11.2 锥体（高效培优讲义）高二数学沪教版必修第三册

本讲义聚焦高中数学锥体核心知识，系统梳理棱锥与圆锥的结构特征、体积公式（V=1/3Sh）及表面积计算，构建从定义识别到公式推导再到综合应用的学习支架，助力学生形成完整知识脉络。 资料通过多样题型（如结构判断、体积表面积计算、展开图最短路径等）和实例（如正方体切土豆块、《九章算术》鳖臑），培养学生空间观念（数学眼光）、推理能力（数学思维）与应用意识（数学语言），课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固提升、弥补知识盲点。

11.2 锥体 教学目标 1.认识棱锥与圆锥的结构特征能够区分两类锥体的几何构成 2.掌握锥体体积公式会求解棱锥圆锥的体积 3.理解锥体表面积构成能完成侧面积与表面积计算 4.可以结合锥体结构解决简单的综合几何问题 教学重难点 重点：棱锥圆锥的结构识别锥体体积与表面积公式应用 难点：棱锥高与斜高的区分锥体侧面积推导几何体组合下的面积体积计算 知识点01 棱锥的结构特征 定义 一个面是_多边形__，其余各面都是有一个_公共顶点___的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图示及相关概念 如图可记作：棱锥或棱锥 底面(底)：_多边形__； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的__公共边_； 顶点：各侧面的_公共点__； 高：__顶点到底面_____的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫做_四面体__．底面是_正多边形__，且它的顶点在过底面中心且与底面_垂直__的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥. 正棱锥各侧面都是全等的_等腰三角形____，这些等腰三角形的高称为__斜高___. 知识点02 圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以__直角三角形的一条直角边_____所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作:___圆锥 ___ 相关概念 轴:__旋转轴____做圆锥的轴； 底面:__垂直于轴的_____边旋转而成的圆面； 侧面:___斜边_____旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置，___斜边___叫做圆锥侧面的母线； 锥体:__棱锥和圆锥_____称为锥体 知识点03 棱锥和圆锥的体积 棱锥和圆锥的体积的计算公式：____________． 其中为锥体的底面积，为锥体的高． 特别地，（是圆锥的底面半径，是圆锥的高） 知识点04 正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是___全等的等腰三角形_____，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积________，表面积__ ______． 知识点05 圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以___圆锥母线l_____为半径的扇形，扇形的弧长就等于__圆锥底面的圆周长______，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角________（弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积__ ______，表面积________．    题型01 棱锥的结构特征和分类 【典例1】（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 【变式1】（25-26高二上·上海·开学考试）给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【变式3】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 题型02 正棱锥及有关计算 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 【变式1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【变式2】在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为____. 题型03 棱锥的展开图及最短路径问题 【典例1】已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式2】在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 题型04 棱锥中的截面及有关计算 【典例1】在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为___________. 【变式1】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______（填序号）. ①2；②；③3；④.    【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________. 【变式3】如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型05 圆锥的展开图及最短路径问题 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【变式1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【变式2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【变式3】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    题型06 圆锥中截面的有关计算 【典例1】若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 【变式1】（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【变式2】已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【变式3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 题型07 棱锥的体积计算 【典例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于.    (1)若，证明； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 【变式1】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 题型08 圆锥的体积计算 【典例1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【变式1】（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． (1)求圆锥的体积； (2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 【变式3】（25-26高三上·上海浦东新·期中）将直角边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 题型09 棱锥的表面积计算 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________ 【变式3】如图，已知三棱锥中，PA垂直于平面ABC，，，，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)求三棱锥的表面积． 题型10 圆锥的表面积计算 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 1．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·上海·期末）若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________． 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 5．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    6．（24-25高三下·上海黄浦·期中）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 7．（25-26高一下·上海·期末）香港中银大厦以其独特的三角形桁架结构和底部正方形平面（对角线垂直）闻名，某公园计划仿照这一几何理念建造一座现代景观亭．模型主体由水平基座和两个垂直立柱构成，具体参数如下： ●基座的底面为四边形，其对角线互相垂直，且交于点，经实地测量，米，米． ●从点竖直向上安装一根立柱，垂直于基座平面；从点竖直向上安装另一根垂直于基座平面的立柱，其中米． ●为形成三角形玻璃幕墙效果，在顶点，，之间连接钢梁形成侧面（参考中银大厦的三角形玻璃幕墙），在顶点，，之间连接钢梁形成另一侧面．所有钢梁均视为直线段． 设计团队需建立三维几何模型，用于结构安全性评估、材料用量估算及照明设施布置，需解决以下建模问题： (1)试用几何推理验证：基座上的棱平行于侧面所在平面； (2)为了估算结构所需填充材料的用量，求三棱锥的体积（单位：立方米）； (3)因照明需求，计划在建筑棱线上安装照明灯，设计要求：以为顶点、基座为底面的四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出安装位置并说明理由． 8．（25-26高二上·上海·期末）粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为cm，则现有cm体积的食材，最多可以包成这种粽子______个． 9．（25-26高二上·上海·期末）如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 10．（24-25高二下·上海徐汇·期末）若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 11．（25-26高三上·上海松江·期末）在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 12．（25-26高二上·上海松江·期中）在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； (2)如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； (3)当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 14．（2025高二上·上海松江·专题练习）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 15．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知三棱柱的体积为，，，分别为侧棱，，上的点，且，则_____________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.2 锥体 教学目标 1.认识棱锥与圆锥的结构特征能够区分两类锥体的几何构成 2.掌握锥体体积公式会求解棱锥圆锥的体积 3.理解锥体表面积构成能完成侧面积与表面积计算 4.可以结合锥体结构解决简单的综合几何问题 教学重难点 重点：棱锥圆锥的结构识别锥体体积与表面积公式应用 难点：棱锥高与斜高的区分锥体侧面积推导几何体组合下的面积体积计算 知识点01 棱锥的结构特征 定义 一个面是_多边形__，其余各面都是有一个_公共顶点___的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图示及相关概念 如图可记作：棱锥或棱锥 底面(底)：_多边形__； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的__公共边_； 顶点：各侧面的_公共点__； 高：__顶点到底面_____的距离 分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫做_四面体__．