专题2：混合运算（思维拓展）人教版数学三年级上册奥数培优讲义（新教材）

专题 2：混合运算 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 2 三、数学思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：同级混合运算 3 考点二：乘加、乘减混合运算 4 考点三：除加、除减混合运算 5 考点四：含小括号的混合运算 6 考点五：两步实际问题与线段图 7 考点六：分组巧算与还原问题 8 第三部分 易错避坑指南 10 易错点 1：同级运算受数字干扰，乱序计算 10 易错点 2：两级运算顺序颠倒，先加减后乘除 10 易错点 3：列综合算式漏写小括号 10 易错点 4：递等式书写不规范，漏写未运算部分 10 易错点 5：实际问题数量关系颠倒 11 第四部分 分层进阶专题精练 12 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 12 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 13 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 14 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题对应人教版三年级上册第二单元核心内容，以 “运算规则建构→数量关系建模→实际问题应用→思维拓展提升” 为主线，系统覆盖同级两步混合运算、乘加乘减两级运算、除加除减两级运算、小括号与运算顺序、两步实际问题解决、错中求解与方案优化六大核心模块，渗透有序运算、建模应用、逆向推理、优化决策等核心数学素养。 专题遵循 “公交车人数问题→同级运算→酸奶数量问题→乘加运算→桃子装盒问题→小括号→做花问题→实际应用” 的教材认知路径，结合教材原生情境深化理解 “同级运算从左往右、两级运算先乘除后加减、有括号先算括号内” 的运算规则；能熟练掌握递等式规范书写，能用线段图分析数量关系，列综合算式解决多步实际问题，并延伸错中求解、还原问题、分组巧算、方案优化等奥数思维题型。专题严格贴合《义务教育数学课程标准（2022 年版）》“数与代数” 领域要求，与 2024 版最新人教版教材进度完全同步，为后续多步混合运算、运算律与复杂应用题学习筑牢思维基础。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 同级混合运算 只有加减或只有乘除，从左往右依次计算；加减混合、乘除混合情境问题 同级顺算法、分步计算法 受数字干扰打乱顺序，优先计算后部分的加减 / 乘除 乘加乘减运算 先算乘法，后算加减；购物总价、剩余数量问题 两级分层法、综合列式法 先算加减后算乘法，运算顺序颠倒 除加除减运算 先算除法，后算加减；平均分、单价比较类问题 量率对应法、分步验证法 除数与被除数混淆，除减顺序颠倒 小括号与运算顺序 小括号改变运算顺序；有小括号先算括号内；分装、分组问题 括号变序法、代入验证法 漏写小括号，运算顺序错误 多步实际应用 两步 / 三步数量关系问题、方案优化问题；线段图分析数量关系 线段图示法、方案对比法 数量关系对应错误，综合算式单位遗漏 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 同级顺算法 同级混合运算计算 ①判断运算类型；②从左往右依次计算；③得出结果 同级算，从左起，不跳步，不越级 两级分层法 乘加 / 除加混合运算 ①先算二级运算（乘除）；②再算一级运算（加减）；③得出结果 两级算，乘除先，加减后，记心间 括号变序法 含小括号运算 / 填括号题 ①先算括号内部；②再算括号外部；③验证运算顺序 括号括号，变序优先，先算里面，再算外面 线段图示法 多步实际问题 ①画线段表示已知量；②标注数量关系；③列式计算 先画段，标关系，再列式，验题意 逆推还原法 还原类 / 错中求解问题 ①从最终结果倒推；②按逆运算逐步还原；③求出原数 倒着推，逆运算，得原数，再验算 方案对比法 优化类实际问题 ①枚举所有可行方案；②分别计算结果；③对比选最优 先枚举，再计算，比大小，选最优 三、数学思维提升 1. 