专题4： 曹冲称象的故事（综合实践）（思维拓展）人教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 4：曹冲称象的故事（综合实践） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：质量单位换算与综合计算 3 考点二：曹冲称象 —— 等量的等量相等 4 考点三：天平平衡推理问题 5 考点四：无秤条件下替代称重（综合实践） 6 考点五：载重方案实际问题 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点 1：质量单位进率记错 8 易错点 2：不统一单位直接计算 8 易错点 3：曹冲称象只取一份代替总质量 9 易错点 4：等量代换不等量进行替换 9 易错点 5：瓶‑水问题把容器质量算进物体 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 10 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 10 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 12 一、能力进阶篇解析 12 二、思维拓展篇解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版三年级上册综合实践《曹冲称象的故事》，以 “质量量感建立→单位进率换算→曹冲称象原理→等量代换推理→实践综合应用” 为主线，系统覆盖克、千克、吨质量单位认识、质量单位换算、称重工具选择、曹冲称象两大数学原理（等量的等量相等、总量等于各分量之和）、天平与等量代换推理、实际综合解决问题六大核心模块，渗透量感建立、等价替换、推理分析、实践建模等核心数学素养。 专题遵循 “掂一掂感知 1 克、1 千克→认识吨→秤具认读→曹冲称象故事梳理步骤→天平替换实验→无秤条件下替代称重” 的教材认知路径；建立 1 克、1 千克、1 吨直观量感，熟记质量单位千进制进率；理解曹冲称象背后的等量代换思想，能利用等量代换、分量求和解决不能直接称重的物体问题，延伸天平推理、消元代换、错中求解、实际方案分析等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“综合与实践、数与代数” 领域要求，和 2024 版新教材进度完全同步，为以后代数推理学习打下思维基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 质量单位认识 建立 1 克、1 千克、1 吨量感；根据实物选合适单位；认读各类秤具读数 参照物记忆法、场景判断法 单位混淆，很重物体误用千克，轻物体误用千克 质量单位换算 ，；混合单位计算 统一单位法、千进制换算规则 进率记成 10，换算多写、少写 0 曹冲称象原理 等量的等量相等；总量等于各分量之和；间接替代称重 等价替换法、分量求和法 忽略替换前提，不等量直接代换 天平与简单等量代换 天平平衡条件；一步、两步物体质量替换推理 中间量搭桥法、消元对比法 找错中间等量，代换逻辑颠倒 无秤替代称重实践 借助已知质量物品间接称物体；多份均分求单份质量 参照替代法、均分求量法 忘记总质量要减去容器质量 综合实际问题 运货载重、天平推理、混合条件应用题 分步建模法、对比消元法 不统一单位直接做加减乘除 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 千进制换算法 质量单位换算题 ①判断高级、低级单位；②大化小乘 1000；③小化大除以 1000 质量换，千进制，大变小，添三零 统一单位法 混合质量计算应用题 ①观察算式单位；②全部统一为同一个单位；③列式计算 算质量，先统一，单位相同再运算 等价替换法 等量代换推理 ①找到中间等量；②把中间量替换；③求出目标量 找中间，做替换，等量才能够互换 分量求和法 曹冲称象类间接称重 ①拆成若干可测小分量；②求出每一份质量；③全部相加得到总质量 不能直接称，拆分量，分别称量再相加 消元对比法 两组天平 / 两组质量条件题 ①写出两组等量关系式；②对比消去相同物体；③求出单一物体质量 两组条件做对比，相同部分先消去 三、数学思维提升 1. 