底面是_正多边形__，且它的顶点在过底面中心且与底面_垂直__的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥. 正棱锥各侧面都是全等的_等腰三角形____，这些等腰三角形的高称为__斜高___. 知识点02 圆锥的结构特征 圆锥及相关概念 图形及表示 定义 以__直角三角形的一条直角边_____所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作:___圆锥 ___ 相关概念 轴:__旋转轴____做圆锥的轴； 底面:__垂直于轴的_____边旋转而成的圆面； 侧面:___斜边_____旋转而成的曲面; 母线:无论旋转到什么位置，___斜边___叫做圆锥侧面的母线； 锥体:__棱锥和圆锥_____称为锥体 知识点03 棱锥和圆锥的体积 棱锥和圆锥的体积的计算公式：____________． 其中为锥体的底面积，为锥体的高． 特别地，（是圆锥的底面半径，是圆锥的高） 知识点04 正棱锥的表面积 正棱锥的每个侧面都是___全等的等腰三角形_____，我们把这些等腰三角形底边上的高称为棱锥的斜高，记为．如果棱锥底面多边形的周长是c，底面面积是，那么棱锥的侧面积________，表面积__ ______． 知识点05 圆锥的表面积 将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面内．圆锥侧面的平面展开图是一个以___圆锥母线l_____为半径的扇形，扇形的弧长就等于__圆锥底面的圆周长______，如图，设圆锥的底面圆半径为r，则扇形的中心角________（弧度）．由扇形的面积公式，可得圆锥的侧面积__ ______，表面积________．    题型01 棱锥的结构特征和分类 【典例1】（2025高二上·上海·专题练习）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？_______（找出可能的结果，并将序号填在横线上） ①四面体；②四棱锥；③四棱柱；④五棱锥；⑤五棱柱；⑥六棱锥；⑦七面体. 【答案】①③⑤⑦ 【分析】结合正方体的性质逐一作图，可能出现①③⑤⑦这四种情况. 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 【变式1】（25-26高二上·上海·开学考试）给定等边三角形，在空间任取2个不同的点，使得它们与恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则可以得到______个不同的正四棱锥. 【答案】9 【分析】根据题意，可分为两种情况：当为正四棱锥的侧面时和当为正四棱锥的对角面时，分别求得满足条件的正四棱锥的个数，即可求解. 【详解】空间内存在三点，满足， 在空间内取不同两点，使得这两点与可以组成正四棱锥的五个顶点， 可分为两种情况： 第一种：当为正四棱锥的侧面时，如图（1）所示， 此时可分别充当底面正方形的一边，对应的情况显然相同， 不妨以为底面正方形的一边，符合要求的另两个点， 如图（1）所示，此时有两种情形； 考虑到三边的对称性，共有6种情况； 第二种：当为正四棱锥的对角面时，如图（2）所示， 此时分别充当底面正方形的一条对角线时，对应的情况显然也相同， 不妨以为底面正方形对角线，符合要求的另两个点， 如图（2）所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种情况， 综上所述，共有9种情况. 故答案为：9 【变式2】（25-26高二上·上海·期中）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【分析】根据棱柱、直棱柱、圆柱及圆锥的定义逐项判断即可. 【详解】选项A:由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确； 选项B:由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确； 选项C:由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确； 选项D:若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误. 故选：D. 【变式3】关于正九棱锥，下列判断错误的是（   ） A．正九棱锥有18条棱 B．正九棱锥的侧棱都相等 C．正九棱锥有18个面 D．正九棱锥的底面是正九边形 【答案】C 【分析】根据正棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】正九棱锥有18条棱、10个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形． 故选：C 题型02 正棱锥及有关计算 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）已知是正四棱锥，，则该棱锥的高为________． 【答案】 【分析】设点在底面的射影为点，求出的长，结合勾股定理可求得该棱锥的高. 【详解】设点在底面的射影为点， 因为四棱锥是正四棱锥，所以点是正方形的对角线、的交点，连接， 由正方形的几何性质可知为的中点，所以， 故该四棱锥的高为. 【变式1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【答案】/ 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案. 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 【变式2】在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】若为中点，如下图，连接，则且， 所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角， 若正四面体的棱长为4，则，，，， 所以， 综上，直线和夹角的余弦值为. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）在棱长为2的正四面体中，顶点到底面的距离为____. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用正四面体的结构特征计算即得. 【详解】依题意，正的外接圆半径，则， 所以顶点到底面的距离. 故答案为： 题型03 棱锥的展开图及最短路径问题 【典例1】已知正三棱锥侧棱长.一只小蚂蚁从顶点A出发沿着棱锥的侧面爬行一周回到A点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求的长度，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】 将三棱锥三个侧面沿着剪开展开置于同一平面内如图所示，则，所求最短距离为线段的长度， 而，由勾股定理得， 所以虫子爬行的最短距离. 故选：D 【变式1】如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 【变式2】在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将展开到与共面，根据三角形三边关系可知，当且仅当三点共线时等号成立.根据题干条件，在中由余弦定理即可求解. 【详解】如图，在三棱锥中，设点为线段的中点，连接. 由题易知：，，平面. 在中，，故， 所以是边长为2的等边三角形. 将展开到与共面，如图所示， 则，当且仅当三点共线时等号成立，即取得最小值. 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 即的最小值为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 题型04 棱锥中的截面及有关计算 【典例1】在四棱锥中，底面是边长为的正方形，在底面的射影为正方形的中心，，点为中点.点为该四棱锥表面上一个动点，满足、都平行于过的四棱锥的截面，则动点的轨迹围成的多边形的面积为___________. 【答案】/ 【分析】首先取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，连接，证明平面即为所求的截面，再证明四边形是矩形，，矩形面积加三角形面积之和即为所求. 【详解】 取的中点，的中点，的中点，的中点，连接延长交与点，依次连接， 可知，即，而， 所以共面，所以共面， 因为底面是边长为的正方形， 所以对角线，， 因为P在底面的射影为正方形的中心，可得面， 因为面， 所以， 因为，，所以， 因为、分别为、的中点， 所以，且， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 所以平面即为所求截面. 又因为平面平面，平面，所以， 因为为的中点，可得， 所以， ，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 因为，，，所以平面， 因为平面，可得，所以， 所以四边形是矩形， 所以动点T的轨迹围成的多边形的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解题的关键点是作出符合题意的截面，再利用线面垂直证明线线垂直，将截面分割求面积. 【变式1】（23-24高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，正方形所在平面外一点P满足，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面垂直的平面，平面与截面交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______（填序号）. ①2；②；③3；④.    【答案】①③ 【分析】设，由正四棱锥的性质，易知平面，过M作//分别交棱、于点T、L，则平面，由题意，只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可，数形结合，作出截面即可得到答案. 【详解】设，显然为正四棱锥，易知平面平面，又 ，平面平面，平面，所以平面， 过M作 分别交棱、于点T、L，则平面，由题意， 只需所作的平面是包含且与截面PAC交线段的长度为2即可， 又是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过M作分别交棱 、于点E、Q，所以，即，所以， 如图1，则平面为满足题意的平面，显然四边形为正方形，对角线， 所以四边形的面积为，①正确； 如图2，过T作，过L作，易知平面为满足题意的平面， 且为两个全等的直角梯形，易知T、H分别为GE、EF的中点，所以， 所以五边形的面积， 故③正确.当与是完全相同的，所以，综上选①③. 故答案为：①③ 【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知正三棱锥底面面积=6，点在高上且，则经过点且平行于底面的截面面积为___________. 【答案】 【分析】由平行关系确定相似关系，根据相似比定出面积比，从而得解. 【详解】由题意知, 所求截面是等边三角形, 且与点构成一个小的正三棱锥, 因为, 即, 所以该小的正三棱锥与正三棱锥 的相似比为, 所以 , 所以所求截面的面积 . 故答案为: . 【变式3】如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正方体的性质证明平面，同样由正方体性质知时，截面与棱相交于它们的中点处，计算出，然后从1开始增加，平面逐渐平移，由棱锥平行于底面的截面的性质易得的表达式，，然后确定在时，是常数，与的情形相似可得．从而得出结论． 【详解】如图1，连接， ，平面，平面，则，又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理，，平面，所以平面， 因此平面与平面重合或平行， 取的中点，连接，则，， 同理可证平面，由于，，所以三棱锥是正三棱锥， 与平面的交点是的中心， 正方体棱长为，则，， 所以，所以， 由棱锥的平行于底面的截面的性质知，当平面从平面平移到平面时，，即， ，，显然，             图1 平面过平面再平移至平面时，如图2，把正方形沿旋转到与正方形在同一平面内，如图3，则共线，由正方形性质得，同理，， 因此此种情形下，截面的周长与截面的周长相等，平移平面，一直到平面位置处，由正方体的对称性，接着平移时，截面周长逐渐减少到， 综上，的值域是． 故选：D.             图2                                               图3 【点睛】本题考查立体几何中截面的性质，考查线面垂直的判定与性质，解题关系是掌握棱锥的平面于底面的截面的性质，解题方法是利用正方体性质求出截面初始位置（）时，截面周长，然后由棱锥的性质求出（），再通过空间问题平面化的思想（结合对称性）求出时的值，由对称性可得时函数值的取值情况． 题型05 圆锥的展开图及最短路径问题 【典例1】（25-26高一下·上海·期末）如图，圆锥中，母线，底面直径．是中点，是上一动点．一只蚂蚁沿圆锥侧面上的曲线从点爬到点处，则蚂蚁所爬的最短路径长为__________． 【答案】 【分析】通过展开图，计算弧长和圆心角，蚂蚁所爬的最短路径为展开图中直线的距离，通过余弦定理直接计算边长. 【详解】将圆锥展开如图所示，因为底面直径 所以，因为， 所以， 在中，， 由余弦定理得：， 所以. 蚂蚁所爬的最短路径长为. 【变式1】（25-26高三上·上海杨浦·期末）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，母线千米，母线与圆锥底面所成角的大小为，为母线上靠近的三等分点.现要建设一条从到的环山观光公路，当公路长度最短时，这条公路从出发到的过程中，先上坡、后下坡，则公路的上坡路段长为______千米.（精确到0.1千米） 【答案】1.1 【分析】根据圆锥的侧面展开图，求出圆锥底面半径及展开图的圆心角，由余弦定理求出，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，得为公路的上坡路段，由面积相等法求，由勾股定理求出. 【详解】设母线与圆锥底面所成角，圆锥底面半径为， 则，解得， 故圆锥底面周长，展开图扇形的圆心角为. 如图所示，将圆锥侧面沿展开成扇形， 由条件得 ，， ，则最短路径为在展开图中的线段， 在中，由余弦定理得 , 故， 在中，过作的垂线，垂足为，则为点到环山观光公路的最短距离，故为公路的上坡路段， 在中， , 故， 得. 故答案为：1.1 【变式2】（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图几何体是圆锥的一部分，其中，，.从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是_____.    【答案】 【分析】根据条件，求出各个长度，以及和的长，即可求出所需圆心角，将圆锥的侧面展开，分析可得线段AB即为所求，根据余弦定理，即可求得答案. 【详解】连接OA，OB，因为，，则，    所以劣弧即缺少的圆弧的长为，占底面圆周的，    圆O的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图，即扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的长为，则， 所以 ， 所以，则从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离为______．    【答案】 【分析】蚂蚁爬行距离最短，即将圆锥侧面展开后A到C的直线距离，根据已知条件、勾股定理可求出最短距离. 【详解】如图，圆锥的侧面展开图为半径为3的扇形，弧长， 则， 则. 故答案为：.    题型06 圆锥中截面的有关计算 【典例1】若圆锥的轴截面为底角的等腰三角形，母线长为，则过此圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为___________ 【答案】 【分析】先计算圆锥的轴截面的顶角，进而可判断圆锥的两条母线夹角，再由三角形的面积公式及三角函数性质可得. 【详解】已知圆锥轴截面是底角为的等腰三角形， 因此轴截面的顶角为 ，圆锥母线长. 设任意两条母线的夹角为（），截面为等腰三角形，腰长均为母线长， 因此截面面积为 . 因为，当且仅当时等号成立. 因此过圆锥的两条母线的截面的面积的最大值为.    【变式1】（25-26高二上·上海金山·期末）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个半圆，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长，设出母线，求出圆锥底面圆的直径，即可求出截面三角形的顶角. 【详解】根据题意，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面圆的周长为， 所以，所以，所以圆锥底面圆的直径为， 所以用经过圆锥的轴的平面截此圆锥得到的三角形为等边三角形， 所以截面三角形的顶角大小为； 故答案为： 【变式2】已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值范围为______． 【答案】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】如图是圆锥的轴截面，设圆锥底面圆的半径为. 若，所得截面面积的最大值为， 则，故不合题意； 若，此时所得截面面积的最大值为 ，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故答案为：. 【变式3】用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 【答案】8 【分析】由已知得、，进而可得，最后由及，即可得最大值. 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 题型07 棱锥的体积计算 【典例1】（25-26高二下·上海奉贤·期末）如图，已知面面且相交于，面面且相交于，面与面相交于.    (1)若，证明； (2)若，，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)因为，面，面， 所以面， 又因为面，面面，所以. (2) 【分析】（1）利用线线平行推出线面平行，再借助线面平行的性质定理即可证明； （2）先由两个平面同时垂直底面推出面，然后计算底面三角形的面积，利用等体积法即可计算三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）因为面面，面面，且面面， 所以面. 因为，，， 所以， 所以三棱锥的体积为：. 【变式1】（25-26高三下·上海·阶段检测）在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面， ，，，点为的中点． (1)求异面直线与直线所成角． (2)点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． （2）连接交于点，在中，为中点，为中点，所以 ． 因为平面，平面，所以 平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）如图，在多面体中，平面平面，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)因为平面平面，为等边三角形，取中点，连接， 则，又平面，平面平面， 由面面垂直的性质得平面， 平面，因此.又， 平面，故平面. 又因为，所以平面，得证. (2)． 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用线面角推出所需线段长度，再将三棱锥转换顶点进行求解. 【详解】（1）略 （2） 连接，因为是边长为​的等边三角形， 所以. 由线面角定义可知，与平面所成角为​， 在中，​，得​​. 设，则，​​， 代入得，解得，即. 因为平面，平面，， 故平面平面，且为等边三角形， 则到平面的距离等于到的距离， ​​所以， 因此体积​. 题型08 圆锥的体积计算 【典例1】（25-26高二上·上海·期末）已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，则该圆锥的体积为______. 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式即可求得. 【详解】 设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则； 又，所以圆锥的体积为. 故答案为：. 【变式1】（25-26高三下·上海黄浦·开学考试）如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周形成圆锥.已知圆锥 的底面半径为，圆锥的侧面积 ．设是底面圆周上的两点，线段不经过点 O ． (1)求圆锥的体积； (2)二面角 的大小为 ，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由侧面积公式求得母线长，进而得到圆锥高，结合体积公式即可求解； （2）过点作于，连接，确定为直线与平面所成角，进而可求解． 【详解】（1）设圆锥的母线长为，底面半径为， 由题意可得：， 所以， 所以圆锥的体积； （2）因为二面角的大小为， 由圆锥的结构可知：， 所以即为二面角的平面角， 所以，又， 所以， 过点作于，连接， 因为，为平面两条相交直线， 所以平面 所以即为直线与平面所成角， 又， 又平面，在平面内， 所以， 所以， 所以， 即直线与平面所成角大小为． 【变式2】（2025·上海虹口·一模）已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为 ___________（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆锥体积公式、侧面积公式，结合圆锥的性质进行求解即可. 【详解】设圆锥的母线为，因为圆锥侧面积为， 所以， 所以该圆锥的高为， 因此该圆锥的体积为， 故答案为： 【变式3】（25-26高三上·上海浦东新·期中）将直角边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的体积为________. 【答案】/ 【分析】分析可知所形成的几何体是以底面半径为2，高为2的圆锥，结合锥体的体积公式运算求解. 【详解】因为三角形为等腰直角三角形， 以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体是以底面半径为2，高为2的圆锥， 所以所形成的几何体的体积为. 故答案为：. 题型09 棱锥的表面积计算 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，. (1)证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，本题图中三棱锥即为一个鳖臑，请计算它的体积和表面积. 【答案】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC， 在中，，，，满足：， 由勾股定理逆定理得，即， 又，平面，所以平面， 因为平面，故，得证. (2)； 【分析】（1）运用线面垂直的性质定理，由侧棱垂直底面推出侧棱垂直于底面内的直线，再结合勾股定理逆定理证明底面三角形中两边垂直，利用线面垂直的判定定理得出直线垂直于平面，最终由线面垂直的定义证得两直线垂直； （2）利用已证垂直关系确定三棱锥的高与底面直角三角形，代入锥体体积公式完成计算，根据四个面均为直角三角形的结构特征，逐一计算各直角三角形面积并求和. 【详解】（1）略 （2）平面，故是三棱锥的高，底面为直角三角形， 其面积， 三棱锥体积： 三棱锥四个面均为直角三角形，则， ， ， 总表面积：. 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 【答案】 【分析】根据正四棱锥的结构特征及表面积的求法求其侧面积. 【详解】由题意，正四棱锥的底面是边长为6的正方形，且棱锥的高为4， 所以正四棱锥的侧面等腰三角形的高为， 由正四棱锥有4个侧面等腰三角形，所以其侧面积为. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，棱长为2，则三棱锥的表面积为___________ 【答案】 【分析】由正方体的性质得三棱锥是棱长为的正四面体，求表面积可得答案. 【详解】 正方体的棱长为2，所以， 三棱锥是棱长为的正四面体， ，所以三棱锥表面积为， 故答案为：. 【变式3】如图，已知三棱锥中，PA垂直于平面ABC，，，，． (1)求点A到平面PBC的距离； (2)求三棱锥的表面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离； （2）计算出三棱锥每个面的面积，相加即可得出三棱锥的表面积. 【详解】（1）因为,，． 所以, ， 因为平面,平面, 所以， 又平面,平面, 所以平面，平面，故， 因为平面,平面, 所以, , , 设点A到平面PBC的距离为，则，即， 可得 （2）由（1）知，，, 因为平面,平面, 所以, 所以 所以三棱锥的表面积为 . 