第12讲 球与几何体的综合问题（核心知识+6易错辨析+6典例精讲+课后作业）-2026-2027学年高二数学重难点复习讲义（沪教版必修第三册）

本讲义聚焦球与几何体综合问题，核心知识点涵盖球的基础公式与截面性质，系统梳理外接球（长方体、正方体、直棱柱、两两垂直三棱锥等）和内切球（等体积法、特殊几何体结论）的关键原理，构建从基础到综合应用的学习支架。 资料通过6大易错辨析强化概念理解，6类典例精讲结合补形法等解题套路，培养数学思维与空间观念。课中助力教师高效授课，课后分层作业帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

第12讲 球与几何体的综合问题 （核心知识+6易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】求球面距离 【题型四】两两垂直三棱锥外接球 【题型二】正方体内外接球基础计算 【题型五】几何体内切球等体积法计算 【题型三】长方体外接球综合计算 【题型六】球的截面的性质及计算 【知识点01】球的基础公式与核心性质 设球的半径为： 球的表面积公式： 球的体积公式： 球的截面核心性质（解题基石） 用平面截球，截面为圆。设球心到截面距离为，截面圆半径为，满足勾股关系： 该公式是外接球、截面面积、距离计算的万能核心公式。 【知识点02】几何体的外接球 定义：若一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，则该球为多面体的外接球，球心为外心，半径为外接半径。 核心特征：球心到多面体各个顶点距离相等，均等于。 （1）长方体、正方体的外接球 长方体（长宽高）、正方体（棱长）的外接球直径等于体对角线长。 长方体： 正方体： （2）直棱柱的外接球 直棱柱外接球球心为上下底面外心连线的中点。 设底面外接圆半径，棱柱高，则外接球半径： （3）特殊棱锥外接球 直角四面体/三条棱两两垂直的三棱锥：可补形为长方体，外接球与补形长方体共球，直径等于长方体体对角线。 正四面体（棱长）：外接球半径 【知识点03】几何体的内切球 定义：与多面体各个面都相切的球，称为内切球，球心为内心，到各个面距离相等，均等于内切半径。 通用等体积公式（必考） 对任意有内切球的多面体，体积、表面积、内切球半径满足： 变形求内切半径： 常见特殊几何体内切球结论 正方体（棱长）： 正四面体（棱长）： 【知识点04】球与几何体综合模型 1. 球内接几何体：顶点在球面，重点求外接球半径、几何体体积最值； 2. 球外切几何体：各面与球相切，重点用等体积法求内切球半径； 3. 球截几何体：利用截面公式求截面面积、弦长、距离。 易错点1：外接球与内切球概念混淆 误区：混淆球心位置、半径公式，将外接球公式用于内切球计算。 正解：外接球：到顶点距离相等；内切球：到各面距离相等，公式体系完全独立。 易错点2：直棱柱外接球半径公式记错 误区：直接用，遗漏高的一半。 正解：球心在上下底面中心中点，竖直距离为，标准公式：。 易错点3：内切球公式乱用表面积 误区：使用侧面积代入计算。 正解：内切球公式中必须代入几何体全面积，侧面积代入直接失分。 易错点4：补形法适用范围混淆 误区：任意三棱锥都可补成长方体求外接球。 正解：仅三条棱两两垂直的三棱锥可补长方体，普通三棱锥需用底面外心+垂线找球心。 易错点5：截面公式几何关系理解错误 误区：混淆关系，写成。 正解：球半径为斜边，永远满足。 易错点6：正方体内切、外接、棱切球混淆 误区：分不清三种球半径：内切球贴面、外接球贴顶点、棱切球贴棱。 正解：正方体棱长：内切，外接，棱切。 【题型一】求球面距离 【典例1-1】设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上，且其经度差为，则，两地的球面距离是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为________． 【变式1-2】地球上北纬圈上有，两点，点在西经，点在东经，求，两点的球面距离．（设地球半径为） 【变式1-3】已知北京地处东经至，北纬39°26'至41°03'之间，地球半径为6371.004km，求北京所辖区域： (1)经线对应的两平面所成二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离. 【题型二】正方体内外接球基础计算 【典例2-1】一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）棱长为a的正方体内切球体积为_____，外接球体积为________． 【变式2-2】在正方体中，，求该正方体的外接球表面积． 【变式2-3】有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 【题型三】长方体外接球综合计算 【典例3-1】已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为______. 【变式3-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为_________ 【变式3-2】如图，已知球的表面积为，是该球的内接长方体（即该长方体的八个顶点均在球面上） (1)若， ，求球心到平面的距离： (2)若是正四棱柱，当该正四棱柱的侧面积最大时，求其体积. 