量感思维 核心要点：借助生活参照物建立质量直观感知，5 粒黄豆约 1 克，6 个西红柿约 1 千克，10 袋 100 千克粮食为 1 吨；面对物体可以快速判断适合用克、千克还是吨，建立质量的直观判断能力。 专题示例：判断一头大象用吨作单位，一枚回形针用克作单位，就是量感思维的应用。 2. 等价替换思维 核心要点：等量才可以互相替换，曹冲称象就是利用石头总质量和大象质量相等完成替换；遇到不能直接测量的物体，转换为可以测量的等价物体求解，是本单元最核心的思维。 专题示例：天平平衡，1 个西瓜等于 3 个菠萝，就可以用菠萝的质量替换西瓜质量进行推理。 3. 推理消元思维 核心要点：有两组或者多组质量条件，找到公共中间物体，消掉公共量，求出未知物体质量，训练逻辑推理能力。 专题示例：甲 + 乙 = 50 千克，甲 + 丙 = 46 千克，通过对比，消去甲，推理乙、丙质量差。 4. 实践建模思维 核心要点：模拟 “没有秤怎么称重” 真实实践情境，把生活问题转化数学模型，用替代、均分的策略解决现实问题。 专题示例：没有小砝码，借助已知重量食盐称出小物体，就是实践建模思维的体现。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：质量单位换算与综合计算 能力进阶（★★★★）—— 多单位混合运算 题目：一堆货物，有 2 吨钢材，运走 600 千克，还剩下多少千克钢材？ 解题步骤： ① 观察单位不统一，先统一单位，把吨换算成千克：。 ② 总质量减去运走质量，求剩余：（千克）。 ③ 验算：千克，也就是 2 吨，和原题条件保持一致，结果正确。 【答案】还剩下 1400 千克钢材。 【知识点睛】本题对应教材吨、千克换算综合应用题。解题要点：质量计算，单位不一致必须先统一单位，再进行加减运算。换算规则：吨变千克乘 1000，千克变吨除以 1000。易错陷阱：直接拿计算，忽略单位不同。方法总结：遇到 “吨、千克、克” 同时出现的应用题，优先把全部换算成题目问题问的单位，减少二次换算失误。 思维拓展（★★★★★）—— 错中求解（质量读数看错单位） 题目：小工人读台秤读数，把 3 吨错看成 3 千克，用这个看错的数值去计算一批物资总重，算出结果是 520 千克。这批物资实际总质量是多少千克？ 解题步骤： ① 分析错误过程：原本要加上3 吨，错加上了3 千克；先求出除这个物件之外其余物资的质量：（千克）。 ② 还原真实数值，把 3 千克换回真实的 3 吨：。 ③ 计算实际总质量：其余物资质量加上真实物件质量：（千克）。 【答案】这批物资实际总质量 3517 千克。 【知识点睛】本题属于质量单位错中求解奥数题型。解题核心：抓住不变部分（其余物资质量），先用错误结果反向求出不变量；再把看错的单位还原成真实数值，重新计算。易错提醒：区分 “看错数字” 和 “看错单位”，单位看错带来的误差是 1000 倍，不能简单加减差值。 考点二：曹冲称象 —— 等量的等量相等 能力进阶（★★★★）—— 曹冲称象原理应用 题目：模仿曹冲称象称一头小牛。把小牛赶到船上画线；赶下小牛，往船上装石头，直到船下沉到相同画线位置；分三次称石头，质量分别是 220 千克、180 千克、200 千克。小牛重多少千克？ 解题步骤： ① 根据曹冲称象原理：等量的等量相等，小牛质量 = 船上石头总质量。 ② 根据 “总量等于各分量之和”，把三次石头质量相加：（千克）。 ③ 验算：三次石头相加总和 600 千克，船吃水线一致，所以小牛质量等于石头总和。 【答案】小牛重 600 千克。 【知识点睛】本题直接对接教材曹冲称象核心情境。解题要点两个原理：①等量的等量相等：吃水线一样，物体质量等于替代物总质量；②总量等于各分量之和：不能一次称完，就分成多份分别称量再求和。易错：只取其中一份石头质量当作小牛质量，忘记分量相加。 