26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2\)的图象与性质，课堂导入通过类比一次函数学习路径，引导学生从实例出发提出研究方向，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过描点法画图、对比不同\(a\)值函数图象，培养几何直观与推理意识，专项练习分层设计强化应用。采用类比迁移和表格归纳性质，小结结构化呈现知识，助力学生提升数学思维，教师教学更高效。

人教版（新教材）数学九年级上册 第26章 二次函数 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 2026/8/17 人教版九年级上册26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质专项练习 核心知识点梳理 二次函数$$y=ax^2$$（$$a eq0$$）是最简单的二次函数，也是后续学习复杂二次函数图象与性质的基础。其图象是一条顶点在坐标原点、关于$$y$$轴对称的抛物线。当$$a>0$$时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，在$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，在$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大；当$$a<0$$时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，在$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，在$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。同时，$$|a|$$的大小决定抛物线的开口宽窄，$$|a|$$越大，开口越窄；$$|a|$$越小，开口越宽。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 抛物线$$y=5x^2$$的开口方向是（） A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右 2. 抛物线$$y=-3x^2$$的对称轴和顶点坐标分别是（） A. $$x$$轴，$$(0,-3)$$ B. $$y$$轴，$$(0,0)$$ C. $$x$$轴，$$(0,0)$$ D. $$y$$轴，$$(0,-3)$$ 3. 已知抛物线$$y=ax^2$$开口比$$y=2x^2$$宽，则$$a$$的值可能是（） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 4. 对于函数$$y=-4x^2$$，下列说法正确的是（） A. $$x>0$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大 B. $$x<0$$时，$$y$$随$$x$$增大而增大 C. 图象最低点为原点 D. 图象开口向上 5. 已知点$$(-2,y_1)$$、$$(1,y_2)$$在抛物线$$y=3x^2$$上，则$$y_1$$、$$y_2$$的大小关系是（） A. $$y_1>y_2$$ B. $$y_1<y_2$$ C. $$y_1=y_2$$ D. 无法判断 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 抛物线$$y=-6x^2$$的顶点是________，开口方向________。 7. 在$$y=4x^2$$、$$y=\frac{1}{2}x^2$$、$$y=-5x^2$$中，开口最宽的抛物线是________。 8. 已知抛物线$$y=(m-1)x^2$$开口向上，则$$m$$的取值范围是________。 9. 已知点$$(3,y)$$在抛物线$$y=-2x^2$$上，则$$y$$的值为________。 10. 当$$x=$$________时，二次函数$$y=7x^2$$取得最小值________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）分别说出抛物线$$y=6x^2$$与$$y=-\frac{1}{3}x^2$$的开口方向、对称轴、顶点坐标和函数增减性。 12.（20分）已知函数$$y=(k^2-2)x^2$$是开口向下的抛物线。 （1）求$$k$$的取值范围；（2）写出该抛物线的增减性与最值。 13.（22分）已知抛物线上有两点$$A(-3,y_1)$$、$$B(2,y_2)$$，抛物线解析式为$$y=2x^2$$。 （1）求出$$y_1$$、$$y_2$$的值；（2）比较$$y_1$$与$$y_2$$的大小，并说明理由。 参考答案及解析 1. A 解析：$$a=5>0$$，根据性质，$$a>0$$时抛物线开口向上。 2. B 解析：$$y=ax^2$$型抛物线对称轴均为$$y$$轴，顶点恒为坐标原点$$(0,0)$$。 3. D 解析：$$|a|$$越小开口越宽，1<2，其余选项$$|a|$$均大于2，开口更窄。 4. B 解析：$$a=-4<0$$，开口向下，原点为最高点；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 5. A 解析：代入计算，$$y_1=3\times(-2)^2=12$$，$$y_2=3\times1^2=3$$，故$$y_1>y_2$$。 6. $$(0,0)$$；向下 解析：$$y=ax^2$$顶点为原点，$$a=-6<0$$，开口向下。 7. $$y=\frac{1}{2}x^2$$ 解析：三个解析式中$$|a|$$最小，开口最宽。 8. $$m>1$$ 解析：开口向上则$$a=m-1>0$$，解得$$m>1$$。 9. -18 解析：将$$x=3$$代入解析式，$$y=-2\times9=-18$$。 10. 