题型10 圆锥的表面积计算 【典例1】（25-26高二下·上海·期中）已知圆锥的高为，底面半径为，则该圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【详解】 如图，母线长，所以圆锥的侧面积． 【变式1】（25-26高二上·上海·期末）已知一个圆锥的侧面积为，体积为，则该圆锥的母线长可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的侧面积公式，体积公式，列方程代入验证即可. 【详解】设圆锥母线为，底面半径为，高为， 则， 消去整理得， 代入选项验证，仅有符合题意， 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 【变式3】（25-26高二上·上海·期中）已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___________． 【答案】 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出母线长； 再分别计算圆锥的底面积和侧面积，即可求解. 【详解】设圆锥体的母线为，则，所以，所以. 故答案为：. 1．（2026·上海长宁·二模）将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，C，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥. 而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点. 2．（25-26高二上·上海·期末）若一个三棱锥的所有棱的长度构成的集合为，设该三棱锥的表面积的所有可能取值构成的集合为，则集合的元素个数为__________． 【答案】 【分析】根据棱长中有几个棱长为3进行列举即可，并求出面积比较，得到总数. 【详解】首先考虑有2和3能够构成什么样的三角形? ，其中表示三条边分别为2，2，3. 面积分别为 当三棱锥所有棱长中只有1个，构成三棱锥的四个面的三角形， 2个 ，2个.面积为 当三棱锥所有棱长中只有2个3，构成三棱锥的四个面的三角形有一种情况 1个，2个，1个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有3个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，3个，面积为 ②1个，3个，面积为 ③2个，2个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有4个3，构成三棱锥的四个面的三角形 ①1个，2个，1个，面积为 ②4个，面积为 当三棱锥所有棱长中只有5个3，构成三棱锥的四个面的三角形 2个，2个，面积为 一共8个 3．（24-25高二上·上海·期中）将一个圆锥的侧面展开后，得到一个半圆，则该圆锥轴截面的顶角等于___________. 【答案】 【分析】和分别表示底面圆半径和母线长，由题意得到等量关系，得到，从而知道轴截面的顶角值. 【详解】设底面半径为，母线成为， 则，即， ∴该圆锥轴截面的顶角等于， 故答案为： 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为________． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与圆锥底面周长关系列方程求底面半径，结合圆锥的结构特征求该圆锥的母线与底面所成角余弦值，即可确定大小. 【详解】令底面半径为，则，可得，且圆锥母线为， 所以该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为，故其大小为. 故答案为： 5．（2026·上海·三模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    【答案】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 6．（24-25高三下·上海黄浦·期中）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为____．（结果中保留） 【答案】/ 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，利用圆锥的侧面展开面积公式，弧长公式求出，然后利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 由该圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面得：，解得：， 又圆锥底面圆的周长等于圆锥的侧面展开半圆面的弧长：，解得：， 所以圆锥的高为：， 所以圆锥的体积为：. 7．（25-26高一下·上海·期末）香港中银大厦以其独特的三角形桁架结构和底部正方形平面（对角线垂直）闻名，某公园计划仿照这一几何理念建造一座现代景观亭．模型主体由水平基座和两个垂直立柱构成，具体参数如下： ●基座的底面为四边形，其对角线互相垂直，且交于点，经实地测量，米，米． ●从点竖直向上安装一根立柱，垂直于基座平面；从点竖直向上安装另一根垂直于基座平面的立柱，其中米． ●为形成三角形玻璃幕墙效果，在顶点，，之间连接钢梁形成侧面（参考中银大厦的三角形玻璃幕墙），在顶点，，之间连接钢梁形成另一侧面．所有钢梁均视为直线段． 设计团队需建立三维几何模型，用于结构安全性评估、材料用量估算及照明设施布置，需解决以下建模问题： (1)试用几何推理验证：基座上的棱平行于侧面所在平面； (2)为了估算结构所需填充材料的用量，求三棱锥的体积（单位：立方米）； (3)因照明需求，计划在建筑棱线上安装照明灯，设计要求：以为顶点、基座为底面的四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出安装位置并说明理由． 【答案】(1)取中点，由为中点，则，且, 由面，面，故， 故故为平行四边形，则， 由面，面故面，即面. (2) (3)安装在靠近点的， 设，设到面、面距离为和，则， 由，，，且面，故面，故， 又 ， 则由，即， 即，即，即. 【分析】（1）通过证明为平行四边形进而证明出平行于所在平面； （2）先利用勾股定理和逆定理判定底面的垂直关系，通过线面垂直的判定定理确定三棱锥的高；再运用等体积转换法，将原目标三棱锥转化为底面积和高更易求得的同体积三棱锥. （3）利用动点在线段上的比例参数，借助相似三角形比例关系，将点到两个不同平面的距离分别表示为和的线性函数；分别求出两个四边形底面的面积，通过列出体积相等的代数方程，将空间几何问题转化为一元一次方程求解. 