思维拓展（★★★★★）—— 条件变换的等量代换 题目：1 头小牛质量等于 4 只羊的质量；2 只羊质量等于 3 头小猪的质量；一头小猪重 40 千克。求这头小牛重多少千克？ 解题步骤： ① 先求 2 只羊总质量，2 只羊等价 3 头小猪：（千克），也就是 2 只羊 = 120 千克。 ② 算出一只羊质量：（千克）。 ③ 小牛等价 4 只羊，小牛质量：（千克）。 【答案】小牛重 240 千克。 【知识点睛】本题为链式等量代换奥数题。解题方法：搭桥法，找到中间量 “羊”，一层一层替换推导。思路顺序：从小猪（已知）→羊（中间量）→小牛（目标）。注意：一定要看清楚几个物体等价，不能直接拿 3 头小猪去乘 4，要先算出单个中间量。 考点三：天平平衡推理问题 能力进阶（★★★★）—— 一步天平代换 题目：天平平衡，2 个菠萝的质量等于 6 个橙子的质量。照这样计算，5 个菠萝等于多少个橙子的质量？ 解题步骤： ① 天平平衡代表两边质量相等，先求 1 个菠萝等价几个橙子：（个），1 个菠萝 = 3 个橙子。 ② 求 5 个菠萝对应的橙子数量：（个）。 ③ 验算：1 个菠萝换 3 橙子，2 个换 6 橙子，和题目原始条件一致。 【答案】5 个菠萝等于 15 个橙子的质量。 【知识点睛】本题是天平等量代换基础综合题。解题要点：天平平衡，左右两边质量完全相等；先求 “1 个 A 等价多少个 B”，得到单份替换关系，再扩大倍数求解目标。易错：直接拿，没有先求单个物体替换量。 思维拓展（★★★★★）—— 两组条件消元推理 题目：已知：①1 筐苹果 + 1 筐梨 = 65 千克；②1 筐苹果 + 1 筐橘子 = 55 千克；梨比橘子重多少千克？ 解题步骤： ① 对比两组条件，两个等式都有 “1 筐苹果”，苹果是公共不变中间量。 ② 相同部分抵消，剩下差值就是梨和橘子的差：（千克）。 ③ 逻辑验证：苹果质量不变，等式总和相差多少，就是另外两个物体的质量差。 【答案】梨比橘子重 10 千克。 【知识点睛】本题属于消元推理奥数题型，不需要求出苹果、梨、橘子各自重量，直接消掉相同中间量求差值。核心方法：两组等式，有完全相同的一部分，把两个等式整体相减，消去公共量，直接得到剩下物体之间的差。这个思想是以后解方程的重要铺垫。 考点四：无秤条件下替代称重（综合实践） 能力进阶（★★★★）—— 借助已知标准称重 题目：现在只有一袋 250 克的食盐，没有砝码。怎样利用这袋食盐，称出 500 克小米？写出计算推理。 解题步骤： ① 将食盐放在天平一端，另一端放小米，直到天平平衡，得到 250 克小米。 ② 把刚刚称好的 250 克小米放到天平砝码一侧，和 250 克食盐合并，砝码端总质量：克。 ③ 在物体一侧继续放小米，直到天平平衡，此时物体端小米就是 500 克。 【答案】把食盐和已经称出的小米合并当作标准砝码，即可称出 500 克小米。 【知识点睛】对接教材 “曹冲称象” 拓展实践活动。解题要点：没有标准砝码，可以把已经称出来的物体，当成新的 “标准砝码” 继续替代称量。本质依旧是等量的等量相等。 思维拓展（★★★★★）—— 杯瓶消元（容器 + 物体混合称重） 题目：用同一个空玻璃瓶倒水，倒入 3 杯水连瓶重 850 克；倒入 5 杯水连瓶重 1150 克。一杯水多少克？空玻璃瓶重多少克？ 解题步骤： ① 求出杯数差与总质量差：多倒进水杯数（杯）；质量增加（克），增加的重量仅仅来自多倒的 2 杯水，瓶子质量不变。 ② 计算一杯水质量：（克）。 ③ 求空瓶质量，用 3 杯连瓶总重减去 3 杯水重量：（克）。 【答案】一杯水重 150 克；空玻璃瓶重 400 克。 【知识点睛】奥数经典 “瓶水问题”。解题核心：前后两次称重，瓶子的质量不变；总质量的差值，就是多装进去物体的质量。先消去不变容器，求出单份物体，再回代求容器本身质量。易错点：直接拿总质量除以杯数，把瓶子重量也算进水里面。 考点五：载重方案实际问题 能力进阶（★★★★）—— 载重判断 题目：一辆卡车限载 4 吨，现在装上 6 台机器，每台机器重 600 千克，这辆卡车会超载吗？ 