13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 课时同步训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本同步练以10个知识点为脉络，分层设计基础认知、性质应用、综合拓展三级训练，实现从单一概念到综合应用的知识巩固路径，适配新授课教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|中线、角平分线、高的定义|以选择填空为主，强化概念辨析（如中线定义的周长差计算）| |性质应用|中线平分面积、角平分线性质、高的位置规律|结合计算与简单推理，巩固性质应用（如利用中线求面积）| |综合拓展|面积分割、多线段综合识别|通过解答题整合多知识点，提升几何推理能力（如重心与面积综合题）|

2026-2027学年度人教版数学)八年级上册课时同步训川练 第十三章三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 课时目标 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的定义，掌握它们的画法及几何表示，能准确识别 不同类型三角形中的这些重要线段。 2.掌握三角形重心的概念及中线平分面积的性质，理解三角形三条高所在直线的交点规 律，并能运用这些性质进行简单的面积计算。 3.能综合运用三角形的三种重要线段解决几何图形的识别与计算问题，提升几何直观与 推理能力。 课时目录 知识点01：三角形中线的定义 知识点02：三角形中线的性质 知识点03：三角形重心的定义 知识点04：三角形角平分线的定义 知识点05：三角形角平分线的性质 1/20 知识点06：三角形高的定义 知识点07：不同类型三角形高的位置 知识点08：三条高所在直线的交点位置规律 知识点09：利用中线进行面积分割计算 知识点10：重要线段在几何图形中的综合识别 知识点01：三角形中线的定义 连接三角形的一个项点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 几何表示：在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则D为BC的中点，即BD=DC=2 BC。一个三角形有三条中线，均在三角形内部。 1,(25-26七年级下·甘肃白银期中)如图，BD是△ABC的中线，AB=10,若△ABD的周长比△CBD的 周长多2，则BC的长为.() B A.5 B.7 C.8 D.12 2.(25-26七年级下陕西咸阳期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=6,AD为△ABC的中线，则 △ABD与△ACD的周长之差为() 2/20 B A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2425七年级下·广东湛江期末)如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5cm, AC=3cm,则△ABD的周长比△ACD的周长多 cm B D 4.(25-26七年级下·上海浦东新·期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长是 22cm,△ABD的周长是18cm,AB=2cm,则AC=cm. B 知识点02：三角形中线的性质 三角形的中线将对边分为相等的两段，并且将三角形分成两个面积相等的小三角形。 1 即若AD是△ABC的BC边上的中线，则SAABD-=SAACD=2SABC 原理：两个小三角形等底(BD=DC)同高(A到BC的距离)，故面积相等。 5.(25-26八年级上广西玉林期末)如图，若AD是△ABC的中线，BD=4,则BC的长度为() 3/20 D》 A.2 B.3 C.4 D.8 6.(25-26八年级上广西钦州期末)如图，已知CD是△ABC的中线，AB=20,则BD的长为() D B A.10 B.11 C.12 D.15 7.(25-26七年级下·上海宝山阶段检测)如图，AD是△ABC的一条中线，△ABD的周长是10，△ACD的 周长是12，那么AC-AB= D 8.(25-26七年级下·上海杨浦阶段检测)在等腰三角形ABC中，AB=AC,周长为16cm,AC边上的中 线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长cm. 知识点03：三鱼形重心的定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 重心是三角形的一个重要几何中心，它始终位于三角形内部。 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即AG=2GD(G为重心，D为BC中 点)。 4/20 9.(25-26七年级下·山东滨州期末)如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发 现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是() A.三角形三条中线的交点 B.三角形三条内角平分线的交点 C.三角形三条高线的交点 D,分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 10.(25-26八年级下·上海杨浦期末)如图，有一块质地均匀的3×4的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个 三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态， 那么这一点是() A,点A B.点B C.点C D.点D 11.(25-26七年级下·福建漳州期中)如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长交BC于点 E,若BC=26,则BE= D 5/20 12.(25-26七年级下·陕西西安·期中)如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形， 则其重心在线段一上. 知识点04：三角形角平分线的定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分 线。