【详解】（1）略 （2），则， 由，，故， 则，， 则，故， 又，且，面，故面， 则， 由(1)知面，故. （3）略 8．（25-26高二上·上海·期末）粽子是我国南北各地的节令食品，因各地风俗不同，粽子的形状和食材也会不同．有一种各面都是正三角形的正四面体形粽子，若该正四面体粽子的棱长为cm，则现有cm体积的食材，最多可以包成这种粽子______个． 【答案】 【分析】首先根据题意得到正四面体粽子的体积为，即可得到答案. 【详解】设为的中心，连接，如图所示： 因为，解得， 所以， 所以， 因为，所以最多可以包成这种粽子个. 故答案为： 9．（25-26高二上·上海·期末）如图1所示，已知与满足：，，二面角的大小为为线段的中点.    (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)如图2所示，若点满足平面且平面，求六面体的体积. 【答案】(1) 由，为线段的中点，则， 由，平面，则平面， 又平面，所以平面平面； (2)； (3). 【分析】（1）由题设可得，再由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）根据面面垂直的性质及二面角的定义，确定点到平面的投影的位置且，再根据已知求点面距离； （3）根据已知求出相关线段的长度，结合求体积. 【详解】（1）略 （2）由平面平面，平面平面，且，平面，    所以点到平面的投影在直线在平面的投影直线上， 由二面角的定义及知，二面角为， 而，，则是边长为2的等边三角形， 所以，则点到平面的距离； （3）由平面且平面，平面，则， 由，则，故，， 而是边长为2的等边三角形，则， 在中，，故，则， 所以. 10．（24-25高二下·上海徐汇·期末）若一圆锥底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为________．（结果保留） 【答案】 【分析】利用圆锥的侧面积计算公式求解即可. 【详解】底面半径为1，则底面周长，侧面展开图的面积为， 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海松江·期末）在三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的体积为________． 【答案】 【分析】过作于，连接，利用余弦定理与勾股定理可证得，结合线面垂直判定定理得平面，则用等体积法即可得此三棱锥的体积. 【详解】如下图：过作于，连接，    因为，所以，， 在中，由余弦定理得：， 则，于是，故， 又平面，所以平面， 故此三棱锥的体积为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·上海松江·期中）在一个棱长为的正四面体容器内放入一个半径为1的小球，摇晃容器使得小球在容器内朝着任意方向自由运动，则小球不可能接触到的容器内壁的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近棱时便得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，做出面积相减，即可得到结果. 【详解】如图：    考虑小球O即在正四面体的一个角上时，作平面平面，为平面的中心，则. 因为可得，所以,. 由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近棱时便得切点的轨迹仍为正三角形，    因为，平分，所以，. 因为正四面体的棱长为，故小三角形的边长为， 小球与一个面不能接触到的部分的面积为： . 所以在几何体的四个面上，小球永远不可能接触到容器的内壁的面积是. 故选：C 13．（24-25高二上·上海松江·阶段检测）如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. (1)如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； (2)如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； (3)当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 【答案】(1) (2) (3)证明:如图过射线上一点在面作交于点， AI在面内作交于点，连接， 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则， 两边同除以，得： ， 从而得证. 【分析】（1）法1：构建三角形，算出各边，根据余弦定理可得解；法2：依题意，将相关数据代入三面角余弦定理求得，再求出 （2）依题意证明平面，将和分别用表示，求出的表达式，借助于二次函数的最值即得体积最大值. （3）在射线上一点，分别作，，即得二面角的平面角，在和中，由余弦定理分别求出，消去，整理后利用直角三角形中三角函数定义即可推得结论. 【详解】（1）法1：取的中点，连接，如图所示， 则，于是是二面角的平面角， 设，则， 由余弦定理得， 故 法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有， 计算得，故 （2）二面角的平面角的大小为，利用三面角余弦定理得 ，计算得， 于是. 由于，则. ， 即当时，三棱锥体积的最大值为 （3）略. 14．（2025高二上·上海松江·专题练习）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是，的中点，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用等体积法求出三棱锥的体积； 【详解】因为，，，所以，所以， 又因为,,平面； 所以平面， 所以平面，， ； 故答案为： 15．（25-26高二上·上海·期中）如图，已知三棱柱的体积为，，，分别为侧棱，，上的点，且，则_____________. 【答案】 【分析】由题意可知，，再根据位置关系可得，，然后根据等积法即可得答案. 【详解】如图： 在三棱柱中，易知四边形为平行四边形， 因为，所以， 又平面， 所以. 又， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $