13.2.2三角形的中线、角平分线、高分层训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖三角形中线、角平分线、高的概念辨析、基础计算到综合应用，适配新授课知识巩固与差异化教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |第一部分（必做）|概念识别（定义判断）、简单计算（长度、角度、面积）|7选择+4填空+3解答，侧重基础辨析与直接应用，培养抽象能力与几何直观| |第二部分（必做）|性质应用（中线分面积、角平分线求角度）、作图与综合计算|4选择+4填空+2解答，强化性质综合运用，体现推理意识与空间观念| |第三部分（选做·附加）|多知识点融合（中线、角平分线、高综合）、实际问题解决|1综合解答题，深化知识联系，发展创新意识与应用意识|

八年级数学 · 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 · 分层训练 三角形的中线、角平分线、高 分层训练 · 第一部分（必做） 一、选择题（共 7 题） 1．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE平分∠BAC，BF⊥AC于点F。下列判断正确的是（ ） A．AD是中线，AE是角平分线，BF是高 B．AD是高，AE是中线，BF是角平分线 C．AD是角平分线，AE是高，BF是中线 D．AD、AE、BF都是高 2．如图，△ABC中∠BAC为钝角，BD⊥AC所在直线于点D。下列说法正确的是（ ） A．BD是AB边上的高，D在线段AC上 B．BD是AC边上的高，D在AC的延长线上 C．BD是BC边上的高，D在线段AC上 D．BD不是△ABC的高 3．如图，在△ABC中，CM是AB边上的中线。若△BCM的周长比△ACM的周长大4 cm，且BC=11 cm，则AC的长为（ ） A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 4．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，连接BE。若△ABC的面积为40 cm²，则△BDE的面积为（ ） A．5 cm² B．10 cm² C．15 cm² D．20 cm² 5．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠BAE=(3x-4)°，∠EAC=(2x+8)°，则x的值为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，AB=10 cm。从点C向AB作高CD，则CD的长为（ ） A．4.2 cm B．4.5 cm C．4.8 cm D．5 cm 7．下列说法中错误的是（ ） A．锐角三角形的三条高都在三角形内部 B．直角三角形有两条高分别与两条直角边重合 C．钝角三角形有两条高的垂足在对边的延长线上 D．任意三角形的三条高都在三角形内部 二、填空题（共 4 题） 8．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=26 cm，BD=(3x+1) cm，则x=________，DC=________cm。 9．如图，在△ABC中，∠B=47°，∠C=63°，AD平分∠BAC，则∠BAD=________°。 10．如图，在△ABC中，AH是BC边上的高，BC=15 cm，△ABC的面积为60 cm²，则AH=________cm。 11．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=9 cm，BC=12 cm。从A、B两顶点分别向对边作高，这两条高的长度分别为________cm、________cm。 三、解答题（共 3 题） 12．如图，给出一个锐角△ABC。 （1）在图中分别画出BC边上的中线AD、∠BAC的角平分线AE、AC边上的高BF； （2）写出由“中线、角平分线、高”的定义可直接得到的三个基本关系。 13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线。已知△ABD的周长为20 cm，△ACD的周长为24 cm，AC=11 cm。 （1）求AB的长； （2）若AD=7 cm，求BC的长。 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，连接BE、CE，且△BDE的面积为7 cm²。 （1）说明△ABE与△BDE的面积相等、△BDE与△CDE的面积相等的理由； （2）求△ABC的面积； （3）若BC=14 cm，求点A到直线BC的距离。 第二部分（必做） 四、选择题（共 4 题） 15．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 16．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且△ABD与△ACD的面积相等。则线段AD一定是△ABC的（ ） A．高 B．中线 C．角平分线 D．无法确定 17．如图，在△ABC中，D在AC上，BD⊥AC于D，且BD平分∠ABC。若∠C=52°，则∠ABC的度数为（ ） A．72° B．74° C．76° D．78° 18．如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。若AB=10 cm，AC=12 cm，CF=7.2 cm，则BE的长为（ ） A．5 cm B．6 cm C．7.2 cm D．8.64 cm 五、填空题（共 4 题） 19．三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的________。 20．如图，AD、BE是△ABC的两条中线，交于点G，直线CG交AB于点F。若AB=18 cm，则AF=________cm。 21．如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=70°，AD是∠BAC的角平分线，则∠BAD=________°。 22．如图，若一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部，则这个三角形是________三角形。 六、解答题（共 2 题） 23．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上。 （1）在图中画出BC边上的中线AD和AB边上的高CE； （2）求△ABC的面积。 24．如图，某三角形绿地可抽象为△ABC。M是BC的中点，AM为分区步道；AH⊥BC于H；AP平分∠BAC。已知BC=24 m，AH=10 m，∠BAC=84°。 （1）求这块绿地的面积，并求步道AM两侧两块三角形绿地的面积； （2）求∠BAP和∠PAC的度数。 第三部分（选做·附加） 25．如图，在△ABC中，D是BC的中点，连接AD；BE平分∠ABC，交AC于E；AH⊥BC于H；CF⊥AB于F。已知BC=14 cm，AB+BD=20 cm，AC+CD=22 cm，AH=12 cm。 （1）求AB、AC的长； （2）求△ABC的面积和CF的长； （3）由BE是∠ABC的角平分线可得到怎样的角的数量关系？仅由这一条件能否推出AE=EC？说明理由。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：A 解析：D是BC的中点，所以AD连接顶点A与对边BC的中点，是中线；AE平分∠BAC，是角平分线；BF从顶点B出发且BF⊥AC，所以BF是AC边上的高。 2．答案：B 解析：高是“从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线所得的线段”。BD从顶点B出发，且BD⊥AC所在直线，因此BD是AC边上的高。由于∠A为钝角，垂足D落在AC的延长线上。 3．答案：C（7 cm） 解析：CM是AB边上的中线，所以AM=BM。两三角形周长之差为P△BCM-P△ACM=(BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=BC-AC=4。代入BC=11，得AC=7 cm。 4．答案：B（10 cm²） 解析：AD是△ABC的中线，所以S△ABD=S△ACD=40÷2=20 cm²。 E是AD的中点，在△ABD中，BE是AD边上的中线，因此S△BDE=S△ABE=20÷2=10 cm²。 5．答案：C（12） 解析：AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，即3x-4=2x+8，解得x=12。 6．答案：C（4.8 cm） 解析：直角三角形面积为S△ABC=×6×8=24 cm²。又以AB为底、CD为高，有×10×CD=24，解得CD=4.8 cm。 7．答案：D 解析：A：锐角三角形的三条高均落在三角形内部，正确。B：直角三角形两条直角边互相垂直，因此两条高分别与两条直角边重合，正确。 C：钝角三角形从两个锐角顶点作高时，垂足落在对边的延长线上，正确。D只对锐角三角形成立，不适用于直角、钝角三角形，所以错误。 8．答案：4；13 解析：AD是BC边上的中线，所以BD=DC=BC÷2=13 cm。于是3x+1=13，解得x=4。 9．答案：35 解析：∠A=180°-47°-63°=70°。AD平分∠BAC，所以∠BAD=70°÷2=35°。 10．答案：8 解析：由三角形面积公式，60=×15×AH，所以AH=8 cm。 11．答案：9；12 解析：∠C=90°，所以AC⊥BC。从A向BC作高时，高与AC重合，长度为9 cm；从B向AC作高时，高与BC重合，长度为12 cm。 12．答案：见图 解析：（1）作图如下：AD连接A与BC的中点D；AE将∠BAC分成两个相等的角；BF从B向AC作垂线，垂足为F。 （2）由定义可得：BD=DC；∠BAE=∠EAC；BF⊥AC。 13．答案：（1）AB=7 cm；（2）BC=12 cm 解析：（1）AD是BC边上的中线，所以BD=DC。两小三角形又有公共边AD，因此P△ACD-P△ABD=AC-AB=24-20=4 cm。由AC=11 cm，得AB=7 cm。 （2）P△ABD=AB+AD+BD=20，所以BD=20-7-7=6 cm。又BD=DC，因此BC=2BD=12 cm。 14．答案：（1）见解析；（2）28 cm²；（3）4 cm 解析：（1）E是AD的中点，所以AE=ED。△ABE与△BDE分别以AE、ED为底，它们到直线AD的高相同，因此S△ABE=S△BDE。D是BC的中点，所以BD=DC；△BDE与△CDE对直线BC的高相同，因此S△BDE=S△CDE。 （2）S△BDE=7 cm²，所以S△ABE=7 cm²，故S△ABD=14 cm²。又AD是中线，S△ABD=S△ACD=14 cm²，因此S△ABC=28 cm²。 （3）设点A到直线BC的距离为h，则28=×14×h，解得h=4 cm。 第二部分（必做） 15．答案：B 解析：高必须从指定顶点B出发，并且垂直于它的对边AC所在直线。图2中BE从B出发且BE⊥AC；图3画的是A点的高，图4画的是C点的高，图1没有垂直关系。 16．答案：B 解析：△ABD与△ACD的顶点A相同，底BD、DC在同一直线BC上，所以两三角形对BC所在直线的高相同。面积相等说明BD=DC，故D是BC的中点，AD是△ABC的中线。 17．答案：C（76°） 解析：在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠C=52°，所以∠CBD=180°-90°-52°=38°。BD平分∠ABC，因此∠ABC=2∠CBD=76°。 18．答案：B（6 cm） 解析：以AB为底、CF为高，S△ABC=×10×7.2=36 cm²。再以AC为底、BE为高，有36=×12×BE，解得BE=6 cm。 19．答案：重心 解析：三角形的三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。 20．答案：9 解析：AD、BE是两条中线，它们的交点G也是三条中线的公共交点，因此CG也是中线，F是AB的中点。AB=18 cm，所以AF=FB=9 cm。 21．答案：32 解析：∠A=180°-46°-70°=64°。AD平分∠BAC，所以∠BAD=64°÷2=32°。 22．答案：钝角 解析：锐角三角形的三条高所在直线交于三角形内部；直角三角形交于直角顶点；钝角三角形交于三角形外部。因此所求为钝角三角形。 23．答案：（1）见图；（2）6 解析：（1）BC的中点为D，连接AD即得BC边上的中线；从C向AB所在直线作垂线，垂足为E，CE即为AB边上的高。 （2）图中AC水平，AC=4；点B到直线AC的距离为3。因此 S△ABC=×4×3=6。 24．答案：（1）120 m²；60 m²、60 m²；（2）42°、42° 解析：（1）S△ABC=×BC×AH=×24×10=120 m²。M是BC的中点，所以BM=MC；△ABM与△ACM对BC所在直线的高相同，面积相等，各为120÷2=60 m²。 （2）AP平分∠BAC=84°，所以∠BAP=∠PAC=84°÷2=42°。 第三部分（选做·附加） 25．答案：（1）AB=13 cm，AC=15 cm；（2）S△ABC=84 cm²，CF= cm；（3）∠ABE=∠EBC；仅由该条件不能推出AE=EC 解析：（1）D是BC的中点，BC=14 cm，所以BD=DC=7 cm。由AB+BD=20 cm，得AB=20-7=13 cm；由AC+CD=22 cm，得AC=22-7=15 cm。 （2）AH是BC边上的高，所以S△ABC=×14×12=84 cm²。又CF是AB边上的高，设CF=x，则84=×13×x，解得CF= cm。 （3）BE平分∠ABC，所以∠ABE=∠EBC。又因为E在AC上，根据角平分线定理可得AE:EC=AB:BC=13:14，因此AE≠EC。由此可见，角平分线并不会把对边平分，不能由BE是角平分线推出AE=EC。 学科网（北京）股份有限公司 $