29.3弧长和扇形面积 第1课时（课件）2026-2027学年人教九年级数学上册

该初中数学课件围绕弧长和扇形面积计算公式展开，课堂导入通过复习圆周长与面积公式，结合扇子面弧长及面积问题，引导学生从整体到部分推导公式，搭建学习支架。 其亮点在于以生活实例（如弯形管道展直长度、定滑轮转动角度）培养数学眼光，通过问题链推导公式发展数学思维，多样化练习（如阴影面积转化）提升运算能力，小结清晰，助力学生应用意识，便于教师教学。

第二十九章 圆 29.3弧长和扇形面积 课时1 九上数学人教 1. 理解并掌握弧长及扇形面积的计算公式. 2. 会利用弧长、扇形面积计算公式进行相关计算，发展运算能力. 学习目标 2 问题1 圆的周长、面积公式是什么(圆的半径为R)？ 圆的周长公式：C=2πR. 圆的面积公式：S=πR2. 问题2 观察下图，你有办法计算扇子面的纸张面积以及外围弧长吗？ 课堂导入 思考：我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？ · 圆的周长公式：C=2πR. 圆的周长是360°的圆心角所对的弧长. 新知讲解 思考：1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 1°的圆心角所对的弧长： = . n°的圆心角所对的弧长为： l= . · 新知讲解 n°的圆心角所对的弧长为： l ＝ （R，n，l 知二求一）. 新知讲解 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料. 计算如图所示管道的展直长度 L（结果取整数）. 例1 解：由弧长公式，得的长 l = =500π ≈ 1 570（mm）. 因此所要求的展直长度为 L≈2×700+1 570=2 970（mm）. 答：管道的展直长度约为2 970 mm． 新知讲解 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力时（如图），爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点 A 的位置在不断改变.已知滑轮的半径为 12 cm，当重物上升 4π cm 时，滑轮上点 A 转过的度数为______. 解析：设滑轮上点 A 转过的度数为 n°， 由题意可知，点 A 转过的弧长为 4π cm， ∴ . 解得 n=60， ∴ 滑轮上点 A 转过的度数为 60°. 跟踪训练 60° 新知讲解 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形. 如图，与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB. A O B C 新知讲解 思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分. 想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？ 圆的面积公式：S=πR2. 圆面积是圆心角为360°的扇形的面积. A O B C 新知讲解 思考：圆心角为1°的扇形面积是多少？ 圆心角为n°的扇形呢？ 圆心角为1°的扇形面积是 圆心角为n°的扇形面积是 A O B C 新知讲解 圆心角为n°的扇形面积是： . = = lR. （其中l为扇形的弧长， R为半径.） 新知讲解 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 例2 解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C. 连接 AC. ∵OD=OC-DC， OC=0.6， DC=0.3， ∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又 ADOC， ∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线. ∴ AC=AO=OC. 新知讲解 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m. 求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）. 例2 从而 ∠AOD，∠AOB. 则有水部分的面积： S 0.12π0.3 ≈ 0.22  (m2 ). 请你自己求出 AB 的长. ∵ ∠AOD，OD=0.3， ∴在Rt△AOD中，∠OAD， AO=2OD=0.6. ∴AD===. ∴AB=2AD=. 新知讲解 跟踪训练 (1) 已知扇形的半径为 6 cm，面积为 6π cm2，则该扇形的圆心角的度数为______. 解析：(1) 设该扇形的圆心角是 n°， 根据扇形的面积公式得 解得 . 60° 新知讲解 跟踪训练 (2) 一个扇形的圆心角为 135°，弧长为 3π cm，则此扇形的面积是 ______ cm2. 解析：(2) 设扇形的半径为 R cm. ∵ 扇形的圆心角为  135°,弧长为 3π cm， ∴ 解得 R=4. 方法一 方法二 6π 新知讲解 弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由. 解：弧长相等的两段弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，弧长相等的两段弧才是等弧. 随堂练习 2. 如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是 12 m，弧所对的圆心角是 81°. 这段圆弧所在圆的半径 R 是多少米（结果保留小数点后一位）. 解： 8.5 (m ). 随堂练习 如图，△ABC 是边长为 a 的等边三角形，D,E,F 分别是 BC，CA，AB 的中点，以 A，B，C 三点为圆心， 为半径作圆. 求图中阴影部分的面积. 解：S阴影 3S扇形 AFE 随堂练习 4.如图，在半径为 6 的 ⊙O 中，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，四边形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为 ______. 解析：如图 ，连接 . ∵ 四边形  是平行四边形， ∴ ，OC∥AB， ∴ ， ∴  是等边三角形，. ∵ OC∥AB， ∴ ， ∴ 图中阴影部分的面积 6π. 等积变换法求图形面积 在等面积转化中可根据同底（等底）等高（同高）的三角形面积相等或图形全等进行转化，从而将不易直接求得的图形面积转化成与其面积相等的易求的图形面积. 6π 随堂练习 5. 如图，以四边形 ABCD 各个顶点为圆心，以1 cm 为半径画圆，求图中阴影部分的面积之和. 解：由图知阴影部分扇形所对的四个圆心角正好是四边形 ABCD 的四个内角，和为 360°， 所以阴影部分的面积和为 π （cm2）. 不规则图形面积的求解方法 在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取割、补、移的方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式. 随堂练习 弧 面积公式 S扇形= S扇形=lR 弧长公式：l= 扇形 弧长和 扇形面积 课堂小结 $