【变式3-3】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 【题型四】两两垂直三棱锥外接球 【典例4-1】已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知、、两两垂直且，，，则过、、、四点的球的体积为________ 【变式4-2】已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值. 【变式4-3】已知三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，求球心到平面ABC的距离． 【题型五】几何体内切球等体积法计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 【变式5-2】如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．    【变式5-3】已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球体积． 【题型六】球的截面的性质及计算 【典例6-1】球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 【变式6-2】已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为 ，求球心与截面圆圆心的距离（）. 【变式6-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 1. 核心知识体系 本讲聚焦球与多面体综合问题，分为三大核心模块：球的基础公式与截面性质、几何体外接球问题、几何体内切球问题。外接球重点掌握补形法与直棱柱半径公式，内切球核心掌握等体积万能公式，是立体几何压轴计算核心考点。 2. 解题核心套路 （1）外接球：长方体、正方体、两两垂直三棱锥优先补形法；直棱柱找上下底面外心，结合勾股定理求半径； （2）内切球：不分几何体形状，统一使用万能公式； （3）截面问题：固定使用三角关系，求解距离、半径、截面面积。 3. 考场提分关键 严格区分内外接球定义与公式，杜绝表面积、侧面积混用，牢记棱柱外接球高取半、截面公式斜边为球半径；熟练掌握补形法秒杀模型，规避概念混淆、公式记错等高频失分点。 一、单选题 1．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 5．（24-25高二上·上海·期中）若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 三、解答题 6．已知长方体一个顶点上的三条棱长分别是、、，且它的个顶点都在同一球面上．求这个球的表面积． 7．已知圆柱的半径为2，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°的角，从截面的上、下方各放入圆柱的内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球球心间的距离． 8．已知正方体的棱长为2. (1)求点B到平面的距离； (2)四个点A､B､C､在一个以O为球心的球面上，求球的半径. 9．如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 10．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 球与几何体的综合问题 （核心知识+6易错辨析+6典例精讲+课后作业） 【题型一】求球面距离 【题型四】两两垂直三棱锥外接球 【题型二】正方体内外接球基础计算 【题型五】几何体内切球等体积法计算 【题型三】长方体外接球综合计算 【题型六】球的截面的性质及计算 【知识点01】球的基础公式与核心性质 设球的半径为： 球的表面积公式： 球的体积公式： 球的截面核心性质（解题基石） 用平面截球，截面为圆。设球心到截面距离为，截面圆半径为，满足勾股关系： 该公式是外接球、截面面积、距离计算的万能核心公式。 【知识点02】几何体的外接球 定义：若一个多面体的所有顶点都在同一个球面上，则该球为多面体的外接球，球心为外心，半径为外接半径。 核心特征：球心到多面体各个顶点距离相等，均等于。 （1）长方体、正方体的外接球 长方体（长宽高）、正方体（棱长）的外接球直径等于体对角线长。 长方体： 正方体： （2）直棱柱的外接球 直棱柱外接球球心为上下底面外心连线的中点。 设底面外接圆半径，棱柱高，则外接球半径： （3）特殊棱锥外接球 直角四面体/三条棱两两垂直的三棱锥：可补形为长方体，外接球与补形长方体共球，直径等于长方体体对角线。 正四面体（棱长）：外接球半径 【知识点03】几何体的内切球 定义：与多面体各个面都相切的球，称为内切球，球心为内心，到各个面距离相等，均等于内切半径。 通用等体积公式（必考） 对任意有内切球的多面体，体积、表面积、内切球半径满足： 变形求内切半径： 常见特殊几何体内切球结论 正方体（棱长）： 正四面体（棱长）： 【知识点04】球与几何体综合模型 1. 球内接几何体：顶点在球面，重点求外接球半径、几何体体积最值； 2. 球外切几何体：各面与球相切，重点用等体积法求内切球半径； 3. 球截几何体：利用截面公式求截面面积、弦长、距离。 易错点1：外接球与内切球概念混淆 误区：混淆球心位置、半径公式，将外接球公式用于内切球计算。 正解：外接球：到顶点距离相等；内切球：到各面距离相等，公式体系完全独立。 易错点2：直棱柱外接球半径公式记错 误区：直接用，遗漏高的一半。 正解：球心在上下底面中心中点，竖直距离为，标准公式：。 易错点3：内切球公式乱用表面积 误区：使用侧面积代入计算。 正解：内切球公式中必须代入几何体全面积，侧面积代入直接失分。 易错点4：补形法适用范围混淆 误区：任意三棱锥都可补成长方体求外接球。 正解：仅三条棱两两垂直的三棱锥可补长方体，普通三棱锥需用底面外心+垂线找球心。 易错点5：截面公式几何关系理解错误 误区：混淆关系，写成。 正解：球半径为斜边，永远满足。 易错点6：正方体内切、外接、棱切球混淆 误区：分不清三种球半径：内切球贴面、外接球贴顶点、棱切球贴棱。 正解：正方体棱长：内切，外接，棱切。 【题型一】求球面距离 【典例1-1】设地球的半径为，地球上，两地都在北纬的纬度线上，且其经度差为，则，两地的球面距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：设在北纬纬圆的圆心为，球心为，连结，根据地球纬度的定义，算出小圆半径，由两地经度差为，在中算出，从而得到，利用球面距离的公式即可得到两地球面的距离. 详解： 设在北纬纬圆的圆心为，球心为， 连结，则平面， 在中，，同理， 两地经度差为，， 在中， ， 由此可得是边长为的等边三角形，得， 两地球面的距离是，故选C. 点睛：本题考查地球上北纬圆上两点球的距离，着重考查了球面距离及相关计算，经纬度等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题. 【变式1-1】（25-26高二上·上海·单元测试）已知球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且，则经过A、B两点的大圆的劣弧长为________． 【答案】 【分析】由题意得大圆的半径为，，从而可利用弧长公式可求得结果. 【详解】因为球O的半径是R，它的表面上有两点A、B，且， 所以经过A、B两点的大圆的劣弧长为. 故答案为： 【变式1-2】地球上北纬圈上有，两点，点在西经，点在东经，求，两点的球面距离．（设地球半径为） 【答案】 【分析】解三角形求得的大小，再由弧长公式求，两地的球面距离． 【详解】解：由已知可得，，则， 同理，而， 所以 即 ， 在中，由，， 可得， 则． ，两地的球面距离为． 【点睛】本题考查球面距离的计算，关键是对题意的理解，属于基础题． 【变式1-3】已知北京地处东经至，北纬39°26'至41°03'之间，地球半径为6371.004km，求北京所辖区域： (1)经线对应的两平面所成二面角的大小； (2)纬线所在两平面的距离. 【答案】(1) (2)约等于 【分析】（1）根据经线的定义，直接得出答案. （2）根据维线的定义，作图，计算出答案. 【详解】（1）根据经线的定义，可得经线对应的两平面所成二面角的大小为 （2） 由已知得，北纬39°26'至41°03'之间，可得，又因为，所以， 【题型二】正方体内外接球基础计算 【典例2-1】一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，正方体内切球的直径即为正方体的棱长，则内切球的半径为， 由球的体积公式得. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·课后作业）棱长为a的正方体内切球体积为_____，外接球体积为________． 【答案】 【分析】由正方体的性质可知正方体内切球的半径为，正方体的体对角线长等于外接球的直径，从而可求出外接球的半径，进而可求出球的体积. 【详解】设棱长为a的正方体内切球的半径为，外接球的半径为，则 ，，得， 所以棱长为a的正方体内切球体积为， 外接球的体积为. 故答案为：， 【变式2-2】在正方体中，，求该正方体的外接球表面积． 【答案】 【分析】设该正方体外接球的半径为，可得，计算可求球的表面积. 【详解】设该正方体外接球的半径为， 则，所以， 所以该正方体外接球的表面积为． 【变式2-3】有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． 【答案】1∶2∶3 【详解】设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为，表面积依次为．①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a，，所以． ②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r2＝a，，所以． ③正方体的各个顶点在球面上，则有2r3＝a，，所以． 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3． 考点：球的表面积. 【题型三】长方体外接球综合计算 【典例3-1】已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为______. 【答案】 【分析】由题意，确定外接球的直径，根据勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，该长方体的外接球的直径为，设其半径为， 则， 得，所以该外接球的表面积为. 故答案为：      【变式3-1】（24-25高二上·上海宝山·阶段检测）长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为_________ 【答案】 【分析】分析可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球，结合长方体的性质求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：两两垂直，且， 可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球， 则球的半径，所以球的表面积为. 故答案为：. 【变式3-2】如图，已知球的表面积为，是该球的内接长方体（即该长方体的八个顶点均在球面上） (1)若， ，求球心到平面的距离： (2)若是正四棱柱，当该正四棱柱的侧面积最大时，求其体积. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由球的表面积可得半径，又球为长方体的外接球，则直径等于体对角线，进而可侧棱长，即可求解； （2）根据外接球得，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由球的表面积为，则， 即，则， 因为球位长方体的外接球，则球心即为长方体的中心； 则球心到平面的距离为. （2）是正四棱柱,设底面边长为，侧棱长为， 则，则， ， 当且仅当，且， 即，时，侧面积最大， 则. 【变式3-3】（24-25高二上·上海松江·阶段检测）已知长方体中， ，若该长方体的各顶点都在球O的表面上.求： (1)异面直线CD与所成角的大小； (2)求球O的表面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平行得出异面直线CD与所成角等于直线与所成角，再在三角形中计算结合反三角函数求角； （2）长方体的外接球的直径即为长方体体对角线的长度，即可求出半径，从而求出球O的表面积． 【详解】（1）连接，因为，所以异面直线CD与所成角等于直线与所成角， 在中，， 因为，所以， ，， 所以异面直线CD与所成角的大小； （2）长方体，， 所以长方体的对角线长为. 因为长方体的对角线为球O的直径， 所以球O的半径为， 所以球的表面积是. 【题型四】两两垂直三棱锥外接球 【典例4-1】已知三棱锥，，、两两垂直，，，，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因，、两两垂直，故三棱锥的外接球，即是以，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：B 【变式4-1】已知、、两两垂直且，，，则过、、、四点的球的体积为________ 【答案】 【分析】将三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，可得出外接球的半径，利用球体体积公式可得结果. 【详解】由于、、两两垂直，将三棱锥补成长方体， 则长方体的体对角线长为， 故三棱锥的外接球的半径为， 因此，该球的体积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 【变式4-2】已知三棱锥，满足，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，求点到平面的距离的最大值. 【答案】 【分析】先判断三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出外接球半径，进而    求得球心到平面的距离，由球心到平面的距离加球的半径即可求得点到平面的距离的最大值. 【详解】 三棱锥满足，，两两垂直，且，则三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球， 如图，易得体对角线的中点即为外接球的球心，又，则外接球半径为， 易得为等边三角形，设的外接圆圆心为，则，， 则，则点到平面的距离的最大值即为球心到平面的距离加球的半径， 即，则点到平面的距离的最大值为. 【变式4-3】已知三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等．若点P，A，B，C都在半径为1的球面上，求球心到平面ABC的距离． 【答案】 【分析】由三边两两垂直且相等的条件，可得三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三棱的正方体的外接球O，即可判断所求为正方体中心到截面ABC的距离，先可由正方体的外接球的性质得到PA，PB，PC的长度，再利用等体积法求得点P到截面ABC的距离，进而求解. 【详解】解：因为三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，且长度相等， 所以此三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三棱的正方体的外接球O． 设正方体的棱长为，正方体的体对角线为外接球O的直径， 因为球O的半径为1，所以，所以正方体的边长为，即， 所以球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离． 设点P到截面ABC的距离为h，易得为边长为的正三角形， 所以， 因为三棱锥的体积，即，所以， 所以球心（即正方体中心）О到截面ABC的距离为． 【题型五】几何体内切球等体积法计算 【典例5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为___________. 【答案】 【分析】借助于轴截面，根据内切圆的性质分析可知圆台的母线长为，进而可求表面积. 【详解】如图所示，等腰梯形为圆台轴截面， 内接圆与梯形切于点，其中分别为上、下底面圆心， 则梯形的腰长，即圆台的母线长为， 所以该圆台的表面积为. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高二下·上海·期中）圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 【答案】/ 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，进而得出正方体外接球半径，可得出正方体边长最后计算正方体体积即可. 【详解】    如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为 ， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是. 故答案为： 【变式5-2】如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，求的取值范围．    【答案】 【分析】设在底面的射影为，设，，然后利用二次函数的性质可得其取值范围. 【详解】由题可知点在球心与圆柱的底面平行的截面圆上， 设在底面的射影为，    则，，， ， 设，则， ， 所以 ， 所以. 【变式5-3】已知圆锥的顶点为P，母线所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为． (1)求该圆锥的侧面积； (2)求圆锥的内切球体积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由已知得出，，再由三角形面积公式得出，从而得出以及圆锥的侧面积. （2）画出截面图形，先由相似三角形知识求出内切球半径，再由体积公式即可求解. 【详解】（1）如图所示： 令圆锥母线长、底面半径分别为l、r， 由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为知，， 又， 又因为的面积为， ∴， 又，所以， ∴侧面积为． （2）如图所示： 设内切球半径为，球心在上面，则， 所以， 由（1）可知，圆锥的高， 则有，解得， 所以圆锥的内切球体积为. 【题型六】球的截面的性质及计算 【典例6-1】球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 【变式6-1】（25-26高二上·上海·期中）已知球的表面积为，用一个平面截球，使得截面与球心的距离是．则截面的面积为____________． 【答案】 【分析】根据截面半径，球的半径，截面与球心的距离满足勾股定理求解即可. 【详解】解：设球的半径为，由球的表面积为得，解得， 所以，截面圆的半径满足， 所以，截面的面积为 . 故答案为： 【变式6-2】已知球的半径为10 ，若它的一个截面圆的面积为 ，求球心与截面圆圆心的距离（）. 【答案】8 【分析】根据球心到球的截面圆圆心的连线垂直于圆面的性质即可得解. 【详解】    如图，设截面圆的半径为r，球心与截面圆圆心之间的距离为d，球半径为R. 由图易得与圆面垂直， 在中，由可得 ，又 ， 所以 ()，即球心与截面圆圆心的距离为8 . 【变式6-3】（24-25高二·上海·课堂例题）在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 【答案】11cm． 【分析】利用正弦定理得到截面外接圆的半径，利用球的性质得到平面，结合勾股定理求解即可. 【详解】   设经过三点的截面为，设球心为O，连接，则平面， 因为，所以是等边三角形， 而是的外接圆，所以是的外接圆半径， 由正弦定理得，解得， 由勾股定理得， 所以，球心到截面距离为11cm． 1. 核心知识体系 本讲聚焦球与多面体综合问题，分为三大核心模块：球的基础公式与截面性质、几何体外接球问题、几何体内切球问题。外接球重点掌握补形法与直棱柱半径公式，内切球核心掌握等体积万能公式，是立体几何压轴计算核心考点。 2. 解题核心套路 （1）外接球：长方体、正方体、两两垂直三棱锥优先补形法；直棱柱找上下底面外心，结合勾股定理求半径； （2）内切球：不分几何体形状，统一使用万能公式； （3）截面问题：固定使用三角关系，求解距离、半径、截面面积。 3. 考场提分关键 严格区分内外接球定义与公式，杜绝表面积、侧面积混用，牢记棱柱外接球高取半、截面公式斜边为球半径；熟练掌握补形法秒杀模型，规避概念混淆、公式记错等高频失分点。 一、单选题 1．如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 2．在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出侧面截球所得截面圆的圆心，再求出曲线所对的圆心角，根据弧长公式求解. 【详解】因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点， 连接，则；又侧棱底面，所以，， 所以平面，所以为截面圆的圆心，且. 设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质， 得. 