有序运算思维 核心要点：混合运算有明确的运算层级，同级运算从左往右依次计算；两级运算中乘除是二级运算，优先级高于加减一级运算；有小括号先算括号内的，培养有序思考的数学习惯。 专题示例：计算，要从左往右依次计算，不能先算后面的加法；计算，要先算乘法再算加法，体现了运算的有序性与层级性。 2. 建模应用思维 核心要点：把生活中的购物、分装、购票等实际问题，转化成混合运算的数学模型，用数学运算解决实际问题，体现数学建模思想。 专题示例：算总价的问题，转化成 “单价 × 数量 + 单价 × 数量 = 总价” 的数学模型，用乘加算式直接解决。 3. 逆向推理思维 核心要点：知道错误的计算过程与结果，通过逆推的方法还原原算式，或者求出正确的结果，培养逆向推理与逻辑辨析能力。 专题示例：小马虎弄丢小括号算错结果，求正确答案，就是逆向思维的典型应用。 4. 优化决策思维 核心要点：购票、租船、购物等问题存在多种方案，通过计算对比不同方案的结果，选择最优方案，培养优化决策与统筹规划能力。 专题示例：购票问题中，分开买、全买团体票、混合买票三种方案对比，选最省钱的方案，就是优化决策的应用。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：同级混合运算 能力进阶（★★★）—— 同级运算与递等式规范 题目： 图书角有 60 本故事书，上周借出 28 本，这周又还回 15 本。现在图书角有多少本故事书？用递等式计算。 解题步骤： ① 分析数量关系：原有的本数减去借出的本数，再加上还回的本数，就是现在的本数。加减同级混合，从左往右依次计算：先算本； ② 再计算加法部分，加上还回的本数：本； ③ 用递等式规范书写，不参与运算的部分完整照抄，保证等号前后数值相等： 【答案】现在图书角有 47 本故事书。 【知识点睛】本题考查加减同级混合运算与递等式书写规范，对应教材 “公交车人数” 核心情境。核心运算规则：在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法，都要从左往右按顺序计算。递等式书写规范：等号写在算式左前方且上下对齐；每一步只计算一个运算，不参与计算的数字和符号要原封不动照抄，禁止出现 “” 这类漏写部分项的错误形式。 思维拓展（★★★★）—— 同级错中求解 题目： 小明计算一道加减混合算式时，把加 12 错看成了减 12，算得的结果是 35。这道题的正确结果是多少？ 解题步骤： ① 抓住算式中不变的第一个数，根据错误的计算过程倒推：错误算式为 “一个数 - 12 = 35”，因此这个数是； ② 还原正确的运算，计算正确结果：； ③ 误差分析验证：把加 12 看成减 12，结果比正确答案少了 2 个 12，也就是少了 24，因此正确结果为，两种方法结果一致。 【答案】正确的结果是 59。 【知识点睛】本题是同级运算的错中求解问题，是混合运算的基础拓展题型。解题核心：抓住算式中的不变量，既可以先还原出原数再按正确运算计算，也可以通过分析错误结果与正确结果的差值直接推算，考察逆向推理能力。方法总结：看错符号类错中求解，看错加变成减，结果就少了 2 倍的看错数，反之亦然。 考点二：乘加、乘减混合运算 能力进阶（★★★）—— 乘减运算与实际应用 题目： 妈妈带 50 元钱去超市，买了 3 包饼干，每包 8 元。应找回多少元钱？ 解题步骤： ① 分析数量关系：总钱数减去花掉的钱数等于找回的钱数，花掉的钱数用 “单价 × 数量” 计算，先算乘法部分：元； ② 再计算减法部分，用总钱数减去花费：元； ③ 用递等式规范书写： 【答案】应找回 26 元。 【知识点睛】本题考查乘减混合运算与实际应用，对应教材 “酸奶数量” 核心情境。核心运算规则：在没有括号的算式里，既有乘法又有减法，要先算乘法，再算减法。注意：乘法无论在算式前还是后，优先级都高于加法和减法。 思维拓展（★★★★）—— 乘减逆向数量关系 题目： 商店里每支钢笔 7 元，买 4 支钢笔的总价比买一个文具盒多花 5 元。一个文具盒多少元？ 解题步骤： ① 先根据 “单价 × 数量” 求出 4 支钢笔的总价：元； ② 分析数量关系：钢笔总价比文具盒多 5 元，说明文具盒价格更低，用钢笔总价减去多出的 5 元：元； ③ 列综合算式验证运算顺序：（元），先乘后减，符合运算规则。 【答案】一个文具盒 23 元。 【知识点睛】本题考查乘减混合运算的逆向应用，是乘减运算的拓展题型。解题核心：不能看到 “多” 就盲目用加法，要先明确谁和谁比、谁大谁小，再确定运算方法。方法总结：先根据 “单价 × 数量” 求出总量，再根据大小关系选择加减，避免思维定式。 考点三：除加、除减混合运算 能力进阶（★★★）—— 除减价格比较 题目： 超市苹果促销，3 千克卖 21 元，原价每千克 8 元。现在每千克苹果比原价便宜多少元？ 解题步骤： ① 先根据 “总价 ÷ 数量” 求出促销苹果的单价：元； ② 分析比较关系：用原价减去现价，得到便宜的钱数：元； ③ 列综合算式验证：（元），先算除法再算减法，符合运算顺序。 【答案】现在每千克比原价便宜 1 元。 【知识点睛】本题考查除减混合运算的实际应用，属于常考的比较类两步问题。核心解题逻辑：价格比较类问题，先求单价，再比差价。运算规则：除减混合运算中，除法优先级高于减法，必须先算除法再算减法。注意永远用多的量减去少的量，不要搞反比较方向。 思维拓展（★★★★）—— 除加错中求解 题目： 小马虎计算一道除加算式时，把被除数 16 看成了 24，结果算得 10。正确的结果是多少？ 解题步骤： ① 抓住算式中不变的量，根据错误的被除数和结果倒推除数与另一个加数：错误算式中，三年级运算结果为整数，可得除数为 4，另一个加数为； ② 还原正确的被除数，代入不变的除数和加数：正确算式为； ③ 按正确运算顺序计算：。 【答案】正确的结果是 8。 【知识点睛】本题是错中求解的除加变式，属于三年级奥数基础题型。解题核心：抓住算式中不变的量（除数和另一个加数），先根据错误结果倒推出不变量，再还原正确算式计算。这类题型能深化对运算顺序的理解，训练逆向推理能力。 考点四：含小括号的混合运算 能力进阶（★★★）—— 小括号作用辨析 题目： 不计算，先说说下面两道题的运算顺序，再用递等式计算。 ① ② 解题步骤： ① 第①题没有小括号，既有减法又有除法，先算除法，再算减法： ② 第②题有小括号，要先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法： 【答案】① 结果是 28；② 结果是 3。 【知识点睛】本题通过对比强化小括号的作用，对应教材 “桃子装盒” 核心情境，是本单元的核心算理题。核心结论：小括号能改变运算顺序，数字和运算符号相同的算式，有无小括号结果可能完全不同。运算规则：算式中有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 思维拓展（★★★★）—— 填括号使等式成立 题目： 在下面的算式里添上小括号，使等式成立。 解题步骤： ① 第一题：按正常运算顺序计算，，结果远大于 4。要让结果变小，需要让减法优先计算，给加上小括号：，等式成立。 ② 第二题：按正常运算顺序计算，，大于右边的 30。要让结果变小，需要让减法优先计算，给加上小括号：，等式成立。 【答案】； 【知识点睛】本题考查小括号的应用，属于经典奥数题型。解题核心：对比等式左右两边的数值差异，判断哪部分运算需要调整优先级，通过添加小括号改变运算顺序，使等式成立。方法总结：左边结果偏大，就给减法 / 加法加括号，降低运算结果；左边结果偏小，就给乘法加括号，提升运算结果。 考点五：两步实际问题与线段图 能力进阶（★★★）—— 差倍关系实际问题 题目： 在手工课上，小明做了 9 朵花，小红做的比小明少 4 朵，小丽做的是小红的 2 倍。小丽做了多少朵花？（先画线段图再解答） 解题步骤： ① 画线段图分析数量关系：先画一条线段表示小明的 9 朵花；小红的线段比小明短一截，标注 “少 4 朵”；小丽的线段是两段小红的长度，标注 “2 倍”。 ② 先根据差量关系求出小红做的数量：小红比小明少 4 朵，朵； ③ 再根据倍数关系求出小丽做的数量：小丽是小红的 2 倍，朵； ④ 列综合算式验证：（朵），先算括号里的减法，再算乘法，符合运算顺序。 【答案】小丽做了 10 朵花。 【知识点睛】本题考查三步数量关系的实际应用，对应教材 “做花” 核心例题。解题思路：先根据差量关系求出中间量（小红的数量），再根据倍数关系求出最终量。列综合算式时，因为要先算减法，必须给减法部分加上小括号。线段图作用：直观呈现数量关系，帮助理清运算顺序，避免出错。 思维拓展（★★★★）—— 购票方案优化 题目： 2 名老师带着 32 名同学去公园，门票成人每张 15 元，儿童每张 8 元，团体票（10 人及以上）每张 9 元。怎样买票最省钱？ 解题步骤： ① 先计算总人数：人； ② 分别计算三种方案的总费用： 方案一：分开买（成人买成人票，儿童买儿童票）。总费用元； 方案二：全买团体票。总费用元； 方案三：混合买票（2 名老师 + 8 名同学凑 10 人买团体票，剩下 24 名同学买儿童票）。总费用元； ③ 对比三种方案费用：，混合买票最省钱。 【答案】2 名老师和 8 名同学买团体票，剩下 24 名同学买儿童票最省钱。 【知识点睛】本题是购票优化问题，属于本单元经典奥数应用题，是教材 “分装问题” 情境的拓展延伸。解题原则：优先买单价最低的票，当团体票价比儿童贵、比成人便宜时，用最少的成人凑团体票，剩下的儿童买儿童票最划算。注意事项：方案要枚举全面，不要遗漏混合方案，通过计算对比确定最优。 考点六：分组巧算与还原问题 能力进阶（★★★）—— 分组巧算基础 题目： 用简便方法计算： 解题步骤： ① 观察算式特征：两个乘法部分都有相同因数 7，表示 3 个 7，表示 5 个 7； ② 合并相同因数，把个数相加：一共是个 7； ③ 提取相同因数简便计算：。 【答案】56 【知识点睛】本题考查乘法分配律的初步渗透，属于三年级巧算拓展题型。解题核心：几个几加几个几，等于一共几个几，可以提取相同的因数，把个数相加，再和因数相乘，结果不变。三年级阶段不需要掌握 “乘法分配律” 的正式名称，重点理解 “几个几合并” 的算理即可，为后续运算律的系统学习铺垫基础。 思维拓展（★★★★）—— 一半型还原问题 题目： 一根彩带，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去剩下的一半，最后还剩 6 米。这根彩带原来长多少米？ 解题步骤： ① 用倒推法，从最后剩下的长度往前推：第二次用去剩下的一半，还剩 6 米，说明第二次用之前的长度是米； ② 继续倒推：第一次用去全长的一半多 3 米，说明剩下的长度是全长的一半少 3 米，也就是 12 米比一半少 3 米，因此全长的一半是米； ③ 全长为米； ④ 正向验证：米，米，与题意相符。 【答案】原来长 30 米。 【知识点睛】本题考查 “一半多几” 的还原问题，属于奥数经典的还原题型。解题方法：倒推法，从最终结果出发，从后往前一步一步倒推，每遇到 “一半” 就乘 2，遇到 “多几” 就加几，遇到 “少几” 就减几。这类题能训练逆向思维与数形结合能力，建议配合线段图辅助理解。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：同级运算受数字干扰，乱序计算 错误示例： 计算，先算，再算，结果出错。 正确分析： 只有加减法的同级运算，要从左往右依次计算，不能因为后面的数好算就打乱运算顺序。 修正方法： 计算前先判断运算类型，同级运算标注 “从左往右”，再按顺序逐步计算。 易错点 2：两级运算顺序颠倒，先加减后乘除 错误示例： 计算，从左往右依次计算，得到。 正确分析： 两步混合运算有明确的运算层级，乘除是二级运算，优先级高于加减一级运算，必须先算乘除，后算加减，和从左到右的顺序无关。 修正方法： 计算前先标注运算层级，二级运算（×÷）先算，一级运算（+－）后算，再按顺序逐步计算。 易错点 3：列综合算式漏写小括号 错误示例： 列综合算式求 “20 人加 12 人，平均分成 4 组，每组几人”，写成，没加小括号，先算了除法。 正确分析： 要先算加法必须加小括号，小括号的作用就是改变运算顺序，提升加减法的优先级。 修正方法： 列综合算式时，如果需要先算加减法，必须给加减法加上小括号；写完后检查运算顺序是否符合题意。 易错点 4：递等式书写不规范，漏写未运算部分 错误示例： 计算，写成，遗漏了被减数 20。 正确分析： 递等式每一步只计算一个运算，不参与计算的部分要原封不动照抄，每一步等号前后的数值必须相等。 修正方法： 递等式等号写在左边，上下对齐；每算一步，没算的部分原封不动抄下来，逐步计算。 易错点 5：实际问题数量关系颠倒 错误示例： 求 “现价比原价便宜多少元”，用现价减原价，得到负数。 正确分析： 比较类问题，永远用多的量减去少的量，先确定谁大谁小，再列式计算。 修正方法： 读题时先标注 “谁比谁多 / 少”，确定大小关系，用大数减小数求差值。 第四部分 分层进阶专题精练 一、能力进阶篇（难度★★★，共 8 题） 要求：计算类题目用递等式计算，应用类题目列综合算式解答。 1. 计算： 2. 计算： 3. 计算： 4. 文具店有 5 盒钢笔，每盒 8 支，卖出 19 支，还剩多少支？ 5. 一本故事书有 80 页，小芳每天看 9 页，看了 4 天，还剩多少页没看？ 6. 4 个笔记本 20 元，现在每本 4 元，现在每本比原来便宜多少元？ 7. 用简便方法计算： 8. 手工组第一组 6 人，每人做 5 个千纸鹤；第二组一共做了 28 个。两组一共做了多少个？ 二、思维拓展篇（难度★★★★，共 6 题） 要求：写出必要的解题过程，巧算题说明简算思路。 9. 小马虎计算减乘一个数的乘减算式时，错误地先算了减法再算了乘法，得到结果是 36。按照正确的运算顺序先算乘法再算减法，正确的结果是多少？ 10. 小马虎计算一道除减算式时，把被除数 18 看成了 27，结果算得 6。正确的结果是多少？ 11. 在算式里添上小括号，使等式成立。 12. 3 名老师带 27 名同学去科技馆，门票成人每张 20 元，儿童每张 10 元，团体票（10 人及以上）每张 12 元。怎样买票最省钱？ 13. 一根彩带，第一次用去全长的一半多 3 米，第二次用去剩下的一半，最后还剩 6 米。这根彩带原来长多少米？ 14. 用简便方法计算： 第五部分 分层进阶专题精练精准解析 一、能力进阶篇解析 1. 【答案】50 解题步骤： ① 分析运算顺序：加减同级混合，从左往右依次计算：； ② 再算加法：； ③ 递等式规范书写： 【知识点睛】本题考查同级混合运算与递等式书写规范。核心规则：只有加减法的同级运算，从左往右依次计算。 2. 【答案】32 解题步骤： ① 分析运算顺序：乘除同级混合，从左往右依次计算：； ② 再算乘法：； ③ 递等式规范书写： 【知识点睛】本题考查乘除同级混合运算。核心规则：只有乘除法的同级运算，从左往右依次计算。 3. 【答案】4 解题步骤： ① 分析运算顺序：有小括号，先算括号里的减法：； ② 再算括号外的除法：； ③ 递等式规范书写： 【知识点睛】本题考查带小括号的除减混合运算。核心规则：有小括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 4. 【答案】还剩 21 支。 解题步骤： ① 先算钢笔的总支数：每盒支数 × 盒数，支； ② 减去卖出的数量，得到剩余数量：支； ③ 列综合算式验证：（支）。 【知识点睛】本题考查乘减两步实际问题，对应 “总数 - 卖出 = 剩余” 的数量关系。 5. 【答案】还剩 44 页没看。 解题步骤： ① 先算已经看的页数：每天看的页数 × 天数，页； ② 用总页数减去已看页数，得到剩余页数：页； ③ 列综合算式验证：（页）。 【知识点睛】本题考查乘减两步实际问题，对应剩余工作量问题。先算乘法求出已看总量，再算减法求剩余。 6. 【答案】现在每本比原来便宜 1 元。 解题步骤： ① 先算原来的笔记本单价：元； ② 用原来的单价减去现在的单价，得到便宜的钱数：元； ③ 列综合算式验证：（元）。 【知识点睛】本题考查除减混合运算的实际应用，属于价格比较类问题。比较价格时，用较高单价减去较低单价得到差价，确保量率对应。 7. 【答案】54 解题步骤： ① 观察算式特征：两个乘法都有相同因数 6，分别表示 5 个 6 和 4 个 6； ② 提取相同因数，个数相加：一共是个 6； ③ 简便计算：。 【知识点睛】本题考查分组巧算题型。解题核心：几个几加几个几，合起来就是 “个数和个几”，提取相同因数，把个数相加，再和因数相乘，结果不变。 8. 【答案】两组一共做了 58 个。 解题步骤： ① 先算第一组做的总数：个； ② 加上第二组做的数量，得到总数：个； ③ 列综合算式验证：（个）。 【知识点睛】本题考查乘加两步实际问题的综合应用。先算出第一组的总量，再和第二组的量相加，得到总数。 二、思维拓展篇解析 9. 【答案】正确的结果是 6。 解题步骤： ① 还原算式：正确顺序是先乘后减，即；小马虎先算减法再算乘法，即； ② 计算未知数：。 ③ 按正确顺序计算：。 【知识点睛】本题是错中求解问题，属于本单元经典奥数题型。解题核心：先根据错误的运算顺序，还原出完整的算式，确定未知数，再按照正确的运算顺序计算结果。 10. 【答案】正确的结果是 3。 解题步骤： ① 根据错误的被除数和结果，求出不变的除数与减数：错误算式，可得除数为 3，减数为； ② 代入正确的被除数，列出正确算式：； ③ 按正确顺序计算：。 【知识点睛】本题是除减错中求解题型，解题关键是抓住算式中不变的量，先根据错误结果倒推出不变量，再还原正确算式计算，训练逆向推理能力。 11. 【答案】； 解题步骤： ① 第一题：要使等式成立，需先算减法，给加小括号，； ② 第二题：要使等式成立，需先算减法，给加小括号，。 【知识点睛】本题考查小括号的应用，解题核心是根据结果判断哪部分运算需要提升优先级，添加小括号改变运算顺序。 12. 【答案】3 名老师和 7 名同学买团体票，剩下 20 名同学买儿童票最省钱。 解题步骤： ① 先算总人数：人； ② 分别计算三种方案的费用： 方案一：分开买。元； 方案二：全买团体票。元； 方案三：混合买。3 老师 + 7 学生凑 10 人买团体票，剩 20 学生买儿童票：元； ③ 对比费用：，混合买票最省钱。 【知识点睛】本题是购票优化问题，解题原则是优先买单价最低的票，用最少的成人凑团体票，剩下的买儿童票。 13. 【答案】这根彩带原来长 30 米。 解题步骤： ① 倒推第一步：第二次用去剩下的一半，还剩 6 米，说明第二次用之前有米； ② 倒推第二步：第一次用去全长的一半多 3 米，剩下的是一半少 3 米，因此全长的一半是米； ③ 全长：米； ④ 正向验证：米，米，符合题意。 【知识点睛】本题考查 “一半多几” 的还原问题，用倒推法解题，从最后剩下的长度往前逐步推算，每遇到 “一半” 就乘 2，遇到 “多几” 就加几。 14. 【答案】42 解题步骤： ① 观察算式特征：两个乘法部分都有相同因数 7，分别表示 8 个 7 和 2 个 7； ② 提取相同因数，个数相减：一共是个 7； ③ 简便计算：。 【知识点睛】本题是分组巧算的拓展题型，从 “几个几加几个几” 延伸到 “几个几减几个几”。解题核心：提取相同的因数，把个数相减，再和因数相乘，结果不变。 1 学科网（北京）股份有限公司 $