几何表示：在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠CAD=2 ∠BAC. 一个三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 13.(2026黑龙江绥化模拟预测）如图，AD是∠EAC的平分线，AD‖BC,∠EAD=38°，则∠C的度 数是() D A.16° B.30° C.38° D.76° 14.（2526年级下山东目照期中)如图.1CD,若设RB=,∠F0=°，乃 平分<EB 分D.BF平分2B.PF平分BD.可得.RE平分PEB.PF平分D, BF平 6/20 2B,依次平分下去，则 Pn= 可得 E A B >P2 >P3 15.(25-26七年级下·天津蓟州期中)阅读下面的证明，补充理由. 己知：如图，AC⊥BD于C,EF⊥BD于F,∠A=∠I. 求证：EF平分∠BED 证明：：AC⊥BD,EF⊥BD .∠ACB=90°，∠EFB=90°() .∠ACB=∠EFB .EF∥AC() .∠A=∠3() .EF∥AC .∠2=∠1() 又：∠A=∠1 .∴.∠2=∠3 .EF平分∠BED() G 16.(25-26七年级上江西上饶期末)己知：如图，在三角形DBF中，DE⊥BF,DE平分∠BDF,点 A是线段BD延长线上-点，点C在线段Er上，连接AC交DF于点M,A-BDP,求证： AC⊥BF 7/20 D 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据 证明：，DE平分∠BDF, A∠BDE-BDF（O), 2 ∠BDF ∠A=∠BDE(②)， AC‖③（④_）， :∠ACB=∠DEB(⑤)， ,DE⊥BF, ∠DEB=90°（⑥）， .∠ACB=90° .AC⊥BF 知识点05：三角形角平分线的性质 三角形的角平分线将内角分为两个相等的角，并且角平分线上的点到角两边的距离相等。 在三角形中，三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心（内切圆圆心），内心到三 边的距离相等。 8/20 17.(25-26八年级上浙江嘉兴期末)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，则() A.BD=CD )B.AD⊥BC C.∠B=∠C D.∠BAD=∠CAD 18.(25-26八年级上福建福州期中)如图，下面是折纸示意图，则AD是△ABC的() B 、D A.中线 B.高线 C.角平分线 D.以上答案都不对 19.(25-26八年级上山西太原阶段检测)如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若 AC=24cm,则AE=12cm,若∠ABC=72°，则∠ABD=_度. D B C 20.(25-26八年级上甘肃张掖阶段检测)如图，∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∠DBF=∠F,求证：EC∥DF. E D 证明：：BD平分∠ABC,CE平分∠ACB(已知) 9/20 ∠DBC=,∠BCB- ∠ABC=∠ACB(已知)，∠—=—， ,∠= (已知)，.∠F=∠，.EC∥DF(). 知识点06：三鱼形高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的 高。几何表示：在△ABC中，若AD⊥BC于点D,则AD是BC边上的高。高是一条线 段，其长度是对应顶点到对边所在直线的距离。一个三角形有三条高。 A D 21.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，△ABC中，是AB边上高的线段为() B A.线段AEB.线段AC C.线段CD D.线段BC 22.(25-26七年级下陕西咸阳期末)下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是() B A B D 23.(25-26七年级下山西运城期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，DE⊥AB, 垂足为E,点F是AB上一点，连接DF,且DF⊥BC，,下列说法中不正确的是() 10120 E A.线段DE是△ABD中AB边上的高 B.线段DE是△ADF中AF边上的高 C.线段DF是△ABD中BD边上的高 D.线段AC是△ABD中BD边上的高 24.(25-26七年级下云南曲靖期末)如图，在R1△ABC中，∠B=90°，则BC边上的高是 知识点07：不同类型三角形高的位置 锐角三角形：三条高均在三角形内部，垂足在边上： 直角三角形：两条高恰好是两条直角边，第三条高在三角形内部，垂足为直角顶点： 钝角三角形：一条高在三角形内部（钝角所对边上的高），另外两条高在三角形外部（锐 角所对边上的高)，垂足在边的延长线上。 4(0) B B 25.(25-26七年级下·广东梅州期末)下面四个图中，线段BE是△ABC的高的是（) E ---L 11/20 C. D. E B 26.(25-26七年级下·甘肃张掖期末)张老师让同学们作△ABC中BC边上的高，下列作法正确的是 () A D A. B D B B B D 27.(25-26七年级下·河北邯郸期末)下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是() A. C. B D 28 (25-26七年级下·四川成都期末)如图，在△ABC中，BC边上的高是() 12120 A.线段CE B.线段AB C.线段BF D.线段AD 知识点08：三条高所在直线的交点位置规律 三角形三条高所在的直线必定交于一点，该点叫做三角形的垂心。 锐角三角形的垂心在三角形内部： 直角三角形的垂心在直角顶点； 钝角三角形的垂心在三角形外部。 注意：高是线段，但三条高所在的直线一定共点。 0 4(0) 29.(25-26七年级下重庆南岸期末)如图，∠E=∠F=∠ADC=90°，以下说法不正确的是() B A.AD是△ABC的边BC上的高 B.CE是△ACE的边AC上的高 C.AF是△ABF的边BF上的高 D.BF是△ABC的边AC上的高 30.(24-25七年级下·河北张家口期中)如图，△ABC的边AB上的高是() D B (F) A.DB B.CF C.AF D.BE 31.(25-26七年级下河南周口期中)如图，在R1△ABC中，AC边上的高是() 13120 A.CD B.BE C.AB D.BC 32.(25-26九年级下河北衡水·期中)如图，老师将直角三角尺DEF的一条直角边摆放在△ABC的AB边 上，另一条直角边经过顶点C,则CD是△ABC的() A.中线 B.高线 C.角平分线 D.中位线 知迟点09：利咀中线进行面积分割计篁 利用“中线平分面积”的性质可以快速解决面积计算问题。 1 若己知△ABC的面积为S,AD为BC边上的中线，则SAABD=SAACD=2S。 若连接两条中线，可进一步将三角形分割为面积比为1：2：3等的多个小三角形。 例如：G为重心，则SAABG=SBc8=SAc6=3S B D 33.(25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测)如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O,已知△AB0 的面积为4，△BOM的面积为2，则阴影部分（四边形MCNO)的面积为(） 14120 M A.4 B.5 C.6 D.7 34.(25-26八年级上福建莆田阶段检测)如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是AD的中点，阴影 部分的面积和为2，则△ABC的面积是 B D 35.(25-26七年级下海南省直辖县级单位期末)如图所示，点D,E,F分别是BC,AC,AB的中 点，已知 S.4BC =12 ,则阴影部分的面积之和为 D 36.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点， 若△ABC的面积为16，△DEF(阴影部分)的面积为 E B 知识点10：重要线段在几何图形中的综合识别 在复杂几何图形中，需能准确识别三角形的中线、角平分线和高： 中线连接顶点与对边中点： 15120 角平分线平分内角： 高垂直于对边（或对边所在直线）。 解题时需注意： 高的垂足位置因三角形类型而异； 角平分线与中线不同，前者平分角，后者平分边： 重心是中线的交点，垂心是高的交点。 37.(25-26七年级下江西抚州期末)已知AD是三角形ABC的高，BD=1,AD=4,三角形ABC的面 积是12，则CD的长为() A.5 B.6 c.5或6 D.5或7 38.(25-26七年级下河南驻马店期末)如图，在△ABC中，AB=8,BC=7,AE为BC边上的高， AE=6,P为AB上一动点，则PC的最小值为() B4 C 1 8 A.4 B.3 c. D.7 39.(25:26七年级下山东菏泽期末)如图，在△18C中，MD是高，ME是中线，MD=8,SC=48 则EC= ED C 40.(25-26七年级下内蒙古包头期末)如图，AD、BE分别是△1BC 的高线、中线，若 SABE:=8 BC=8,则高线AD长为. D 16120 课时训练 一、选择题 1.(25-26七年级下·陕西咸阳·期末)已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角 形一定具备的性质是() A.全等 B.周长相等 C.面积相等 D.形状相同 2.(2425七年级下·河北唐山期末)如图，△ABC的面积为10，AD为BC边上的中线，E为AD上任意 一点，连接BE,CE,图中阴影部分的面积为() E D A.4 B.5 C.6 D.8 3.(25-26七年级下辽宁沈阳期末)在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础， 通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段AD在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面 是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的() B B(C) 图1 图2 图3 A.角平分线、中线、高线 B.角平分线、高线、中线 C.中线、角平分线、高线 D.高线、中线、角平分线 4.(25-26七年级下·辽宁铁岭期末)如图，BE是△ABC的中线，AD是△ABC的BC边上的高，DC=6, BD=4,AD=3,则△ABE的面积是() D A.1.5 B.2 C.3 D.4.5 17120 二、填空题 5.(26-27八年级上江苏常州开学考试)如图，△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，CD=2AD, ME=BE,BD与CE交于点O,若BC=10,Seos=7 ,则AB长的最小值为 A D E O B 6.(25-26七年级下·吉林长春期末)如图，在△ABC中，AB=9,BC=8,AE为BC边上的高，AE=7, P为MB上一动点.给出下面四个结论：0Sc=28,@P=EC:③当CP1 时，∠BAE=∠PCB 56 ④CP的最小值为9；上述结论中，正确结论的序号是一 7.(25-26七年级下·辽宁朝阳期末)如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地 进行美化，取各边中点分别为M,N,卫，Q,连接MP与N№相交于点O,若图中阴影部分种植花卉， 空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为 8.(2526七年级下甘肃陇南期未)如图，已知1-1,0)：85.0C(-2),则△1BC的面积是 18120 A (-1,0)A B O 5,0)主 C (-2,-4) 三、解答题 9.(25-26七年级下·浙江台州·期中)如图在方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上. B (I)画出△ABC向上平移6格后的图形△A'B'C': 2)画出△AB'C'的高CH: 3)直接写出BB和CC的关系： 10.(25-26七年级下·黑龙江牡丹江期中)如图，在平面直角坐标系中，已知 A(a,0),点B的坐标是 46,点Ck0,其中“c满足关系武a-8+e+4=0 (1)点A的坐标为 点C的坐标为 (2)求三角形ABC的面积： ®y希上是否存在点p:使得c子m,若存在，求出点p的坐标：若不存在，请说明理白 19120 0z/0z 2026-2027学年度人教版数学八年级上册课时同步训练 第十三章 三角形 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 ▌课时目标 1. 理解三角形的中线、角平分线、高的定义，掌握它们的画法及几何表示，能准确识别不同类型三角形中的这些重要线段。 2. 掌握三角形重心的概念及中线平分面积的性质，理解三角形三条高所在直线的交点规律，并能运用这些性质进行简单的面积计算。 3. 能综合运用三角形的三种重要线段解决几何图形的识别与计算问题，提升几何直观与推理能力。 ▌课时目录 知识点01：三角形中线的定义 知识点02：三角形中线的性质 知识点03：三角形重心的定义 知识点04：三角形角平分线的定义 知识点05：三角形角平分线的性质 知识点06：三角形高的定义 知识点07：不同类型三角形高的位置 知识点08：三条高所在直线的交点位置规律 知识点09：利用中线进行面积分割计算 知识点10：重要线段在几何图形中的综合识别 ▌知识点01：三角形中线的定义 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 几何表示：在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则D为BC的中点，即BD＝DC＝BC。一个三角形有三条中线，均在三角形内部。 1．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，是的中线，，若的周长比的周长多，则的长为．（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中线的定义解题． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长多， ∴ ， ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，为的中线，则与的周长之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中线的定义，结合三角形的周长公式，得到与的周长之差为，即可得出结果. 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴与的周长之差为 ； ∵，， ∴周长之差为. 3．（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图所示，在中，为边上的中线，若，，则的周长比的周长多__________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长的计算方法得到的周长和的周长的差就是与的差． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∴ ． 4．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． ▌知识点02：三角形中线的性质 三角形的中线将对边分为相等的两段，并且将三角形分成两个面积相等的小三角形。 即若AD是△ABC的BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC​。 原理：两个小三角形等底（BD＝DC）同高（A到BC的距离），故面积相等。 5．（25-26八年级上·广西玉林·期末）如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 6．（25-26八年级上·广西钦州·期末）如图，已知是的中线，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的定义，解题的关键是理解三角形中线将对边平分；根据三角形中线的定义，点为的中点，因此，代入 即可求出的长度． 【详解】解：∵ 是的中线， ∴ 是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 7．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 8．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【分析】设，，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的的长. 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. ▌知识点03：三角形重心的定义 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。 重心是三角形的一个重要几何中心，它始终位于三角形内部。 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，即AG＝2GD（G为重心，D为BC中点）。 9．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 10．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是(     ) A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 11．（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，在中，是的重心，连接并延长交于点，若，则_________． 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质，重心是三条中线的交点，因此点是边的中点，再利用中点的定义即可求出的长度． 【详解】解：∵是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点， ∵， ∴． 12．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在线段________上． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形重心的概念，掌握重心是三角形中线的交点是关键． 根据网格结构判断出点D是边的中点，从而确定是的中线，进而得出重心的位置． 【详解】解：由图可知，点在边上，且点到点、点的水平距离均为2个单位长度，垂直距离均为1个单位长度， ，即点是边的中点， 是的中线， 三角形三条中线的交点是三角形的重心， 的重心在线段上． ▌知识点04：三角形角平分线的定义 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。几何表示：在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC。 一个三角形有三条角平分线，均在三角形内部。 13．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，，若设，，平分，平分，平分，平分，可得，平分，平分，可得…，依次平分下去，则________． 【答案】 【分析】先分别过点、作直线，，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想即可解答． 【详解】解：如图，分别过点、作直线，， ． ， ， ， ． 平分，平分， ，， 同理可得，， 以此类推，，，，． 15．（25-26七年级下·天津蓟州·期中）阅读下面的证明，补充理由． 已知：如图，于，于，． 求证：平分． 证明：，． ，（    ） （    ） （    ） （    ） 又 平分（    ） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 【详解】略 16．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（_）， ∵， ∴（_）， ∴_（_）， ∴（_）， ∵， ∴（_）， ∴， ∴． 【答案】 角平分线的定义；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义． 根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴． ▌知识点05：三角形角平分线的性质 三角形的角平分线将内角分为两个相等的角，并且角平分线上的点到角两边的距离相等。 在三角形中，三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心（内切圆圆心），内心到三边的距离相等。 17．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 18．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，下面是折纸示意图，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的角平分线，关键是相关性质的熟练掌握． 根据折叠的性质可得，即可解答． 【详解】解：根据折叠的性质可得， 则是的角平分线， 故选：C． 19．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则，若，则_____度． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键． 根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：36． 20．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，平分，平分，，求证：． 证明：∵平分，平分（已知） ∴______，______， ∵（已知），∴____________， ∵____________．（已知），∴______，∴（______）． 【答案】，，， ，，，，同位角相等，两直线平行． 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义得，，进而可证，再根据平行线的判定即可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵平分，平分（已知） ∴，， ∵（已知）， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，，，，，，，同位角相等，两直线平行． ▌知识点06：三角形高的定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。几何表示：在△ABC中，若AD⊥BC于点D，则AD是BC边上的高。高是一条线段，其长度是对应顶点到对边所在直线的距离。一个三角形有三条高。 21．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，中，是边上高的线段为（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段就叫做这条边上的高求解即可． 【详解】解：A，是的边上的高； B，是的边上的高； C，是中边上高； D，不是图中任何线段上的垂线． 22．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排除法，排除不垂直于及不过顶点的选项． 【详解】解：根据三角形高的定义，边上的高应过顶点且垂直于所在直线.； 为钝角， 垂足落在的延长线上.； 图D中的延长线，符合定义，其它选项不符合定义． 23．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是上一点，，垂足为，点是上一点，连接，且，下列说法中不正确的是（     ） A．线段是中边上的高 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的高 D．线段是中边上的高 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，判断解答即可． 【详解】解：A． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； B． 线段是中边上的高，正确，不符合要求； C． 线段是中边上的高，不是中边上的高，原说法错误，符合要求； D． 线段是中边上的高，正确，不符合要求． 24．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）如图，在中，，则边上的高是___________． 【答案】 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边对应的高，即可解答． 【详解】 解：已知中，可得， 顶点到边的垂线就是线段， 因此边上的高是． ▌知识点07：不同类型三角形高的位置 1. 锐角三角形：三条高均在三角形内部，垂足在边上； 2. 直角三角形：两条高恰好是两条直角边，第三条高在三角形内部，垂足为直角顶点； 3. 钝角三角形：一条高在三角形内部（钝角所对边上的高），另外两条高在三角形外部（锐角所对边上的高），垂足在边的延长线上。 25．（25-26七年级下·广东梅州·期末）下面四个图中，线段是的高的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．本题中是从顶点向对边作垂线，垂足为，即． 【详解】解：根据三角形高的定义：线段是的高，则需要满足，垂足落在边（或延长线）上． 选项A、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项B、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项C、垂足在点处，不在边上，不符合； 选项D、，垂足为，在边上，完全符合三角形高的定义． 26．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）张老师让同学们作中边上的高,下列作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，进行判断即可． 【详解】解：∵题目要求作中边上的高， ∴该高线应过顶点，且垂直于边所在的直线， 、过点作交的延长线于点，符合定义，符合题意． 、作的是，不是三角形边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意； 、作的是边上的高，不符合题意． 27．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．线段不是的高，不符合题意； B．线段不是的高，不符合题意； C．线段不是的高，不符合题意； D．线段是的高，符合题意． 28．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，边上的高是（     ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】三角形的高是从三角形的一个顶点到对边作垂线，顶点到垂足之间的线段，根据定义判断即可． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，边上的高是线段． ▌知识点08：三条高所在直线的交点位置规律 三角形三条高所在的直线必定交于一点，该点叫做三角形的垂心。 1. 锐角三角形的垂心在三角形内部； 2. 直角三角形的垂心在直角顶点； 3. 钝角三角形的垂心在三角形外部。 注意：高是线段，但三条高所在的直线一定共点。 29．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． 30．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 31．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图知：在中，边上的高是． 32．（25-26九年级下·河北衡水·期中）如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． ▌知识点09：利用中线进行面积分割计算 利用“中线平分面积”的性质可以快速解决面积计算问题。 若已知△ABC的面积为S，AD为BC边上的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S。 若连接两条中线，可进一步将三角形分割为面积比为1:2:3等的多个小三角形。 例如：G为重心，则S△ABG＝S△BCG＝S△ACG＝S。 33．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，的两条中线、相交于点，已知的面积为，的面积为，则阴影部分（四边形）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：∵的面积为，的面积为， ∴， ∵、分别是的两条中线， ∴，， ∴，， ∴． 34．（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 35．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，点，，分别是，，的中点，已知，则阴影部分的面积之和为________． 【答案】6 【分析】根据三角形的中线等分面积得到，即可求解． 【详解】解：∵点，，分别是，，的中点， ∴ ∵ ∴阴影部分的面积之和． 36．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，点、、分别是、、的中点，若的面积为16，（阴影部分）的面积为________． 【答案】2 【分析】根据三角形的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形进行求解即可． 【详解】解：∵的面积为16，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 即（阴影部分）的面积为． ▌知识点10：重要线段在几何图形中的综合识别 在复杂几何图形中，需能准确识别三角形的中线、角平分线和高： 1. 中线连接顶点与对边中点； 2. 角平分线平分内角； 3. 高垂直于对边（或对边所在直线）。 解题时需注意： 1. 高的垂足位置因三角形类型而异； 2. 角平分线与中线不同，前者平分角，后者平分边； 3. 重心是中线的交点，垂心是高的交点。 37．（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知是三角形的高，，，三角形的面积是，则的长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先根据面积求出，再分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，解得， 分两种情况： 当点在线段上时，如图所示： 则； 当点在线段的延长线上时，如图所示： ； 综上所述，的长为或． 38．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 39．（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 40．（25-26七年级下·内蒙古包头·期末）如图，、分别是的高线、中线，若，，则高线长为________． 【答案】4 【分析】因为是的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据求出．因为是边上的高线，所以三角形面积公式为，将已知的和的长度代入公式，即可求解的长度． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵是边上的高线， ∴， 将、代入， 得， 解得． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知在三角形中，一条中线将三角形分成两个三角形，这两个三角形一定具备的性质是（     ） A．全等 B．周长相等 C．面积相等 D．形状相同 【答案】C 【分析】由三角形中线得等底，结合公共高，利用面积公式判断． 【详解】解：如图 设是的边上的中线， 则； 设点A到的距离为h，则，， ∴， 即两个三角形面积相等． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期末）如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 的面积为， ，， ． 3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）在三角形的学习中，三角形的特殊线段是研究其性质的重要基础，通过折纸这一直观方式，我们可以清晰地观察到线段在不同折叠操作下所扮演的角色，如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、中线、高线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．再根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， 是的角平分线； 由图2得，， ， 即， ， 是的高线； 由图3得，， 是的中线； 综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的中线，是的边上的高，，，，则的面积是（     ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据中线的性质即可求出的面积． 【详解】解：∵是的边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵是的中线， ∴． 二、填空题 5．（26-27八年级上·江苏常州·开学考试）如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 6．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④的最小值为；上述结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【分析】利用三角形面积公式计算，即可判断①正确；根据的值不确定，即可判断②错误；根据同角的余角相等即可判断③正确；由垂线段最短，并结合三角形面积公式计算即可判断④正确． 【详解】解：∵在中，，为边上的高，， ∴，故①正确，符合题意； ∵P为上一动点， ∴的值不确定， ∴不一定与相等，故②错误，不符合题意； 当时，， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 由垂线段最短得，当时，的值最小，此时， ∴， ∴的最小值为，故④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 7．（25-26七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 【答案】9 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 8．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）如图，已知，则的面积是___________． 【答案】12 【分析】求出底边长度及边上的高，边上的高为C到x轴的距离，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】， ∵， ∴C到x轴的距离为， ∴． 三、解答题 9．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图在方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上． (1)画出向上平移6格后的图形； (2)画出的高； (3)直接写出和的关系：_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行且相等 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据三角形的高的定义作图即可； （3）根据平移的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：画出如图所示： （2）解：画出的高如图所示； （3）解：由平移的性质可得：和的关系平行且相等． 10．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点的坐标是，点，其中满足关系式 ． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（）利用非负数的性质求出的值即可求解； （）利用三角形的面积公式计算即可； （）设点的坐标为，利用三角形面积公式求出的值即可求解； 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： 设点的坐标为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴或， 即存在或，使得． / 学科网（北京）股份有限公司 $