解题步骤： ① 统一单位：。 ② 计算机器总质量：（千克）。 ③ 对比：，总质量小于限载，没有超载。 【答案】这辆卡车不会超载。 【知识点睛】对应教材吨的实际应用题。解题要点：限载类题目，第一步必须统一质量单位，算出货物全部总质量，再和限载值做大小比较。“不超过限载” 才安全。 思维拓展（★★★★★）—— 运货最优方案 题目：要运送 20 吨水果，大车每次运 6 吨，运费 80 元；小车每次运 4 吨，运费 60 元。每辆车都装满，怎样派车总运费最低？ 解题步骤： ① 先对比单车每吨成本：大车每吨元，小车每吨元；大车每吨更便宜，优先尽量多用大车，并且车辆全部装满。 ② 枚举全部装满的可行方案： 方案一：大车 0 辆，小车辆；总费用：元； 方案二：大车 2 辆，运吨；剩余吨，小车辆；总费用元； 方案三：大车 3 辆，吨，剩余 2 吨小车装不满，不符合 “全部装满” 条件，舍弃。 ③ 对比费用：，选择大车 2 辆，小车 2 辆。 【答案】派 2 辆大车、2 辆小车，全部装满，总运费最低为 280 元。 【知识点睛】质量结合方案优化奥数应用题。解题原则：①优先选择单位质量运费更低车型；②题目有 “每辆车装满” 条件，要筛掉有空余载重的方案；③枚举全部可行方案，计算后对比选出最小值。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：质量单位进率记错 错误示例：、。 正确分析：克‑千克‑吨之间是千进制：，，不是十进制。 修正方法：记口诀 “质量千进制，大换小后面添三个 0”，做题换算时刻意检查 0 的个数。 易错点 2：不统一单位直接计算 错误示例：2 吨‑300 千克，直接写成。 正确分析：只有单位相同，才可以直接加减；不同单位必须换算统一再列式。 修正方法：读题圈出全部质量单位，优先换算成和问题答案相同的单位。 易错点 3：曹冲称象只取一份代替总质量 错误示例：石头分三次称，拿其中一次石头质量当作大象重量。 正确分析：曹冲称象原理是石头全部的总质量等价大象，需要把每一次分量全部相加。 修正方法：看到分批称量，牢记 “总量等于各分量之和”，把所有分量相加。 易错点 4：等量代换不等量进行替换 错误示例：天平 2 个菠萝 = 6 橙子，直接判定 1 个菠萝等于 6 橙子。 正确分析：要先求出单个物体对应的替换量，不能直接拿总数替换单个。 修正方法：等量代换优先算出 “1 个 A 等价几个 B”，再扩大或者缩小倍数。 易错点 5：瓶‑水问题把容器质量算进物体 错误示例：直接拿连瓶总质量 ÷ 杯数，求出一杯水质量。 正确分析：连瓶重量 = 瓶子 + 水，瓶子是不变的容器，差值才是新增物体的重量。 修正方法：两次相减消掉不变容器，先求物体，回代求容器。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★★，共 8 题） 1. 计算：3 吨‑450 千克 =（ ）千克；6 千克 + 4000 克 =（ ）克。 2. 模仿曹冲称象称小羊，分四次称石头质量：150 千克、130 千克、170 千克、150 千克，小羊重多少千克？ 3. 天平平衡：3 个柚子等于 9 个哈密瓜，照这样算，4 个柚子等于多少哈密瓜？ 4. 货车限载 5 吨，装上 7 台 700 千克机器，货车超载吗？ 5. 1 筐橘子 + 1 筐香蕉 = 72 千克；1 筐橘子 + 1 筐芒果 = 63 千克；香蕉比芒果重多少千克？ 6. 倒进 4 杯水，连壶重 920 克；倒进 6 杯水，连壶重 1160 克。一杯水重多少克？ 7. 1 只狗等于 3 只猫，1 只猫等于 4 只兔子，1 只狗等于多少只兔子？ 8. 建材商店运来 3 吨水泥，卖掉 1400 千克，还剩多少千克？ 二、思维拓展篇（难度★★★★★，共 6 题） 9. 小工人看错秤的单位：把 2 吨看成 2 千克计算总重，算出总质量 430 千克。这批物资实际多少千克？ 10. 已知：2 匹马质量 = 6 头驴；2 头驴 = 4 只山羊；一只山羊重 35 千克，求一匹马多少千克？ 11. 要运 24 吨沙子，大车每次运 7 吨，运费 90 元；小车每次运 5 吨，运费 70 元，车辆必须装满，怎么派车运费最低？ 12. 有一个天平，只有一袋 500 克食盐，不使用其他砝码，请简述方法，称出 1000 克面粉。 13. 一桶油连桶重 100 千克，倒出一半油之后，连桶重 54 千克，油重多少千克？桶重多少千克？ 14. 甲 + 乙 = 86 千克，乙 + 丙 = 78 千克，甲 + 丙 = 80 千克，求甲、乙、丙各多少千克？ 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1.【答案】2550；10000 解题步骤： ① ，千克； ② ，克。 【知识点睛】质量千进制换算，单位不同，先换算再运算。 2.【答案】小羊 600 千克 解题步骤： ① 根据曹冲称象原理，小羊质量等于石头全部总质量； ② （千克）。 【知识点睛】总量等于各分量之和，分批称量全部相加。 3.【答案】12 个 解题步骤： ① ，1 个柚子等价 3 个哈密瓜； ② （个）。 【知识点睛】天平平衡先求单个物体替换关系，再扩大倍数。 4.【答案】没有超载 解题步骤： ① ； ② 千克； ③ ，没有超载。 【知识点睛】限载问题，统一单位，货物总重和限载对比。 5.【答案】香蕉比芒果重 9 千克 解题步骤： ① 两组条件都有 “1 筐橘子”，是不变公共量； ② （千克）。 【知识点睛】消元推理，相同中间量直接抵消求差值，不必算出橘子重量。 6.【答案】一杯水 120 克 解题步骤： ① 杯数差：（杯）；质量差：克； ② 一杯水：克。 【知识点睛】壶质量不变，增加的重量就是多倒入水的总重。 7.【答案】12 只兔子 解题步骤： ① 1 只猫 = 4 只兔子； ② 1 只狗 = 3 只猫：（只）。 【知识点睛】链式等量代换，以猫做中间搭桥量。 8.【答案】剩余 1600 千克 解题步骤： ① ； ② 千克。 【知识点睛】吨与千克混合减法，先统一单位。 二、思维拓展篇解析 9.【答案】实际质量 2428 千克 解题步骤： ① 错误计算是加上 2 千克得到 430，求出其余物资：千克； ② 真实物件：千克； ③ 千克。 【知识点睛】错中求解，区分看错单位，先求不变部分，还原真实数值再算。 10.【答案】一匹马 210 千克 解题步骤： ① ，1 头驴 =只山羊；一头驴：千克； ② ，1 匹马 =头驴； ③ 千克。 【知识点睛】多层等量代换，一层一层求出中间动物质量。 11.【答案】大车 2 辆、小车 2 辆，总运费 320 元 解题步骤： ① 优先选大车，必须全部装满； 方案 1：大车 0 辆，小车，不能整除，舍去； 方案 2：大车 2 辆运 14 吨，剩余 10 吨，小车辆；总运费：元； 方案 3：大车 7 辆，超过需求，舍去。 对比，大车 2 辆，小车 2 辆运费最低。 【知识点睛】运货方案优化，严格遵守 “全部装满” 条件，筛掉有空载的方案，枚举可行方案再对比。 12.【答案】见解题步骤 解题步骤： ① 将食盐放在天平一端，另一端放面粉，天平平衡，得到 500 克面粉； ② 将 500 克食盐和已经称好的 500 克面粉放在同一侧当作标准； ③ 天平另一侧继续放面粉直到平衡，得到总共 1000 克面粉。 【知识点睛】综合实践替代称重，已经称出来的物体可以当作新砝码，核心是等量的等量相等。 13.【答案】油 92 千克；桶 8 千克 解题步骤： ① 倒出去一半油的质量：千克；一半油 46 千克； ② 全部油：千克； ③ 桶重：千克。 【知识点睛】油桶半油问题，减少的质量仅仅是倒出去油，桶的重量不变。 14.【答案】甲 = 44 千克，乙 = 42 千克，丙 = 36 千克 解题步骤： ① 把三组全部相加，两个甲 + 两个乙 + 两个丙总和：千克； ② 甲 + 乙 + 丙总和：千克； ③ 甲：；乙：；丙：。 【知识点睛】三元简单消元奥数题，三组等式全部相加求出三者总和，再分别减去两两之和得到每一个量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $