为：，； （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 23．(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $