13.2.2三角形的中线、角平分线、高分层训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形中线、角平分线、高，通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一概念（定义、性质辨析）|选择/填空题（如中线分面积、角平分线识别），强化空间观念| |提升|知识综合（计算、简单证明）|解答题（如等腰三角形中线分周长分类讨论），发展推理能力| |综合|跨知识点应用（重心、面积比）|探究题（如中线与高综合求距离），培养创新意识与模型意识|

13.2.2三角形的中线、角平分线、高（分层训练) A 基础达标题 一、三角形的中线 1.如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线.若AE=2,则AC的长 度为 E D C 2.如图，在△ABC和△BCD中，CD,BE是中线，若AB=6cm,BC=7cm,则△BCE的 周长比△BDE的周长长 cm B 3.在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是4名同学的折纸示意图 (C的对应点是C"),其中折出的AD是△ABC中BC边上的中线的是() A(C") 入 (C) 4.如图，BD是△ABC的中线，AB=10,若△ABD的周长比△CBD的周长多2，则BC的长 为() A.5 B.7 C.8 D.12 5.能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条() A.角平分线 B.中线 C.高线 D.边的垂直平分线段 6,如图，在△MBC中，D是BC边上的中线，E是AD的中点， SAABC =18cm2 则阴影部 分的面积为() A.4cm2 B.5cm2 c.4.5cm2 D.5.5cm2 7.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和l8cm两部分，求这个等 腰三角形的腰长， 二、三角形的角平分线 1.如图所示， ∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论中错误的是(） A.BD是△ABC的角平分线 B.CE是△BCD的角平分线 ∠ACB D.CE是△ABC的角平分线 2.如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC=100°，则∠EAD 的度数是() D A.25° B.45o c.50° D.75 3.如图，AD是△ABC的角平分线，点E是AD的中点，则下列结论错误的是() A A.∠BAD=∠CAD B.C.AFAD D.SAABE- 4.如图，AD是△ABC的角平分线，DEI‖AC,DE交AB于点E,DFI‖AB,DF交AC于 点F.求证：∠1=∠2. E D 三、三角形的高 1.在△ABC中，AB边上的高表示正确的是() B B. C B C D A 2如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是 () B A.AB=2BF B.∠ACB=2∠ACE C.AE=BE D.CDLAB 3.下列说法正确的个数有() ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内： ②直角三角形只有一条高： ③三角形的高至少有一条在三角形内： ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E, ∠BAC=55,∠ABE=25°，则∠CAD的度数是() A.15 B.20° C.25° D.30° 5.如图，AD,AE分别是△ABC的中线、高.己知△ABD的面积是6，AE=3,则BC的 长是(). A.4 B.6 C.8 D.12 6如图，在△ABC中，AD,AE分别是边BC上的中线和高，点D在点E的左侧，已知 AE=3DE=1'SABc=9,则CE=（） A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，CD是△ABC的高线，E是AC中点，连接BE交CD于点O D (L)若△ABE的周长为13，AB=6,BC=5,求△BCE的周长： ②在1)的情况下，若CD=V5,求点A到BC的距离。 8数学经验：三角形的中线、角平分线、高是三角形中的重要线段，同时，我们知道，三 角形的三条高所在直线交于同一点 图① 图② 请根据数学经验，完成下列问题： (1)如图①，在△ABC中，∠A=90°，则△ABC的三条高所在直线交于点 (2)如图②，在△ABC中，∠BAC>90°，已知两条高BE,AD,请你仅用一把无刻度 的直尺画出△ABC的第三条高：（不写画法，保留画图痕迹） (3)如图②，若BC=6,AC=4,求BE:AD的值. B 能力提升题 1.△1BC中，已知点D,B,F分别是BC,AD,CE边上的中点，且c=32cm 则 S.BEF为(） A.8cm2 B.4cm2 C.2cm2 D.1cm2 2.已知BD是△ABC的高，AD=5,CD=1.若△ABC的面积为6，则BD的长为 3.如图，在Rt△ABC中，AB=24,AC=7,BC=25,D是AB的中点，P,Q分别是 BC,DC上的动点，则AQ+QP的最小值是 B 4.【数学经验】三角形的中线能将该三角形分成面积相等的两部分. D 4。 M M 图1 图2 图3 ()【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等 SAACM AM 于对应底边的比.如图1，△ABC的边AB上有一点M,请证明：S△cMBM: CD 1 CE 1 (2)【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，AC=4'CB3,求△ABC的面积： (3)【拓展延伸】如图3，△ABC的边AB上有一点M,D为CM上任意一点，请利用上述 SAADCAM 结论，证明：SARDXC BM· 拓展培优题 1.如图，在△ABC中，延长CA至点F,使得AF=CA,延长AB至点D,使得BD=2AB, 延长BC至点E,使得CE=3CB,连接EF、FD、DE,若SA兰=36t,则SAABC为（) B A A.2 B.3 C.4 D.5 2.发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形 纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关于三角形的 重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案： 图 图2 图3 图4 (1)如图2，AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底等高，可以得到它们面积的大小 关系为：S△ABD S△ACD(填>、<或=)； (2)如图3，点G是△ABC的重心，则GD也是△GBC的中线，利用上述结论可得： SAGCD=SAGBD,同理SAGBE=SAGAF,SAGAE=SAGCE.猜想SA BFG、SAGEC之间的数量关系 为？请说明理由； 3)如图3，点G为△ABC的重心，△ABC被三条中线分成六个小三角形，则AG AD (4)如图4，点D、E在△ABC的边AC、AB上，BD、CE交于G,G是△ABC的重心， BD=6,CE=4,BD⊥CE,直接写出四边形AEGD的面积. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高（分层训练)答案 A 基础达标题 一、三角形的中线 1.8 2.3 3.D 4.C 5.B 6.C 7.解：设等腰三角形的腰长为xcm,底边长为cm, ①腰+半腰=15cm,底+半腰=18cm, 3 15 1 x+y=18 x=10 解得： y=13, 此时三边长为：10cm,10cm,13cm, 验证三边关系：10+10>13，成立： ②腰+半腰=18cm,底+半腰=15cm, 层-s 2x+y=15 x=12 解得：y=9 三边长为：12cm,12cm,9cm. 验证三边关系：12+9>12，成立： 答：这个等腰三角形的腰长是10cm或l2cm 二、三角形的角平分线 1.D 2.A 3.B 4证明：：AD是△ABC的角平分线， .∠BAD=∠DAC. DEl AC .∠1=∠DAC .DF‖AB ∠2=∠BAD, .∠1=∠2 三、三角形的高 1.D 2.c 3.A 4.A 5.C 6.B 7.(1)解：E是AC中点， .AE=CE, AE+AB+BE=13,AB=6,BC=5, .AE+BE=13-AB=7, ∴CE+BE=7, ∴.△BCE的周长CE+BE+BC=7+5=12 (2)解：如图：过A作AM⊥BC于M C M D B AB-6.CD-5.BC=5.S,anc=1AB.CD-IBC.AM x6x5=x5×4M 1 . 解得： AM=65 5. 6W5 .点A到BC的距离5· 8.(1)A (2)解：如图所示，线段CG为△ABC的第三条高， B D (3)解：：BE⊥AC,AD LBC, Se4C8E,Sc-号8C4D, .BC=6,AC=4, 2×4BE=)x64D 1 1 2 .BE:AD=6:4=3:2」 B 能力提升题 1.A 2.2或3 168 3. 25 4.(1)证明：如图1，过C作CH⊥AB于H, C M 图1 1 SAM=7AMxCH,SNcw -BM XCH SAc42AM×CHAM SABCM BMXCH BM 21 SMCM AM 即S△BCM BM (2)解：如图2，连接AE, E A B 图2 CD 1 :AC4' 1 ÷S.cs=4S.a0s, CE 1 又CB3 .S.ac-3.we. 1... 11 又：△CDE的面积为1， △ABC的面积为12： (3)证明：如图3， M 图3 :M是AB上任意一点， SMACM=AM :SAnCM BM, :D是CM上任意一点， ∴.S。AcD= CD CM XS.4CM:S.BCD= CD CM XS.BCM CD SAACD=CM XSACSC SAnCD CD X SABCM SABCM 即 SAADC.=AM CM M 拓展培优题 1.A 2.(1)= (2)解：SABFG=SAGc,理由如下： :GD,AD是△GBC,△ABC的中线 SCW-cm SAAmSacim=S8cnS8cD ∴.S△ABG=S△ACG SAGBF=SAGAF SAGAE=SAGCE :.SABG-2 ∴.SABFG=SAGEC: (3)解：设S△GCD=S△GBD=X,S△GBF=S△AGr=y,SAGAE=SAGCE=Z, :SAABD=S△ACD, ∴.2y+X=2z+X, .y=z, SAABE=SACBE .2x+z=2y+z, ∴.x=y, ∴.X=y=z= :2x+2y+2Z=S△Bc X=y=2=合S6A 6 ∴AG=S△ABG=2y=2X=2 AD SAABD 2y+x 3x 3 (4)解：，G是△ABC的重心， 由(3)可得， BG_CG_2 BD CE 3 .BD=6,CE=4, .BG=4,CG=3 8 .BD⊥CE, S6Bc=号BG-CG=号×4×8=16 33 由(3)可得SAABC=3 SABGCT=16, .BG=CG_2 BD CE 3 照器2 1 8 由(2)可得SAEG-Sacc=2S6cc=3 Sg6形A5G0=16-8-8-16=16 3333