设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心， 根据对称性，则， 所以， 所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧， 则弧长为，所以曲线的长度为. 3．（25-26高二上·上海·单元测试）如图，在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点，将与分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得三棱锥为正四面体，且棱长为1，则点在底面的投影为等边的中心，设为，所以正三棱锥外接球的球心必在上，从而可求出球的半径，进而可求出球的体积. 【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，，E为AB的中点， 所以都为等边三角形，且边长均为1， 所以三棱锥为正四面体，且棱长为1， 所以点在底面的投影为等边的中心，设为，则 ， 在中，，所以， 正三棱锥外接球的球心必在上，设球心为， 则，设外接球的半径为，则 ， 则在中，，则 ，解得， 所以三棱锥的外接球的体积为 . 故选：C 二、填空题 4．设地球半径为，北纬圈上两地的经度差为，若，则两地的球面距离为______． 【答案】 【分析】由已知及余弦定理计算，可确定球心角，再由球面距离定义即得答案． 【详解】由题意知及余弦定理得 ， 则球心角为， 两地的球面距离为 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期中）若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3，由球心到该截面的距离为1，则球的半径， 所以球的表面积为． 故答案为：. 三、解答题 6．已知长方体一个顶点上的三条棱长分别是、、，且它的个顶点都在同一球面上．求这个球的表面积． 【答案】 【分析】由已知求得长方体的对角线长，即为长方体的外接球的半径，代入球的表面积公式计算可得． 【详解】如图， 长方体中，，，， 则， 则长方体外接球的半径， 所以长方体外接球的表面积． 7．已知圆柱的半径为2，一个截割圆柱的平面与圆柱面的轴线成60°的角，从截面的上、下方各放入圆柱的内切球，并且它们都与截平面相切，求两个内切球球心间的距离． 【答案】. 【分析】画出轴截面图形，利用已知条件求解即可． 【详解】由题意可得截面如图， 两个球心分别为、，则，∴． 8．已知正方体的棱长为2. (1)求点B到平面的距离； (2)四个点A､B､C､在一个以O为球心的球面上，求球的半径. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等体积法求出点到平面的距离； （2）依题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球，而正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，由勾股定理计算可得； 【详解】（1）解：设点到平面的距离为， 在棱长为正方体中，， 所以， 利用，可得，即，解得， 点到平面的距离为； （2）解：依题意三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为， 则，所以； 9．如图，在三棱锥中，两两垂直，，.    (1)求三棱锥外接球的表面积. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，得到三棱锥外接球即为长方体的外接球即可求解； （2）设点O到平面的距离为d，由求出d即可由求解. 【详解】（1）由题可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体，    所以三棱锥外接球即为长方体的外接球， 所以所求外接球半径为， 三棱锥外接球的表面积为； （2）设点O到平面的距离为d，， 所以，， 则由， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 10．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.    (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积. 【答案】(1) (2)外接球的表面积为，内切球的体积为 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到三角形ABC的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）结合第一问得到内切球半径，求出内切球体积，再根据将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为，，， 由勾股定理逆定理可知：底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以    设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积 所以剩下的几何体的体积 （2）由（1）可知该直三棱柱的内切球半径为， 则内切球的体积 直三棱柱可补形为棱长分别为的长方体， 它的外接球的球半径满足，即 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $