专题2.1 一元二次方程的概念【导图+知识卡片+知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题】-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义、一般形式及解（根）三大知识点，通过7个题型讲练构建从基础判断到参数求解、解的估算的学习支架，形成完整知识脉络。 该资料以思维导图助力抽象能力培养，题型讲练中典例与变式结合提升推理意识，中考真题及分层训练强化应用意识。课中辅助教师系统教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，适合培优拔尖。

专题2.1 一元二次方程的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 一元二次方程的定义 2 知识点二 一元二次方程的一般形式 2 知识点三 一元二次方程的解（根） 3 题型讲练 3 题型一 一元二次方程的定义 3 题型二 化成一元二次方程的一般式 4 题型三 判断是否是一元二次方程 5 题型四 由一元二次方程的定义求参数 6 题型五 判断是否是一元二次方程的解 7 题型六 由一元二次方程的解求参数 8 题型七 一元二次方程的解的估算 9 中考真题演练 12 难度分层训练 14 【基础夯实】 14 【培优拔高】 20 知识点一 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点三 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 题型一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、中，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； B、中，含有和两个未知数，不符合要求； C、中，分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求； D、整理得，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 【变式训练2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义，是解题的关键． 根据题意，二次项系数和一次项系数均为1，可设方程为，其中为常数，选择即可得到简单方程． 【详解】解：一元二次方程的标准形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 本题要求二次项系数和一次项系数都为1，即，， 因此方程形式为（为任意实数）． 为构造简单方程，取，得到． 故答案为． 题型二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的一次项系数是_____． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的一般形式的定义进行解答即可． 【详解】解：因为在方程中，一次项为， 所以一次项系数是2． 故答案为：2． 【变式训练1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 将一元二次方程化为一般形式，需通过移项使方程右边为0，并按降幂排列左边各项． 【详解】解：， 移项得， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 题型三 判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程是一元二次方程，符合题意； D、，方程是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 【答案】3 【分析】本题考查一元二次方程的一般式．根据一元二次方程的一般形式解答． 【详解】解：方程的二次项是，其系数是3． 故答案为：3． 题型四 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 即． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东德州·期末）一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 先将方程化为标准形式，再计算各项系数之和即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴系数， ∴系数和． 故选D． 题型五 判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，包括各项的定义和根的检验，通过对比方程的一般形式并验证根，即可判断错误选项 【详解】∵ 方程 中， 选项A：二次项是 ，正确，不符合题意； 选项B：一次项系数是 ，不是3，错误，符合题意； 选项C：常数项是1，正确，不符合题意； 选项D：当 时，，是根，正确，不符合题意； 故选B. 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 题型六 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得，， 解得． 【变式训练1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是_______． 【答案】1 【分析】将代入一元二次方程，求出k的值即可． 【详解】解：∵的一元二次方程的一个根是1， ∴将代入，得 ， 解得． 【变式训练2】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 题型七 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：        所以 第二步：             所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：    3 所以 第二步：          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 【真题演练1】（2025·福建泉州·中考真题）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】∵，，a+c=0 ∴， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根 故选：C． 【真题演练2】（2025·甘肃张掖·中考真题）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【真题演练3】（2025·广东揭阳·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 【真题演练4】（2025·广东深圳·中考真题）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·辽宁丹东·中考真题）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简原方程，将代入方程得到关于的等式，变形求出，最后代入代数式计算结果． 【详解】解：，整理得：． ∵是该一元二次方程的根， ∴，移项得：， ∴． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程的图解，若，则a的值为________． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键．设，则，由勾股定理得，然后根据求出m，根据即可求出a． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，将代入一元二次方程，得到与的关系式，进而化简所求表达式并代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2)是，理由见详解． 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 9．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 10．（25-26九年级上·北京·期末）若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，完全平方公式，平方差公式，准确计算是解题的关键． 首先根据根的定义得到，得到，然后利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， ， ． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，关键是利用方程根的定义进行转化；可先将已知方程的根代入原方程，再通过代数变形推导，找到满足第二个方程的根. 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得： ， 整理得：， 将上式两边同时除以，得： ， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为． 故答案选：B． 2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 设，则，进而得到，即是方程的根，进而得到是方程的根，由得到，根据可知，是方程的两个根，则或，排除，进而根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴是方程的根， ∵， ∴是方程的根， ∵， ∴两边同时除以得， 即， ∵， ∴ ∵ ∴，是方程的两个根， ∵是方程的根， ∴或， 当时，，不成立； 当时， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 4．（25-26九年级上·广西北海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程，其中叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且 解得，且， 故； 故答案为：． 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知方程有一根为m，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键． 利用方程根的定义，将m代入方程得到关系式，再代入所求表达式计算． 【详解】m是方程的根， ， 即， ． 故答案为． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知方程的两个根分别为，设（n为自然数），则的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，因式分解的应用，根据一元二次方程根的定义得出，，根据题意，得，，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴，， 根据题意，得，，， ∴ ， 故答案为：0． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）是一个一元二次方程，则___． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，解题的关键是熟记一元二次方程的概念，含有1个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 根据题意列出关于m的方程，得到结果即可． 【详解】解：由题可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 9．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知是一元二次方程的解，求的值． 【答案】17 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值问题，根据已知代数式化简所求代数式是解题的关键．根据题意可知，从而得到，，然后代入化简得到，由，故方程两边同时除以得到，代入即可得到答案． 【详解】解： 是一元二次方程的解 ， 方程两边同时除以得到，即 的值为17． 10．定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”；①假设图象上存在“反换点”，将P（m，n），Q（－n，－m）坐标分别代入解析式，计算两等式是否有解，若有解，则图象存在反换点； （2）设，则，其中，由题意得，求出的值，进而得到点坐标，然后代入中计算求解即可； （3）假设图象上存在“反换点”，则有，①+②式得，有即，将代入①中求解的值，的值，进而得到的点坐标，计算两点的中点坐标即可． 【详解】（1）解：设两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）是一对 “反换点”，且即 ①假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与矛盾 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）不能同时在图象上 ∴图象上不存在“反换点” 故①不符合题意； ②假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有 即 将Q（－n，－m）代入，则有即 与相同 ∴P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故②符合题意； ③假设图象上存在“反换点”， 将P（m，n）代入，则有① 将Q（－n，－m）代入，则有即② 将①代入②中得即 解得或（舍去） ∴存在使P（m，n）和Q（－n，－m）均在图象上 ∴图象上存在“反换点” 故③符合题意； 故答案为：②③． （2）解：设，则，其中 ∴ 解得 ∴ 将代入得 解得 ∴的值为． （3）解：假设图象上存在“反换点” 则有 ①+②式得 ∴或（舍去） 将代入①中得 解得或 当时，，此时，，两点的中点坐标为； 当时，，此时，，两点的中点坐标为； ∴存在“反换点”，线段中点坐标为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.1 一元二次方程的概念『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+7个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共46题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 一元二次方程的定义 2 知识点二 一元二次方程的一般形式 2 知识点三 一元二次方程的解（根） 3 题型讲练 3 题型一 一元二次方程的定义 3 题型二 化成一元二次方程的一般式 3 题型三 判断是否是一元二次方程 4 题型四 由一元二次方程的定义求参数 4 题型五 判断是否是一元二次方程的解 4 题型六 由一元二次方程的解求参数 5 题型七 一元二次方程的解的估算 5 中考真题演练 6 难度分层训练 7 【基础夯实】 7 【培优拔高】 9 知识点一 一元二次方程的定义 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点二 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点三 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 题型一 一元二次方程的定义 【典例精讲】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）构造一个一元二次方程，要求二次项系数和一次项系数都为1．写出这个一元二次方程：__________．（写一个即可） 题型二 化成一元二次方程的一般式 【典例精讲】（25-26九年级上·河南郑州·期末）一元二次方程的一次项系数是_____． 【变式训练1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）将一元二次方程化成一般形式为______． 【变式训练2】（25-26九年级上·广西钦州·期末）一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 题型三 判断是否是一元二次方程 【典例精讲】（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）方程的二次项系数是______． 题型四 由一元二次方程的定义求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的值为____________． 【变式训练1】（25-26九年级上·四川成都·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【变式训练2】（25-26九年级上·山东德州·期末）一元二次方程化为一般形式后各项的系数和为（    ） A．0 B．6 C．5 D． 题型五 判断是否是一元二次方程的解 【典例精讲】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）对于一元二次方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项是 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【变式训练2】（25-26九年级上·重庆南岸·期中）若是方程的一个根，则______． 题型六 由一元二次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26九年级上·广东茂名·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【变式训练1】（24-25九年级上·云南德宏·期末）关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是_______． 【变式训练2】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 题型七 一元二次方程的解的估算 【典例精讲】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练1】（24-25九年级上·山西·阶段检测）根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：        所以 第二步：             所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【真题演练1】（2025·福建泉州·中考真题）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（  ） A．2020 B． C．-2020 D． 【真题演练2】（2025·甘肃张掖·中考真题）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·广东揭阳·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【真题演练4】（2025·广东深圳·中考真题）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【真题演练5】（2025·辽宁丹东·中考真题）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【基础夯实】 1．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）若是一元二次方程的根，则代数式的值为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东青岛·阶段检测）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 5．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 6．（25-26九年级上·广东广州·期末）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于x的一元二次方程的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于x的一元二次方程的图解，若，则a的值为________． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如果是关于的一元二次方程的一个根，那么______． 8．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 9．（25-26九年级上·湖南株洲·期末）已知a为方程的一个根，求代数式的值． 10． （25-26九年级上·北京·期末）若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【培优拔高】 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）已知实数，满足，（），则的值是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 4．（25-26九年级上·广西北海·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 5．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知方程有一根为m，则的值为_______． 6．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知方程的两个根分别为，设（n为自然数），则的值为__________． 7．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段检测）是一个一元二次方程，则___． 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 9．（24-25七年级上·湖南邵阳·阶段检测）已知是一元二次方程的解，求的值． 10．定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点P（m，n）和Q（－n，－m）为“反换点”．如：点（一2，1）和（一1，2）是一对“反换点”． (1)下列函数：①y＝﹣x＋2；②y＝﹣；③y＝﹣2x2，其中图象上至少存在一对“反换点”的是 　 　（只填序号）； (2)直线y＝x﹣3与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反换点”若S△OPQ＝6，求k的值； (3)抛物线y＝﹣x2﹣4x上是否存在一对“反换点”？如果存在，请求出这一对“反换点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null