0；0 解析：$$a=7>0$$，抛物线开口向上，顶点处取最小值，$$x=0$$时$$y=0$$。 11. 解析：$$y=6x^2$$：开口向上，对称轴为$$y$$轴，顶点$$(0,0)$$；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大。$$y=-\frac{1}{3}x^2$$：开口向下，对称轴为$$y$$轴，顶点$$(0,0)$$；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小。 12. 解析：（1）抛物线开口向下，则$$k^2-2<0$$，解得$$-\sqrt{2}<k<\sqrt{2}$$；（2）该抛物线对称轴为$$y$$轴，顶点为原点；$$x<0$$时$$y$$随$$x$$增大而增大，$$x>0$$时$$y$$随$$x$$增大而减小；当$$x=0$$时，函数有最大值0，无最小值。 13. 解析：（1）将两点代入解析式，$$y_1=2\times(-3)^2=18$$，$$y_2=2\times2^2=8$$；（2）$$y_1>y_2$$，理由：$$y=2x^2$$开口向上，图象上的点离对称轴（$$y$$轴）越远，函数值越大，点A横坐标绝对值更大，故函数值更大。 情境导入 1. 正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2. 会用描点法画出二次函数 y = ax² 的图象，概括图象的特点；（难点） 3. 掌握二次函数 y = ax² 的图象和性质，并会应用. （难点） 学习目标 问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？ 追问1：你是怎么想到的？ 图象和性质 类比一次函数 通过具体实例认识这种函数 研究图象和性质 解决实际问题 探索与相应方程的联系 情境导入 追问2：怎样研究二次函数的图象和性质？ 一次函数的图象和性质 图象 特殊 y = kx(k≠0) 一般 y = kx + b(k≠0) 描点法： 列表，描点，连线 二次函数的图象和性质 图象 特殊 一般 情境导入 问题 用描点法画出 y=x2 的图象. 1.列表. x … -3 -2 -1 0 1 2　 3 … y=x2 … … 9 4 1 1 0 4 9 2.描点. 3.连线. y=x2 思考：这个图象像什么形状？ 探究新知 可以看出，二次函数 y=x2 的图象是一条曲线，它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 实际上，二次函数的图象都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数 y=ax2+bx+c 的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c . y=x2 探究新知 y=x2 在抛物线 y=x2上任取一点 (m，m2)，因为该点关于 y 轴的对称点 (−m，m2) 也在抛物线 y=x2 上，所以抛物线 y=x2 关于 y 轴对称. 思考：抛物线 y=x2 是轴对称图形吗？ 顶点 对称轴 每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点. 探究新知 从二次函数y=x2的图象可以看出： 在对称轴的_____，抛物线从左到右下降； 在对称轴的_____，抛物线从左到右上升. 也就是说，当x＜0时，y随x的增大而_____； 当x＞0时，y随x的增大而_____. y=x2 思考：你还能从图象中看出什么？ 左侧 右侧 减小 增大 探究新知 用描点法画二次函数 y=x2 的图象的一般步骤 (1)列表：让 x 取一些有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格； (2)描点：在平面直角坐标系内，以自变量 x 的值为横坐标，以相应的函数值 y 为纵坐标，描出相应的点； (3)连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点，并向两端无限延伸. 说明：用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的.一般来说，选点越多，图象越精确. 探究新知 1. 返回 二次函数y＝x2的图象大致是(　　) A 举一反三 10 返回 2. 抛物线y＝－2x2的开口(　　) A．向上 B．向左 C．向右 D．向下 D 举一反三 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=x2，y=2x2 的图象. 例1 x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … y=x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x2 … 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … 解：分别列表，再画出它们的图象. y=x2 y=2x2 探究新知 思考：函数  的图象与函数  的图象（图中的虚线图形）相比，有什么共同点和不同点？ 共同点：开口向上，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点 是函数图象的最低点. 不同点：开口大小不同，函数 的图象开口最大，函数 的图象开口最小. y=x2 y=2x2 探究新知 思考：利用信息技术工具画二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象，改变  的值，函数 y=ax2 的图象也发生了改变. 随着 a 的变化，二次函数 y=ax2 的图象有什么变化？ a的值越大，图象的开口越小. 探究新知 一般地，当 a>0 时，抛物线 y=ax2 的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象可以看出：当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. y=x2 y=2x2 探究新知 探究 回顾上面研究二次函数 y=ax2 (a>0) 的图象和性质的过程，你能用类似的方法研究二次函数 y=ax2 (a<0) 的图象和性质吗？ 在同一平面直角坐标系中，画出函数y=﹣x2， y=﹣x2 ，y=﹣2x2的图象. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 探究新知 共同点：开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是函数图象的最高点. 不同点：开口大小不同，函数 y=的图象开口最大，函数y=﹣2 的图象开口最小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 思考：观察这些抛物线有什么共同点和不同点？ 探究新知 一般地，当 a<0 时，抛物线 y=ax2 的开口向下，对称轴是 y 轴；顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小. y=﹣x2 y=﹣x2 y=﹣2x2 探究新知 y=ax2 (a≠0) a>0 a<0 图象 开口方向 向上 向下 开口大小 |a|越大，抛物线的开口越小 对称轴 y轴（直线x=0） 顶点坐标 原点(0,0) 增减性 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而增大. 当x<0时，y随x的增大而增大； 当x>0时，y随x的增大而减小. 最值 当x=0时，y最小值​=0. 当x=0时，y最大值​=0. 补充说明 顶点是抛物线的最低点. 顶点是抛物线的最高点. 二次函数 y=ax2 的图象和性质 探究新知 已知抛物线 ，回答下列问题： 抛物线  开口向______，对称轴是______，顶点坐标是______； 当  时， 随  的增大而______，当  时， 随  的增大而______； 对于任意的  值，总有函数值  ___ 0，当  ___ 时， 有最_____值，是______. 例2 下 减小 y轴 (0,0) 增大 ≤ 0 大 0 探究新知 1. 二次函数 y＝x2 的图象的顶点坐标是(　B　) A. (1，0) B. (0，0) C. (－1，0) D. (0，) 2.如果抛物线 y＝(m－1)x2 的开口向上，那么 m 的取值范围是(　A　) A. m＞1 B. m≥1 C. m＜1 D. m≤1 B A 当堂检测 3. 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性 质是(　B　) A. 开口向下 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大 B 当堂检测 4.已知抛物线y＝ax2的图象如图所示，下列说 法错误的是(　D　) A. a＜0 B. y的最大值为0 C. 抛物线有最高点 D. a越大，抛物线开口越小 D 当堂检测 5.已知点 (x1，y1)，(x2，y2) 是函数 y＝(m－3)x2 的图象上的两点，且当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2， 则 m 的取值范围是 ⁠. m＜3　 　草图通关：y＝(m－3)x2 √ m－3＜0 是否符合(　√　) × m－3＞0 是否符合(　×　) 当堂检测 返回 3. 抛物线y＝3x2的对称轴是(　　) A．直线x＝3 B．直线x＝－3 C．直线x＝0 D．直线y＝0 C 举一反三 返回 4. 抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(　　) A．(2，0) B．(－2，0) C．(0，0) D．(0，－2) C 举一反三 [教材P35练习T1变式](1)在同一平面直角坐标系(如图)中，画出函数y＝2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象． 返回 5. 解：如图所示． 举一反三 (2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题： ①抛物线y＝2x2与抛物线__________的形状相同，且两抛物线关于______对称；同样地，抛物线y＝ x2与抛物线________的形状相同，也关于________对称． ②抛物线y＝2x2的开口比抛物线y＝ x2的开口________(填“大”或“小”)，抛物线y＝－2x2的开口比抛物线y＝－ x2的开口________(填“大”或“小”)． 返回 y＝－2x2 x轴 x轴 小 小 举一反三 ③在抛物线y＝ax2中，当|a|相同时，抛物线开口大小________；|a|越大，抛物线开口越________；|a|越小，抛物线开口越________． ④应用：抛物线y＝3x2与y＝x2中，开口较小的是抛物线________． 返回 相同 小 大 y＝3x2 举一反三 二次函数y＝－5x2的图象，在y轴右侧，y随x的增大而(　　) A．增大 B．减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小 返回 6. B 举一反三 6. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－1，－3). (1)判断点B(1，－3)是否在此抛物线上； 解：(1)∵点A(－1，－3)在抛物线上， ∴由对称性可知点B在此抛物线上. (2)若点P(m，－6)在此抛物线上，求点P的坐标. (2)由题意得a＝－3， ∴抛物线的解析式为y＝－3x2. 将点P(m，－6)代入，得－3m2＝－6， 解得m1＝，m2＝－， ∴点P的坐标为(，－6)或(－，－6). 当堂检测 二次函数y=ax2的图象和性质 画法 性质 描点法 抛物线 图象 轴对称图形 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 课堂小结 谢谢观看 THANKS Lavf57.25.100 y＝－x2 $